初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）实际问题与一元一次方程精品当堂检测题

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）实际问题与一元一次方程精品当堂检测题，文件包含专题03实际问题与一元一次方程十二大考点+知识串讲原卷版docx、专题03实际问题与一元一次方程十二大考点+知识串讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。

知识一遍过
（一）一元一次方程的应用
（1）列方程解实际应用题的步骤：
①审——仔细审题，找出题目中的等量关系。
②设——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。
③列——根据等量关系与未知数列出一元一次方程。
④解——按照解方程的步骤解一元一次方程。
④答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。
（2）常见的基本等量关系：
①行程问题基本等量关系：
路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。
顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速）
②工程问题：
工作总量=工作时间×工作效率。
③配套问题：
实际生产比＝配套比。
④商品销售问题：
利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100%
⑤图形的周长，面积，体积问题。
（3）常见的建立方程的方法：
①基本等量关系建立方程。
②同一个量的两种不同表达式相等。
考点一遍过
考点1：行程问题
典例1：《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙从齐国先出发2日，甲才从长安出发．问甲出发几日，甲乙相逢？设甲出发x日，甲乙相逢，可列方程为 ．
【答案】x+27+x5=1
【分析】本题考查一元一次方程和实际应用．可将本题看作是工作效率类的应用题，根据效率×时间=总量列方程即可．
【详解】解：由题可知，甲的效率为15，乙的效率为17，
设甲出发x日，甲乙相逢，则乙出发x+2天，
根据题意列方程：x+27+x5=1，
故答案为：x+27+x5=1．
【变式1】在我国古代数学名著《九章算术》上，记载有这样一道题：“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲乃发长安，问几何日相逢？”大意是：甲从长安出发，需五天时间到达齐；乙从齐出发，需七天时间到达长安．现在乙从齐出发两天后，甲才从长安出发，问甲出发几天后两人相遇？答：甲出发 天后两人相遇．
【答案】2512/2112
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．将总路程看作1，设甲出发x天后两人相遇，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】解：设甲出发x天后两人相遇
依题意得x+27+x5=1，
解得x=2512，
答：甲出发2512天后两人相遇．
故答案为：2512．
【变式2】《九章算术》中有一问题，“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百 步，善行者追之．问：几何步几之？”其意思是：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人．善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步，现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？
【答案】走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设善于走路的人追上不善于走路的人所用时间为t，根据二者的速度差×时间=路程，即可求出t值，再将其代入路程=速度×时间，即可求出结论．
【详解】解：设善于走路的人追上不善于走路的人所用时间为t，
根据题意得：100−60t=100，
解得：t=2.5，
∴100t=100×2.5=250．
答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．
【变式3】甲、乙两站间的路程为450km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65km，一列快车从乙站开出，每小时行驶85km．
(1)两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？
(2)两车同时开出，同向而行，多少小时快车才能追上慢车？
【答案】(1)两车同时开出，相向而行，3h相遇．
(2)两车同时开出，同向而行，452h快车才能追上慢车
【分析】本题考查了一元一次方程的行程应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据速度乘时间等于路程进行列式，解方程，即可作答．
（2）根据速度乘时间等于路程，再结合路程差的关系进行列式，解方程，即可作答．
【详解】（1）解：设两车同时开出，相向而行，经过x小时相遇，
依题意，得65x+85x=450，解得x=3，
答：两车同时开出，相向而行，3h相遇．
（2）解：设快车经过th才能追上慢车，
依题意，得85t−65t=450，解得t=452，
答：两车同时开出，同向而行，452h快车才能追上慢车．
考点2：配套问题
典例2：用铝片做听装饮料瓶，现有100张铝片，每张铝片可制瓶身16个或制瓶底45个，一个瓶身和两个瓶底可配成一套，若要尽可能多做饮料瓶，设用 x张铝片制作瓶身，则可列方程为 .
