数学七年级上册（2024）方程优秀当堂检测题

这是一份数学七年级上册（2024）方程优秀当堂检测题，文件包含专题02解一元一次方程七大考点+知识串讲原卷版docx、专题02解一元一次方程七大考点+知识串讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。

知识一遍过
（一）解一元一次方程步骤
（1）合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。
（2）移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
（3）去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。
（4）去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数。
考点一遍过
考点1：解一元一次方程——移项、合并同类项
典例1：0.6x+110x−0.2=115．
【答案】x=2
【分析】本题考查解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可．
【详解】解：0.6x+110x−0.2=115
移项，得0.6x+110x=115+0.2
合并同类项，得710x=75
系数化为1，得x=2
【变式1】解方程：7x−10=3x−2．
【答案】x=2
【分析】本题考查解一元一次方程．移项，合并，系数化1，解方程即可．
【详解】解：7x−10=3x−2
7x−3x=10−2
4x=8
解得：x=2．
【变式2】用“※”定义了一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a※b=aa+b．
例如：1※2=1×1+2=1×3=3，若−2※3x−2=x+1，求x※(−3)的值．
【答案】−2
【分析】本题考查解一元一次方程及代数式求值，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．先算出−2※3x−2，再列出方程进行求解再代入求值．
【详解】解：−2※3x−2
=−2×−2+3x−2
=−2×3x−4
=−6x+8，
∵−2※3x−2=x+1，
∴−2×−2+3x−2=x+1
∴−6x+8=x+1
−7x=−7
x=1，
x※(−3)=1×1+−3=−2．
【变式3】已知y1=3x+8，y2=12x+3．
(1)若y1的值与y2的值相等，求x的值；
(2)当x取何值时，y1比y2大3？
【答案】(1)x=−2
(2)x=−45
【分析】本题主要考查了解一元一次方程：
（1）根据题意可得方程3x+8=12x+3，解方程即可得到答案；
（2）根据题意可得方程3x+8=12x+3+3，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，3x+8=12x+3，
解得x=−2；
（2）解：由题意得，3x+8=12x+3+3，
解得x=−45，
∴当x=−45时，y1比y2大3．
考点2：解一元一次方程——去括号
典例2：（1）3.2x−4×3=52
（2）8x−2=2x+7
【答案】（1）x=20；（2）x=5
【分析】本题主要考查了解一元一次方程.
（1）按照解一元一次方程的步骤解方程即可．
（2）按照解一元一次方程的步骤解方程即可．
【详解】解：（1）3.2x−4×3=52
3.2x−12=52
3.2x−12+12=52+12
3.2x=64
3.2x÷3.2=64÷3.2
x=20
（2）8x−2=2x+7
8x−16=2x+14
8x−2x=16+14
6x=30
6x÷6=30÷6
x=5
【变式1】解方程：23x−2−6=2−3x+1
【答案】x=1
【分析】此题考查了解一元一次方程，按照去括号、移项合并同类项、系数化1的步骤解方程即可．
【详解】解：23x−2−6=2−3x+1
去括号得，6x−4−6=2−3x−3
移项合并同类项得，9x=9
系数化为1得，x=1
【变式2】解下列方程：
(1)2x−32x−3=x+4；
(2)2x−1−3x+2=12；
(3)3−22x+1=2x−3．
【答案】(1)x=1
(2)x=−20
(3)x=76
【分析】本题考查了解一元一次方程．
（1）根据去括号，移项，合并同类项，系数化成1求解即可；
（2）根据去括号，移项，合并同类项，系数化成1求解即可；
（3）根据去括号，移项，合并同类项，系数化成1求解即可．
【详解】（1）解：2x−32x−3=x+4
去括号，得2x−6x+9=x+4，
移项，得2x−6x−x=−9+4，
合并同类项，得−5x=−5，
