5.3.4方案选择问题（教学课件）2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

5.3.4 方案选择问题方案选择问题是一元一次方程及不等式在实际生活中的重要应用，这类问题通常提供多种可供选择的方案，要求通过计算和比较，选出最省钱、最有效或最符合条件的方案。解决这类问题的关键是建立不同方案的数量关系表达式，通过分析变量的取值范围确定最优方案。一、核心思路与解题步骤核心思路：方案选择问题的本质是比较不同方案的成本、收益或效果，通常涉及一个或多个变量（如数量、时间等）。当变量取不同值时，不同方案的优劣会发生变化，需找到 “临界点”（即不同方案效果相同的变量值），再根据变量的实际取值范围选择最优方案。解题步骤：明确问题目标：确定选择方案的标准（如最省钱、最高效、满足特定条件等）。设未知数：设影响方案选择的变量为\(x\)（如购买数量、使用时间、参与人数等）。建立表达式：根据题目条件，分别列出不同方案的成本、收益或效果的表达式（通常为含\(x\)的代数式）。找临界点：通过列方程求出不同方案效果相等时\(x\)的值（临界点），此时两种方案无差异。分析取值范围：根据临界点将变量\(x\)的取值范围分为几段，分别判断每段范围内哪种方案更优。验证并作答：结合实际问题的限制条件（如数量为正整数），验证结论并确定最终方案。二、常见类型与实例解析（一）省钱方案选择示例 1：某学校计划购买一批篮球，现有两家商店可供选择。甲商店：每个篮球售价 80 元，买 10 个以上（含 10 个），从第 11 个起按原价的 70% 出售；乙商店：每个篮球售价 80 元，一律按原价的 85% 出售。若学校需要购买\(x\)个篮球（\(x > 0\)），请分别写出在两家商店购买的费用\(y_甲\)、\(y_乙\)与\(x\)的函数关系，并说明当购买多少个篮球时，选择哪家商店更省钱？解：步骤 1：建立费用表达式。甲商店：当\(0 < x < 10\)时，无优惠，\(y_甲 = 80x\)；当\(x ≥ 10\)时，前 10 个按原价，第 11 个起按 70%，即\(y_甲 = 80×10 + 80×70\%×(x - 10) = 800 + 56(x - 10) = 56x + 240\)。乙商店：无论购买数量，均按 85% 出售，\(y_乙 = 80×85\%x = 68x\)。步骤 2：找临界点。当\(0 < x < 10\)时，比较\(80x\)与\(68x\)：因\(80x > 68x\)（\(x > 0\)），此时乙商店更省钱。当\(x ≥ 10\)时，令\(y_甲 = y_乙\)，即\(56x + 240 = 68x\)，解得\(12x = 240\)，\(x = 20\)。步骤 3：分析取值范围。当\(10 ≤ x < 20\)时，取\(x = 15\)验证：\(y_甲 = 56×15 + 240 = 840 + 240 = 1080\)元，\(y_乙 = 68×15 = 1020\)元，\(y_甲 > y_乙\)，乙商店更省钱。当\(x = 20\)时，\(y_甲 = y_乙 = 68×20 = 1360\)元，两家商店费用相同。当\(x > 20\)时，取\(x = 25\)验证：\(y_甲 = 56×25 + 240 = 1400 + 240 = 1640\)元，\(y_乙 = 68×25 = 1700\)元，\(y_甲 < y_乙\)，甲商店更省钱。步骤 4：结论。答：当购买数量小于 20 个时，选择乙商店更省钱；当购买 20 个时，两家商店费用相同；当购买数量大于 20 个时，选择甲商店更省钱。（二）方案有效性选择示例 2：某公司组织员工外出团建，现有 A、B 两种车型可供租车选择。A 车型：限乘 15 人，租金 450 元 / 辆；B 车型：限乘 10 人，租金 300 元 / 辆。公司共有 45 名员工，要求每辆车必须坐满，有几种租车方案？哪种方案租金最少？解：步骤 1：设未知数。设租 A 车型\(x\)辆，因每车坐满，A 车可坐\(15x\)人，则 B 车需坐\(45 - 15x\)人，B 车型数量为\(\frac{45 - 15x}{10} = \frac{9 - 3x}{2}\)辆，需为非负整数。步骤 2：确定取值范围。由\(x ≥ 0\)且\(\frac{9 - 3x}{2} ≥ 0\)，得\(0 ≤ x ≤ 3\)，且\(9 - 3x\)为偶数（因 B 车数量为整数）。