5.3 实际问题与一元一次方程-第3课时 积分问题-课件-2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

幻灯片 1：封面5.3 实际问题与一元一次方程（第 3 课时）学科：数学年级：六年级幻灯片 2：情境导入 —— 积分中的数学逻辑生活场景：场景 1：学校篮球比赛中，胜一场得 2 分，负一场得 1 分，某班打了 10 场比赛，共得 16 分，该班胜了几场？场景 2：数学测验中，答对一题得 5 分，答错一题扣 2 分，小明答了 20 题，共得 79 分，小明答对了几题？这些积分场景中，总积分由 “得分项” 和 “扣分项” 共同决定，蕴含明确的数量关系，可通过一元一次方程求解未知量（如胜场数、答对题数）。回顾旧知：列方程解实际问题的通用步骤：设→找→列→解→验→答；小提问：若篮球比赛胜 3 场、负 2 场，总积分是多少？（2×3 + 1×2=8 分）引出课题：今天我们聚焦 “积分问题”，学习如何分析积分规则中的数量关系，用一元一次方程解决胜场数、答对题数等实际问题。幻灯片 3：学习目标理解积分问题的核心规则（得分项、扣分项、总积分的计算方式），掌握 “总积分 = 得分项总和 - 扣分项总和” 等数量关系。能根据不同积分场景（比赛积分、测验积分等），准确设未知数、找等量关系，列出一元一次方程。熟练求解积分问题的方程，检验解的合理性（如场数、题数为正整数），提升实际问题的建模能力。幻灯片 4：积分问题的核心类型与数量关系核心类型（小学阶段常见）：类型积分规则示例关键数量关系比赛积分（无扣分）胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分总积分 = 胜场积分 + 平场积分 + 负场积分（负场积分为 0）比赛积分（有扣分）胜一场得 2 分，负一场扣 1 分总积分 = 胜场积分 - 负场扣分测验 / 考试积分答对一题得 5 分，答错一题扣 2 分总积分 = 答对积分 - 答错扣分通用数量关系：若存在 “得分项” 和 “无分项”：总积分 =（单位得分 × 得分数量）+（单位无分 × 无分数量）；若存在 “得分项” 和 “扣分项”：总积分 =（单位得分 × 得分数量）-（单位扣分 × 扣分数量）；隐含关系：总数量 = 得分数量 + 无分数量（或扣分数量）（如总场数 = 胜场数 + 负场数 + 平场数，总题数 = 答对题数 + 答错题数）。实例推导：篮球比赛：胜一场得 2 分，负一场得 1 分，胜 x 场、负 (10-x) 场，总积分 = 2x + 1×(10-x)；测验积分：答对一题得 5 分，答错一题扣 2 分，答对 y 题、答错 (20-y) 题，总积分 = 5y - 2×(20-y)。幻灯片 5：类型一 —— 无扣分的比赛积分问题问题特征：只有得分项和无分项（或负场 / 平场得 0 分），总积分仅由得分项决定，无扣分项。核心等量关系：总积分 = 得分项积分总和，总数量 = 得分数量 + 无分数量。实例解析：例 1：某足球比赛规定，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分。某队踢了 14 场比赛，负 5 场，共得 19 分，该队胜了几场？步骤 1：分析已知量与未知量 ——总场数 14 场，负 5 场，设胜 x 场，则平场数 = 14 - 5 - x=9 - x 场；胜场积分 = 3x，平场积分 = 1×(9 - x)，负场积分 = 0×5=0；步骤 2：找等量关系 —— 总积分 = 胜场积分 + 平场积分，即 3x + (9 - x)=19；步骤 3：列方程 ——3x + 9 - x=19；步骤 4：解方程 ——合并同类项：2x + 9=19；移项：2x=10；系数化为 1：x=5；步骤 5：检验与答 ——平场数 = 9 - 5=4 场，总积分 = 3×5 + 1×4=15 + 4=19 分，符合要求；答：该队胜了 5 场。学生练习：乒乓球比赛中，赢一局得 2 分，输一局得 1 分，某选手打了 8 局，共得 13 分，该选手赢了几局？（设赢 x 局，输 (8-x) 局，2x + 1×(8-x)=13，解得 x=5）幻灯片 6：类型二 —— 有扣分的比赛 / 测验积分问题问题特征：存在得分项和扣分项，总积分 = 得分项总和 - 扣分项总和，需注意扣分对总积分的抵消作用。核心等量关系：总积分 =（单位得分 × 得分数量）-（单位扣分 × 扣分数量），总数量 = 得分数量 + 扣分数量。实例解析：例 2：某数学测验共 25 题，答对一题得 4 分，答错一题扣 1 分，不答得 0 分。小明答对的题数比答错的题数多 17 题，总得分 74 分，小明答对、答错、不答的题数各是多少？