两边都除以−5，得x=1；
（2）解：2x−1−3x+2=12
去括号，得2x−2−3x−6=12，
移项，得2x−3x=12+2+6，
合并同类项，得−x=20，
两边都除以−1，得x=−20；
（3）解：3−22x+1=2x−3
去括号，得3−4x−2=2x−6，
移项，得−4x−2x=−6+2−3，
合并同类项，得−6x=−7，
两边都除以−6，得x=76．
【变式3】用“★”定义一种新运算，对于任意有理数a和b，规定a★b=ab+2a
如：7★−3=7×−3+2×7=−7．
(1)求−4x★7
(2)若1−3x★−4=−38，求x的值．
【答案】(1)−36x
(2)x=−6
【分析】本题考查了新定义运算，涉及整式的加减混合运算，解一元一次方程，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）直接根据新定义列式并进行计算即可；
（2）根据新定义得出关于x的一元一次方程，再解方程即可．
【详解】（1）−4x★7=7−4x+2−4x=−36x；
（2）1−3x★−4=1−3x⋅−4+21−3x=−38，
整理得−21−3x=−38，
解得x=−6．
考点3：解一元一次方程——去分母
典例3：解下列方程
(1)x−x−12=23−x+23．
(2)x+10.3−2x=0.1x+．
【答案】(1)x=−35
(2)x=−1
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，准确计算．
（1）先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解；
（2）先将方程变形，分子、分母化为整数，然后去分母，去括号，移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解．
【详解】（1）解：x−x−12=23−x+23，
去分母得：6x−3x−1=4−2x+2，
去括号得：6x−3x+3=4−2x−4，
移项，合并同类项得：5x=−3，
系数化为1得：x=−35．
（2）解：x+10.3−2x=0.1x+，
原方程可变为：10x+103−2x=2x+4，
去分母得：10x+10−6x=6x+12，
移项，合并同类项得：−2x=2，
系数化为1得：x=−1．
【变式1】解方程：y−3y−54=1−3−2y2．
【答案】y=73
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可．
【详解】解：y−3y−54=1−3−2y2，
去分母得：4y−3y−5=4−23−2y，
去括号得：4y−3y+5=4−6+4y，
移项，合并同类项得：−3y=−7，
系数化为1得：y=73．
【变式2】解方程：
(1)2x−13=1−x−24
(2)1−x−13=x+32
(3)x+23−2x−35=1
【答案】(1)x=2
(2)x=−15
(3)x=4
【分析】本题考查了解一元一次方程；
（1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可；
（3）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可．
【详解】（1）解：去分母得：42x−1=12−3x−2，
去括号得：8x−4=12−3x+6，
移项得：8x+3x=12+6+4，
合并同类项得：11x=22，
系数化为1得：x=2；
（2）解：去分母得：6−2x−1=3x+3，
去括号得：6−2x+2=3x+9
移项得：−2x−3x=9−6−2
合并同类项得：−5x=1
系数化为1得：x=−15；
（3）解：去分母得：5x+2−32x−3=15，
去括号得：5x+10−6x+9=15，
移项得：5x−6x=15−10−9，
合并同类项得：−x=−4
系数化为1得：x=4．
【变式3】解方程：
(1)2y+2−34y−1=91−y；
(2)x−3x+23=1−x−22．
(3)3x+1=5x−1；
(4)2x−13=2x+16−1．
【答案】(1)y=−2
(2)x=163
(3)x=2
(4)x=−32
【分析】本题主要考查了解一元一次方程：
（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（3）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：2y+2−34y−1=91−y
去括号得：2y+4−12y+3=9−9y，
移项得：2y−12y+9y=9−3−4，
合并同类项得：−y=2，
系数化为1得：y=−2；
（2）解：x−3x+23=1−x−22