当\(x = 1\)时，B 车数量\(\frac{9 - 3×1}{2} = 3\)辆（整数，有效）；当\(x = 3\)时，B 车数量\(\frac{9 - 3×3}{2} = 0\)辆（整数，有效）；当\(x = 0\)时，B 车数量\(\frac{9}{2} = 4.5\)辆（无效）；当\(x = 2\)时，B 车数量\(\frac{9 - 6}{2} = 1.5\)辆（无效）。故有效方案为：方案 1：租 A 车 1 辆，B 车 3 辆；方案 2：租 A 车 3 辆，B 车 0 辆。步骤 3：计算租金。方案 1 租金：\(450×1 + 300×3 = 450 + 900 = 1350\)元；方案 2 租金：\(450×3 + 300×0 = 1350\)元。步骤 4：结论。答：有 2 种租车方案，两种方案租金相同，均为 1350 元。（三）含优惠条件的方案选择示例 3：某通讯公司推出两种手机套餐：套餐 A：月租 50 元，通话费 0.2 元 / 分钟；套餐 B：月租 0 元，通话费 0.4 元 / 分钟。若每月通话时间为\(x\)分钟，选择哪种套餐更划算？解：步骤 1：建立费用表达式。套餐 A 费用：\(y_A = 50 + 0.2x\)；套餐 B 费用：\(y_B = 0.4x\)。步骤 2：找临界点。令\(y_A = y_B\)，即\(50 + 0.2x = 0.4x\)，解得\(0.2x = 50\)，\(x = 250\)分钟。步骤 3：分析取值范围。当\(x < 250\)分钟时，取\(x = 100\)：\(y_A = 50 + 20 = 70\)元，\(y_B = 40\)元，\(y_B < y_A\)，套餐 B 更划算。当\(x = 250\)分钟时，\(y_A = y_B = 100\)元，两种套餐费用相同。当\(x > 250\)分钟时，取\(x = 300\)：\(y_A = 50 + 60 = 110\)元，\(y_B = 120\)元，\(y_A < y_B\)，套餐 A 更划算。步骤 4：结论。答：当每月通话时间小于 250 分钟时，选择套餐 B 更划算；当通话时间为 250 分钟时，两种套餐费用相同；当通话时间大于 250 分钟时，选择套餐 A 更划算。三、典型例题分类解析分段计费方案选择：例：某自来水公司收费标准如下：解：设自来水公司费用为\(y_1\)，另一家公司费用为\(y_2 = 2.5x\)。每月用水量不超过 10 吨，每吨 2 元；超过 10 吨的部分，每吨 3 元。另一家公司统一收费每吨 2.5 元。若每月用水量为\(x\)吨，选择哪家公司更省钱？当\(0 ≤ x ≤ 10\)时，\(y_1 = 2x\)，令\(2x = 2.5x\)得\(x = 0\)，故\(0 < x ≤ 10\)时，\(y_1 < y_2\)，自来水公司更省钱。当\(x > 10\)时，\(y_1 = 2×10 + 3(x - 10) = 3x - 10\)，令\(3x - 10 = 2.5x\)得\(x = 20\)，故\(10 < x < 20\)时，\(y_1 < y_2\)；\(x = 20\)时费用相同；\(x > 20\)时，\(y_1 > y_2\)。答：当用水量小于 20 吨时，选择自来水公司；等于 20 吨时费用相同；大于 20 吨时选择另一家公司。购买数量与折扣方案：例：某书店推出活动：解：方案一：一次性购买不超过 20 本，每本 10 元；方案二：一次性购买超过 20 本，全部按每本 8 元。若需要购买\(x\)本，哪种方案更省钱？当\(0 < x ≤ 20\)时，方案一费用\(y_1 = 10x\)，方案二不适用（或按原价），方案一更省钱。当\(x > 20\)时，方案一费用\(y_1 = 10x\)，方案二费用\(y_2 = 8x\)，因\(8x < 10x\)，方案二更省钱。答：购买不超过 20 本时选方案一，超过 20 本时选方案二。多种方案综合选择：例：某旅行社推出 A、B、C 三种旅游套餐：解：A 套餐：成人每人 300 元，儿童每人 150 元；B 套餐：每人 200 元（不分成人儿童）；C 套餐：5 人及以上团体，每人 180 元。现有 3 个成人和 2 个儿童，选择哪种套餐最省钱？A 套餐费用：\(3×300 + 2×150 = 900 + 300 = 1200\)元；B 套餐费用：\(5×200 = 1000\)元；C 套餐费用：\(5×180 = 900\)元。比较得\(900 < 1000 < 1200\)，故 C 套餐最省钱。答：选择 C 套餐最省钱。