【答案】2×16x=45(100−x)；
【分析】本题考查一元一次方程解决生产配套问题，根据瓶底，瓶身制作瓶子的个数相等列式求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
用100−x张制作瓶底，
16x1=45(100−x)2，
即：2×16x=45(100−x)，
故答案为：2×16x=45(100−x)．
【变式1】在手工制作课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级一班共有学生50人，每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个．要求一个筒身配两个筒底，那么安排 人剪筒身，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
【答案】30
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，根据题中的等量关系，列出方程是解题的关键．
设x人剪筒身，则50−x人剪筒底，根据一个筒身配两个筒底列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设x人剪筒身，则50−x人剪筒底，
根据题意得，2×40x=12050−x，
解得：x=30，
∴30人剪筒身，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套，
故答案为：30．
【变式2】在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是150cm×90cm的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板，为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张150cm×30cm的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：cm）
(1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张；
(2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？
【答案】(1)9，15
(2)用100张原材料板材裁剪A型纸板，用30张原材料板材裁剪B型纸板，能做225个纸盒
【分析】本题考查一元一次方程的应用
（1）根据题意，可得每张原材料板材可以裁得A型纸板3×3=9（张)，每张原材料板材可以裁得B型纸板3×5=15（张)；
（2）设用x张原材料板材裁剪A型纸板，可得：9x4=15(130−x)2，即可解得答案．
【详解】（1）解：根据题意，每张原材料板材可裁得3张150cm×30cm的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，
∴每张原材料板材可以裁得A型纸板3×3=9（张)，每张原材料板材可以裁得B型纸板3×5=15（张)；
故答案为：9，15；
（2）解：设用x张原材料板材裁剪A型纸板，则用(130−x)张原材料板材裁剪B型纸板，
根据题意得：9x4=15(260−x)2，
解得x=100，
∴130−x=130−100=30，
9x4=225，
∴用100张原材料板材裁剪A型纸板，用30张原材料板材裁剪B型纸板，能做225个纸盒．
【变式3】某汽车工厂现有一批汽车配件订单需交付，若全部由1个工人生产需要150天才能完成．为了快速完成生产任务，现计划由一部分工人先生产3天，然后增加6名工人与他们一起再生产5天就能完成这批订单的生产任务．假设每名工人的工作效率相同．
(1)前3天应先安排多少多工人生产？
(2)增加6名工人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产600个A型配件或650个B型配件，如果3个A型配件和2个B型配件配套组成一个零件系统，要使每天生产的A型和B型配件刚好配套，应安排生产A型配件和B型配件的工人各多少名？
【答案】(1)前3天应先安排15名工人生产
(2)应安排13名工人生产A型配件，则安排8名工人生产B型配件
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（1）设前3天应先安排x名工人生产，根据题意列一元一次方程求解即可；
（2）设安排a名工人生产A型配件，则安排21−a名工人生产B型配件，根据题意列一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：设前3天应先安排x名工人生产，
根据题意得3x150+5x+6150=1，
解得x=15，
答：前3天应先安排15名工人生产；
（2）解：由题意，总共有15+6=21名工人生产，
设安排a名工人生产A型配件，则安排21−a名工人生产B型配件，
根据题意得2×600a=3×65021−a，
解得a=13，
21−13=8，
答：应安排13名工人生产A型配件，则安排8名工人生产B型配件．
考点3：工程问题
典例3：一项工作，甲单独做需要10小时完成，乙单独做需要15小时完成，那么甲每小时完成总工作量的 ，乙每小时完成总工作量的 ，若设甲、乙合作需要x小时完成，则可列方程为 ，解得x= ．
【答案】 110 115 x10+x15=1 6
【分析】由一件工作，甲单独做10h完成，得出甲每小时完成总工作量的110，根据乙单独做需要15h完成，得出乙每小时完成总工作量的115，甲，乙两人合作1h完成工作量是110+115，根据甲、乙两人合作的工作效率×工作时间=1列出方程，解方程即可．
【详解】解：∵一件工作，甲单独做需要10h完成，乙单独做需要15h完成，
∴甲每小时完成总工作量的110，乙每小时完成总工作量的115，
若设甲、乙两人合作xh完成这项工作，
则可列方程为x10+x15=1，
解得x=6，
故答案为：110，115，x10+x15=1，6．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
【变式1】一项工程，甲、乙两人合作需要8天完成任务，若甲单独做需要12天完成任务．
（1）若甲、乙两人一起做6天，剩下的由甲单独做，还需要 天完；
（2）若甲、乙两人一起做4天，剩下的由乙单独做，还需要 天完成．
【答案】 3 12
【分析】（1）设甲单独做还需要x天完成，根据甲乙合作的工作量+甲单独做的工作量=1列方程求解即可；
（2）设乙单独做还需要y天完成，根据甲乙合作的工作量+乙单独做的工作量=1列方程求解即可．
【详解】解：（1）设甲单独做还需要x天完成，
依题意得：18×6+112x=1，
解得：x=3，
即甲单独做还需要3天完成；
故答案为：3
(2)乙单独做还需要y天，
依题意得：18×4+18−112y=1，
解得：y=12，
即乙单独做还需要12天．
故答案为：12
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用中的工程问题，其基本的数量关系是：工作量=工作效率×工作时间，找出等量关系是解答本题的关键.