去分母得：6x−23x+2=6−3x−2，
去括号得：6x−6x−4=6−3x+6，
移项得：6x−6x+3x=6+6+4，
合并同类项得：3x=16，
系数化为1得：x=163；
（3）解：3x+1=5x−1
去括号得：3x+3=5x−1，
移项得：3x−5x=−1−3，
合并同类项得：−2x=−4，
系数化为1得：x=2；
（4）解：2x−13=2x+16−1
去分母得：22x−1=2x+1−6，
去括号得：4x−2=2x+1−6，
移项得：4x−2x=1−6+2，
合并同类项得：2x=−3，
系数化为1得：x=−32．
考点4：解一元一次方程——错看问题
典例4：关于x的一元一次方程2x−13=x+a2−1，王小明在去分母时，方程右边的−1的项没有乘以6，因而求得的解是x=4．试求a的值，并求出原方程的正确解．
【答案】a=1，x=−1
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先把x=4代入4x−2=3x+3a−1，求出a的值，然后再得出原方程为2x−13=x+12−1，解方程即可．
【详解】解：把x=4代入4x−2=3x+3a−1得：a=1，
∴原方程为2x−13=x+12−1，
去分母得22x−1=3x+1−6，
去括号得4x−2=3x+3−6，
移项得4x−3x=3+2−6，
合并同类项得x=−1．
【变式1】小马虎在解方程2x−13=x+a2−1去分母时，方程右边的“−1”项没有乘6，因而求得的解是x=10，
(1)试求a的值．
(2)请你求出原方程正确的解．
【答案】(1)3
(2)x=5
【分析】本题主要考查了解一元一次方程的扩展以及解一元一次方程．
（1）先按照小马虎的解法把x=10代入方程即可解出a的值．
（2）根据（1）求出的a的值代入方程，然后去分母，去括号，移项并合并合并同类项即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：22x−1=3x+a−1，
当x=10时，则2×19=30+3a−1，
整理得：3a=9
解得：a=3，
（2）由（1）知，a=3，
∴原方程为：2x−13=x+32−1，
去分母得：22x−1=3x+3−6，
去括号得：4x−2=3x+9−6，
移项并合并合并同类项得：x=5．
【变式2】关于x一元一次方程2x−13=x+a2−3①， 23x+4−5x+1=3②，
(1)若方程①的解比方程②的解小4，求a的值；
(2)小马虎同学在解方程①时，右边的“−3”漏乘了公分母6，因而求解方程的解为x=2，试求方程①的正确的解；
【答案】(1)a=4
(2)x=−13
【分析】（1）解出方程①和②的解，并利用方程①的解比方程②的解小4列出等式并求解即可．
（2）由题意得2(2x−1)=3(x+a)−3，再把x=2代入2(2x−1)=3(x+a)−3，解出a的值，再将其值代入原式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
2x−13=x+a2−3，
解得：x=3a−16，
23x+4−5x+1=3，
解得：x=0，
则：0−(3a−16)=4，
解得：a=4．
（2）由题意得：2(2x−1)=3(x+a)−3，
将x=2代入2(2x−1)=3(x+a)−3得：2×(2×2−1)=3×(2+a)−3，
解得：a=1，
则：2x−13=x+12−3，
解得：x=−13．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
【变式3】青青在解关于x的一元一次方程x2−m=43时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为3x−m=8，并解得x=2，请你求出原方程正确的解．
【答案】x=−43
【分析】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．先把x=2代入3x−m=8求出m的值，再把m的值代入x2−m=43求解即可．
【详解】把x=2代入3x−m=8，得3×2−m=8，
∴m=−2，
把m=−2代入x2−m=43，得x2−−2=43，
∴x=−43．
考点5：解一元一次方程——同解问题
典例5：已知关于x的方程5m+2x=1+x．
(1)若该方程与方程7−x=2x+1同解，试求m的值；
(2)当m为何值时，该方程的解比关于x的方程52x+m=3+12x的解大2？
【答案】(1)m=−15
(2)m=−59
【分析】（1）解方程7−x=2x+1，得x=2，然后把x=2代入方程5m+2x=1+x求解即可；
（2）分别求出两个方程的解（都是关于m的代数式），再根据两个方程解的关系得到关于m的方程，求解即可．