四、常见错误与规避方法忽略分段条件：常见错误：在分段计费问题中，未区分变量的取值范围，直接用一个表达式计算（如示例 1 中忽略甲商店 “10 个以上有优惠” 的条件）。规避方法：仔细审题，明确不同方案的适用条件（如数量范围、时间范围），分情况建立表达式，避免漏写分段条件。临界点计算错误：常见错误：解方程找临界点时计算错误，导致后续取值范围分析偏差（如示例 3 中误算\(x = 200\)而非 250）。规避方法：计算临界点时需仔细核对方程，必要时代入验证，确保 “两种方案效果相等” 的条件成立。未考虑实际限制条件：常见错误：在租车、购票等问题中，忽略 “数量为整数”“座位需坐满” 等实际条件，导致方案无效（如示例 2 中认为 B 车数量可为 1.5 辆）。规避方法：列出方案后，检验是否符合实际意义（如数量为非负整数、无空座等），剔除无效方案。漏算隐含费用：常见错误：在方案比较中，漏算隐藏成本（如套餐的月租费、交通费等），仅比较表面费用。规避方法：全面分析每种方案的所有费用构成，确保表达式包含所有相关成本，避免因漏项导致结论错误。五、方法总结与拓展方案选择问题的核心是通过建立数学模型分析不同方案的优劣，解题时需注意：明确问题中的变量和不变量，根据实际情况分阶段建立表达式；通过解方程找到临界点，以此为界分析不同取值范围内的最优方案；结合实际限制条件（如整数性、非负性）验证方案的有效性；对于多方案问题，需逐一计算并比较，确保不遗漏任何可能的最优解。这类问题广泛应用于购物、出行、缴费等生活场景，掌握其解题方法能提高决策的合理性和经济性。通过练习不同类型的方案选择问题，可熟练运用方程和不等式解决实际决策问题，培养优化思维和逻辑分析能力。2024人教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.会寻找数量关系列方程，确定最优方案.2.掌握分段计费问题.方案选择问题怎么选择更划算？探究 3【教材P138】不同能效空调的综合费用比较 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况. 某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息. 如果电价是 0.5 元/(kW·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.分析：在这个问题中，选定一种空调后，售价是确定的，电费则与使用的时间有关.设空调的使用年数是 t，则 1 级能效空调的综合费用（单位：元）是 3000 + 0.5×640t即 3000 + 320t3 级能效空调的综合费用（单位：元）是2600 + 0.5×800t即 2600 + 400t先来看 t 取什么值时，两款空调的综合费用相等.列方程 3000 + 320t = 2600 + 400t解得 t = 5 1 级空调 3000 + 320t3 级空调 2600 + 400t 为了比较两款空调的综合费用，我们把表示 3 级能效空调的综合费用的式子 2600 + 400t 变形为 1 级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即(3000 + 320t) + (80t - 400)也就是 3000 + 320t + 80(t–5)3000 + 320t + 80(t–5) 当 t < 5 时，80(t-5) 是负数，这表明 3 级能效空调的综合费用较低； 当 t > 5 时，80(t-5) 是正数，这表明 1 级能效空调的综合费用较低；综合以上的分析，可以发现：（1）_______时，选择 3 级能效空调省钱；（2）_______时，选择 1 级能效空调省钱；（3）_______时，选择 1 级、3级能效空调均可.t < 5 t > 5 t = 5 根据相关行业标准，空调的安全使用年限是 10 年（从生产日期计起），因此购买、使用 1 级能效空调更划算.通常，1 级能效空调既节能又省钱巩固练习1. 在“清洁乡村”活动中，村里需购买一些垃圾桶，商家给出了两种购买垃圾桶的方案:方案一:买分类垃圾桶，需要费用 4000 元， 以后每月的垃圾处理费用为 300 元；方案二:买不分类垃圾桶，需要费用 1000 元， 以后每月的垃圾处理费用为 600 元.设交费时间为 x 个月，方案一的购买费用和垃圾处理费用共为 M 元，方案二的购买费用和垃圾处理费用共为 N 元.请你分析该村采用哪种方案更省钱.分析：总费用 ＝ 购买费用 + 垃圾处理费用.