【变式2】课外活动时李老师到教室布置作业，有一道题只写到“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需3天，徒弟单独完成需6天”，就因校长叫他听一个报告而离开教室．
(1)调皮的小刘说：“让我试一试．”于是，上去添了：两人合作需要几天完成？请解答小刘所添加的问题；
(2)小张说：“我也来试试”，他添了：现由徒弟先做1天，两人再合作，完成后共得报酬540元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？
请解答小张所添加的问题；
(3)请你也提出一个可解答的问题： ．
【答案】(1)2天
(2)师傅分报酬300元，徒弟分报酬240元
(3)现由师傅先做1天，两人再合作几天可完成？（答案不唯一）
【分析】本题考查了工程问题的数量关系的运用，工作效率×工资时间=工作总量的运用，解答时灵活运用工程问题的数量关系建立方程是关键．
（1）设两人合作需要x天完成，由工程问题的数量关系师徒二人的工作量之和等于工作总量建立方程求出其解即可；
（2）设徒弟先做1天，两人再合作y天完成，根据工作总量为1，列出方程，解方程即可得出y的值，然后求出结果即可；
（3）根据题意提出一个问题即可．
【详解】（1）解：设两人合作需要x天完成，
根据题意，得13+16x=1，
解得：x=2，
经检验，符合题意，
答：两人合作需要2天完成．
（2）解：设徒弟先做1天，两人再合作y天完成，
根据题意，得16+13+16y=1，
解得y=53，
经检验，符合题意，
师傅完成的工作量为：13×53=59，
540×59=300（元）；540−300=240（元），
答：师傅分报酬300元，徒弟分报酬240元．
（3）解：现由师傅先做1天，两人再合作几天可完成？（答案不唯一）
【变式3】某开发公司生产出若干件新产品，需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，已知甲单独加工这批产品比乙单独加工这批产品要多用20天，又知若由甲厂单独做，公司需付甲厂每天加工费用80元；若由乙厂单独做，公司需付乙厂每天加工费用120元。
(1)求这批新产品共有多少件？
(2)若公司董事会制定了如下方案：可以由每个工厂单独完成，也可以由两个工厂合作完成，但在加工过程中，公司需派一名工程师到工厂进行技术指导，并由公司为其提供每天10元的午餐补助，请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并通过计算说明理由．
【答案】(1)这批新产品共有960件．
(2)甲、乙合作同时完成时，既省钱又省时间，理由见解析．
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程．对于要求最符合要求类型的题目，应将所有方案，列出来求出符合题意的那一个即可．
（1）根据题意找出等量关系：总产品数相等，列出方程求解即可．
（2）应分为三种情况讨论：①由甲厂单独加工；②由乙厂单独加工；③由两场厂共同加工，分别比较三种情况下，所耗时间和花费金额，求出即省钱，又省时间的加工方案．
【详解】（1）解：设甲单独加工这批产品用x天，
由题意得，16x=24x−20，
解得：x=60，
16×60=960（件），
答：这个公司要加工960件新产品；
（2）解： ①由甲厂单独加工：需要耗时为96016=60（天），需要费用为：60×10+80=5400（元）；
②由乙厂单独加工：需要耗时为 96024=40（天），需要费用为：40×120+10=5200（元）；
③由两家工厂共同加工：需要耗时为 96016+24=24（天），需要费用为：24×80+120+10=5040（元）．
因为5040500．
∴1000−x19150，
∴要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为6间．
故答案为：6．
考点8：方案选择问题
典例8：某超市在“五一”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在350元（含350元）以上一律享受八折优惠；
小明在该超市两次购物分别付款60元和288元．若小明把这两次购物改为一次性购物，则应付款 元．
【答案】304或336
【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100元，即是60元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过350元一律9折；一种是购物不低于350元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数．
【详解】解：第一次购物显然没有超过100元，即在第一次消费60元的情况下，他的实质购物价值只能是60元．
第二次购物消费288元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：
第一种情况：他消费超过100元但不足350元，这时候他是按照9折付款的．
设第二次实质购物价值为x元，那么依题意有：0.9x=288，解得：x=320．
第二种情况：他消费不低于350元，这时候他是按照8折付款的．
设第二次实质购物价值为a元，那么依题意有：0.8a=288，解得：a=360．
即在第二次消费288元的情况下，他的实际购物价值可能是320元或360元．
综上所述，他两次购物的实质价值为60+320=380或60+360=420，均超过了350元．因此均可以按照8折付款：380×0.8=304（元），420×0.8=336（元）．
故答案为:304或336．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物的288元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．
【变式1】某商场在“十一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：
①如果不超过500元，则不予优惠；
②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；
③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．
促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和m(500