【详解】（1）解方程7−x=2x+1，得x=2，
把x=2代入方程5m+2x=1+x，得5m+4=1+2，
解得：m=−15；
（2）解方程5m+2x=1+x，得x=1−5m，
解方程52x+m=3+12x，得x=3−m2，
∵方程5m+2x=1+x的解比关于x的方程52x+m=3+12x的解大2，
∴1−5m=3−m2+2，
解这个方程，得：m=−59．
【点睛】本题考查了一元一次方程的求解，正确理解题意、熟练掌握解一元一次方程的方法是关键．
【变式1】我们把有相同的解的两个方程称为同解方程．例如，方程2x=6与方程4x=12的解都为x=3，所以它们为同解方程．若关于x的方程x−2(x−m)=4和x+m2−x3=1是同解方程，求m的值．
【答案】2
【分析】根据解一元一次方程的步骤求出关于x的方程x−2(x−m)=4和x+m2−x3=1的解，再根据它们为同解方程，即得出关于m的方程，解出m的值即可．
【详解】解方程：x−2(x−m)=4，
去括号，得：x−2x+2m=4，
移项，合并同类项，得：−x=4−2m，
系数化为1，得：x=2m−4；
解方程：x+m2−x3=1，
去分母，得：3(x+m)−2x=6，
去括号，得：3x+3m−2x=6，
移项，合并同类项，得：x=6−3m．
∵关于x的方程x−2(x−m)=4和x+m2−x3=1是同解方程，
∴2m−4=6−3m，
解得：m=2，
∴m的值为2．
【点睛】本题考查解一元一次方程，同解方程的定义．掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．
【变式2】已知3x−2x−a3=4x和3x+a12−1−5x8=1是关于x的一元一次方程，且有相同的解，求a的值和这个解．
【答案】a=278，x=2728
【分析】本题考查了解一元一次方程，先求出两个一元一次方程的解，再根据同解方程解的意义即可求解，理解同解方程的解的意义是解题的关键．
【详解】解：由3x−2x−a3=4x，得：x=2a7，
由3x+a12−1−5x8=1，得：x=27−2a21，
因为他们有相同的解，
所以27−2a21=2a7，
解得：a=278，
则x=2a7=27×278=2728．
【变式3】已知关于x的方程2x−a3−2x−a6=x−1与方程3x+2=4x+5的解相同．
(1)求这个相同的解．
(2)求a．
【答案】(1)x=1
(2)a=2
【分析】本题考查同解方程，方程解的定义和解一元一次方程．
（1）解方程3x+2=4x+5即可；
（2）将（1）中的解代入方程2x−a3−2x−a6=x−1中即可求解．
【详解】（1）解：3x+2=4x+5，
去括号得3x+6=4x+5，
移项合并得−x=−1，
解得x=1；
（2）将x=1代入2x−a3−2x−a6=x−1，
即2−a3−2−a6=0
22−a−2+a=0
2−a=0
解得a=2
考点6：解一元一次方程——新定义问题
典例6：【阅读理解】
我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为abcd，称为二阶行列式，规定它的运算法则为abcd=ad−bc．
小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组3x+2y=54x+6y=7的解．
解：记D=3246=3×6−2×4=10，Dx=5276=5×6−2×7=16，
Dy=3547=3×7−5×4=1，则原方程组的解为x=DxD=1610=85y=DyD=110
【类比应用】
(1)若二阶行列式xx+121=1，求x的值；
(2)已知方程组3x+4y=22x−y=5利用二阶行列式求得D=−11，请求Dx，Dy，并写出该方程组的解．
【答案】(1)−3；
(2)Dx=−22，Dy=11，x=2y=−1．
【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，有理数的混合运算，理解新定义是解答本题的关键．
（1）根据abcd=ad−bc列方程求解即可；
（2）根据小李同学的方法求解即可．
【详解】（1）由题意得：
x×1−2×x+1=1
解得：x=−3
（2）Dx=245−1=2×−1−4×5=−22
Dy=3225=3×5−2×2=11
所以方程组的解为x=DxD=−22−11=2y=DyD=11−11=−1
【变式1】定义：关于x的方程ax−b=0与方程bx−a=0（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程2x−3=0与方程3x−2=0互为“反对方程”．