选定一种方案后，购买费用是确定的，垃圾处理费用与交费时间有关.用交费时间 x 分别表示两种方案的总费用，然后进行比较.方案一:买分类垃圾桶，需要费用 4000 元， 以后每月的垃圾处理费用为 300 元；方案二:买不分类垃圾桶，需要费用 1000 元， 以后每月的垃圾处理费用为 600 元.解：依题意得 M＝ 300x + 4000，N＝600x + 1000.先来看 x 取什么值时，两种方案费用相同，列方程 300x + 4000 = 600x + 1000，解得 x ＝ 10.故交费时间为 10 个月时，两种方案费用相同.为了比较两种方案的费用，把方案二的费用的式子600x + 1000 变形为方案一的费用与另外一个式子的和，即 (300x + 4000) + (300x - 3000)，也就是 (300x + 4000) + 300(x - 10).这样，当 x < 10 时，300(x - 10) 是负数，这表明方案二的费用较低，当 x > 10 时，300(x - 10) 是正数，这表明方案一的费用较低.由此可见，当交费时间少于 10 个月时，采用方案二更省钱，当交费时间等于 10 个月时，两种方案费用相同，当交费时间多于 10 个月时，采用方案一更省钱.2. 为了倡导和鼓励居民节约用水，某市水务部门对城市居民生活用水采取分段收费办法:规定每月每户居民生活用水标准量为 22 m3，在标准用水量范围里免收生活污水处理费，超出标准用水量的部分收取一定的生活污水处理费，每月生活用水的收费标准 (单位：元/ m3) 及单价说明如下表所示:（1）某居民用户某月用水 10 m3，共缴纳水费 23 元，求 a 的值；解：由题意，得10a = 23，解得 a = 2.3 .（2）在（1）的前提下，该居民用户 10 月份缴纳水费 71 元，则该居民用户 10 月份的用水量是多少？因为 2.3×22 ＝ 50.6 < 71，所以该居民用户 10 月份的用水量超过 22 m3.设该居民用户 10 月份的用水量为 x m3.由题意，得 50.6 + (2.3 + 1.1)(x - 22) ＝ 71，解得 x ＝ 28.答：该居民用户 10 月份的用水量是 28 m3.习题5.31. 结合本节内容体会例 2 后归纳的框图.解:将实际问题转化为数学问题（列一元一次方程），再通过解方程得到数学问题的解（x = a），最后将得到的解代回原方程检验，得到实际问题的答案.2. 制作一张桌子要用 1 个桌面和 4 条桌腿，1 m3 木材可制作 20 个桌面，或者制作 400 条桌腿. 现有 12 m3 木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？解:设用 x m3 木材制作桌面，则用 (12-x) m3 木材制作桌腿.根据题意，得 4×20x ＝ 400(12-x).解得 x = 10. 所以 12 - x ＝ 2.答:用 10 m3 木材制作桌面，2 m3 木材制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子.3. 某车间每天能制作 500 个甲种零件，或 250 个乙种零件（同一天内不能同时制作这两种零件），甲、乙两种零件各 1 个配成 1 套产品. 现要用 30 天制作最多的成套产品，甲、乙两种零件各应制作多少天？解：设甲种零件应制作 x 天，则乙种零件应制作 (30 - x) 天.根据题意，得 500x ＝ 250(30 - x).解得 x ＝10. 所以 30 - x ＝ 20.答：甲种零件应制作 10 天，乙种零件应制作 20 天.4. 某项工作由甲、乙两人单独做分别需要 7.5 h 和 5 h. 如果让甲、乙两人一起工作 1 h，再由乙单独完成剩余部分，一共需要多长时间？解：设剩余部分由乙单独完成需 x h.5. 整理一批数据，由 1 人整理需 80 h 完成. 现在计划先由一些人整理 2 h，再增加 5 人整理 8 h，完成这项工作的 . 怎样安排参与整理数据的具体人数？解：设先安排 x 人整理 2 h.解得 x ＝ 2.答:应先安排 2 人整理 2 h，再增加 5 人整理 8 h.综合运用6. 用 A 型和 B 型机器生产同样的产品，已知 5 台 A 型机器一天生产的产品装满 8 箱后还剩 4 个，7 台 B 型机器一天生产的产品装满 11 箱后还剩 1 个，每台 A 型机器比 B 型机器一天多生产 1 个产品. 求每箱装多少个产品.解：设每箱装 x 个产品.根据题意，得 .解得 x ＝ 12.