(1)【定义理解】若方程4x−1=0与方程x−m=0互为“反对方程”，则m=______．
(2)【知识应用】若关于x的方程4x+2m+1=0与方程5x−3n−2=0互为“反对方程”，求m，n的值．
(3)【拓展提高】若关于x的方程3x+2b−1=0与其“反对方程”的解都是整数，直接写出常数b的值．
【答案】(1)4
(2)m=−3，n=2
(3)b=−1或b=2
【分析】本题考查解一元一次方程，理解“反对方程”的定义，是解题的关键．
（1）根据“反对方程”的定义，求解即可；
（2）根据“反对方程”的定义，得到3n−2=4，−(2m+1)=5，求解即可；
（3）先根据“反对方程”的定义，得到3x+2b−1=0的反对方程，求出两个方程的解，根据两个方程的解都是整数，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ 方程4x−1=0与方程x−m=0互为“反对方程”，
∴ m=4．
（2）解：∵ 关于x的方程4x+2m+1=0与方程5x−3n−2=0互为“反对方程”，
∴ 3n−2=4，−(2m+1)=5，
解得n=2，m=−3，
（3）解：关于x的方程3x+2b−1=0的“反对方程”为(1−2b)x−3=0，
由方程3x+2b−1=0，得x=1−2b3，
∵ 方程(1−2b)x−3=0有整数解，
∴ 1−2b≠0，得x=31−2b，
∵ x=1−2b3和x=31−2b都为整数，
∴ 1−2b=3或1−2b=−3，
解得b=−1或b=2．
【变式2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程4x=8和x+1=0为“美好方程”．
(1)若关于x的方程3x+m=0与方程4x−2=x+10是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程12024x+3=2x+k和12024x+1=0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程12024y+1+3=2y+k+2的解．
【答案】(1)m的值为9
(2)92或−72
(3)2024
【分析】本题考查一元一次方程以及新定义．
（1）分别表示出两个方程的解，根据定义可知两个方程的解之和为1，可得方程4−m3=1，求解即可；
（2）根据定义可得n−1−n=8或1−n−n=8，求解即可；
（3）先求解12024x+1=0可得x=−2024，再将12024y+1+3=2y+k+2化为12024y+1+3=2y+1+k，即可求解．
【详解】（1）解：解方程3x+m=0得：x=−m3
解方程4x−2=x+10得：x=4
∵关于x的方程3x+m=0与方程4x−2=x+10是“美好方程”
∴4−m3=1 解得：m=9
答：m的值为9；
（2）∵“美好方程”的两个解之和为1
∴另一个方程的解为1−n
∵“美好方程”的两个解的差为8
∴n−1−n=8或1−n−n=8
∴n=92或n=−72；
（3）∵12024x+1=0
∴x=−2024
∵关于x的一元一次方程12024x+3=2x+k和12024x+1=0是“美好方程”
∴12024x+3=2x+k的解为：x=1−−2024=2025
∵关于y的一元一次方程12024y+1+3=2y+k+2可化为12024y+1+3=2y+1+k
∴y+1=2025
∴y=2024．
【变式3】在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如x+3=1+x+32，设x+3=a，则原方程变形为a=1+a2，……，解得a=2，即x+3=2，所以原方程的解为x=−1．
(1)补充求解a的过程．
(2)用换元法解方程3y−2−3y−2−12=2−3y−2+23．
【答案】(1)见解析
(2)y=1
【分析】本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题，
（1）根据解一元一次方程的法则解答即可，
（2）利用换元的思想解答即可；
【详解】（1）解：a=1+a2，
∴a−a2=1，
∴a2=1，
解得：a=2．
（2）解：3y−2−3y−2−12=2−3y−2+23，
设k=3y−2，则原方程可变形为k−k−12=2−k+23，
6k−3k−1=12−2k+2，
6k−3k+3=12−2k−4，
3k+3=8−2k，
3k+2k=8−3，
5k=5，
k=1，
∴3y−2=1，
解得y=1．
考点7：含绝对值的一元一次方程
典例8：（1）解方程2x+5=4
（2）在解形如3x−2=x−2+4这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分x