答:每箱装 12 个产品.7. 下表中记录了一次实验中时间和温度的数据，假设温度的 变化是均匀的.（1）实验进行 21 min 时的温度是多少？解：由题意可知，实验开始 21 min 时的温度是（2）实验进行多长时间的温度是 34 ℃？设实验开始 x min 后的温度是 34 ℃.答：实验进行 8 min 的温度是 34 ℃.8. 某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装 2 块大月饼和 4 块小月饼. 制作 1 块大月饼要用 0.05 kg 面粉，制作 1 块小月饼要用 0.02 kg 面粉. 现有面粉 4500 kg，应各用多少千克面粉制作两种月饼，才能生产最多的盒装月饼？解:设制作 x 块大月饼，则需要制作 2x 块小月饼.根据题意，得 0.05 + 0.02×2x ＝ 4500.解得 x ＝ 50000所以 0.05x ＝ 2500，0.05×2x ＝ 2000.答：应用 2500 kg 面粉制作大月饼，2000 kg 面粉制作小月饼，才能生产最多的盒装月饼.9. 李明和刘伟分别从 A，B 两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发 24 min 后两人相遇，相遇时李明比刘伟多行进 4.8 km，相遇后 6 min 李明到达 B 地. 两人每小时分别行进多少千米？相遇后经过多长时间刘伟到达 A地？ 解:设刘伟的行进速度是 x km/h，则李明的行进速度是(x + 12) km/h.根据题意，得 0.4(x+x+12) ＝0.5(x + 12).解得 x＝ 4.所以 x + 12＝16，0.4×16÷4＝ 1.6 (h).答:刘伟的行进速度是 4 km/h，李明的行进速度是 16 km/h，相遇后经过 1.6 h 刘伟到达 A 地.10. 商店对某商品降价 20% 促销，为了使销售总金额不变， 销售量要比按原价销售时增加百分之几？解：设销售量要比按原价销售时增加 x％ .根据题意，得 (1-20％)(1 + x％) ＝ 1.解得 x ＝ 25.答：销售量要比按原价销售时增加 25％ .11. 甲组的 4 名工人 3 月份完成的总工作量比此月人均定额的 4 倍多 20 件，乙组的 5 名工人 3 月份完成的总工作量比此月人均定额的 6 倍少 20 件.（1）如果两组工人此月人均实际完成的工作量相等，那么此月人均定额是多少件？解：设此月人均定额是 x 件.根据题意，得 .解得 x ＝ 45.答：此月人均定额是 45 件.（2）如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的多 2 件，那么此月人均定额是多少件？（3）如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的少 2 件，那么此月人均定额是多少件？拓广探索12. 将探究 2 的积分表换为你们学校某次足球联赛（或其他联赛）积分表，请你根据积分表提出一些数学问题并加以解决.13.（古代问题）希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的七分之一，他结了婚；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了.”根据以上信息，请你算出:（1）丢番图的寿命；（2）丢番图开始当爸爸时的年龄；（3）儿子死时丢番图的年龄.解：如图，设丢番图的寿命为 x 岁.（1）根据题意，得 .解得 x＝ 84.答：丢番图的寿命是 84 岁.答：丢番图开始当爸爸时的年龄是 38 岁.（2）由（1）知， .（3）儿子死时丢番图的年龄是 84－4 ＝ 80（岁）.14.下面是某购物平台的两种图书促销方式，方式一：满 100 元减 50 元.方式二：单件打六折.考虑下列问题：（1）设某本书的原价为 t 元. 列表说明当 t 在不同价格范围内取值时，按两种方式购买分别需要支付的金额.解：（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据图书的原价选择省钱的购买方式吗？通过计算验证你的想法.当 t < 100 时，选择方式二购买更省钱.当 t ≥ 100 时，令 t－50 ＝0.6t，解得 t ＝125.因此，当 t ＝125 时，选择方式一和方式二购买所需支付的金额相同，当 t < 100 或 t > 125 时，选择方式二购买更省钱.当 100 < t