步骤 1：设未知数 —— 设答错 x 题，则答对 (x + 17) 题，不答题数 = 25 - x - (x + 17)=8 - 2x；步骤 2：找积分关系 ——答对积分 = 4×(x + 17)，答错扣分 = 1×x，不答积分 = 0；总积分 = 答对积分 - 答错扣分，即 4 (x + 17) - x=74；步骤 3：列方程 ——4x + 68 - x=74；步骤 4：解方程 ——合并同类项：3x + 68=74；移项：3x=6；系数化为 1：x=2；步骤 5：检验与答 ——答对题数 = 2 + 17=19 题，不答题数 = 8 - 2×2=4 题；总积分 = 4×19 - 1×2=76 - 2=74 分，符合要求；答：答对 19 题，答错 2 题，不答 4 题。例 3：某篮球联赛中，胜一场得 2 分，负一场扣 1 分，某队打了 12 场比赛，共得 16 分，该队胜了几场？步骤 1：设胜 x 场，负 (12 - x) 场；步骤 2：总积分 = 2x - 1×(12 - x)=16；步骤 3：列方程 ——2x - 12 + x=16；步骤 4：解方程 ——3x=28→x=\(\frac{28}{3}\)≈9.33（不符合实际，说明题目数据或假设需调整，实际问题中场数应为整数，此处可修改数据为 “总积分 17 分”，解得 x=9，负 3 场，2×9 - 3=15 分，或调整规则）；提示：检验时需确保解为正整数，若出现小数，需检查设未知数是否合理或题目数据是否正确。学生练习：英语听力测验共 20 题，答对一题得 5 分，答错一题扣 3 分，小红得 68 分，小红答对几题？（设答对 x 题，答错 (20-x) 题，5x - 3×(20-x)=68，解得 x=16）幻灯片 7：积分问题的解题步骤与检验要点通用解题步骤：第一步：分析积分规则（明确单位得分、单位扣分、无分项规则）；第二步：设未知数（选择与其他量关联紧密的未知量，如胜场数、答对题数）；第三步：用未知数表示其他量（如负场数 = 总场数 - 胜场数，答错题数 = 总题数 - 答对题数）；第四步：建立积分等量关系（总积分 = 得分项 - 扣分项，或得分项总和）；第五步：列方程并求解（注意去括号、移项的正确性）；第六步：检验与答（检验解是否为正整数，是否符合总数量关系，再规范作答）。检验要点：解的合理性：场数、题数等必须为非负整数（如不能出现 “胜 3.5 场”“答对 12.2 题”）；总数量验证：得分数量 + 扣分数量（或无分数量）= 总数量（如胜场数 + 负场数 + 平场数 = 总场数）；积分验证：代入积分规则，计算总积分是否与题目一致（如例 2 中 19×4 - 2×1=74 分，符合题目条件）。幻灯片 8：互动游戏 ——“积分小裁判挑战赛”游戏准备：制作 “积分规则卡片”（如 “篮球比赛：胜 3 分，负 1 分，总场数 10 场”“测验：答对 5 分，答错扣 2 分，总题数 20 题”）和 “问题卡片”（如 “总积分 18 分，求胜场数”“总积分 82 分，求答对题数”）；准备白板和马克笔，每组一套。游戏规则：全班分为 4 组，每组派 2 名代表（1 人分析规则，1 人列方程求解）；老师出示 “积分规则卡片” 和 “问题卡片”，代表需在 5 分钟内完成 “设未知数→列方程→求解→检验”；解为正整数、积分验证正确得 4 分，解正确但未检验得 2 分，方程列错不得分；游戏结束后，得分最高的小组获 “积分小裁判” 称号。幻灯片 9：易错点提醒易错点 1：忽略 “总数量 = 各部分数量之和”，导致其他量表示错误示例：篮球比赛总场数 10 场，设胜 x 场，错将负场数表示为 (10 - x - 平场数)，但未先确定平场数（应先明确是否有平场，无平场则负场数 = 10 - x）；应对策略：设未知数后，立即用 “总数量 - 已知数量 - 设的未知量” 表示其他量，确保各部分数量之和等于总数量。易错点 2：有扣分时，漏写 “减号”，误将扣分当得分示例：测验中答错扣 2 分，错列方程为 “5x + 2 (20 - x)=82”（正确应为 “5x - 2 (20 - x)=82”）；应对策略：圈出题目中的 “扣分” 关键词（如 “扣 1 分”“减 2 分”），明确总积分 = 得分 - 扣分，避免符号错误。易错点 3：检验时忽略解的整数性，接受非整数解示例：求得胜场数 x=9.3，未发现不合理，直接作答（实际应检查题目数据或设未知数是否有误）；应对策略：检验时优先判断解是否为非负整数，若不是，需重新检查解题过程（如例 3 中数据调整后，确保解为整数）。易错点 4：混淆 “扣分数量” 与 “无分数量”，误将无分数量计入扣分示例：测验中 “不答得 0 分”，错将不答题数计入答错扣分（如总题数 20，答对 15，不答 3，答错 2，错算扣分 = 2+3=5 题）；应对策略：明确 “扣分数量” 仅指明确扣分的项（如答错），无分数量（如不答）不计入扣分，仅得分项和扣分项参与积分计算。幻灯片 10：课堂总结积分问题核心：无扣分：总积分 = 得分项总和，关键是用总数量表示各部分数量；有扣分：总积分 = 得分项总和 - 扣分项总和，注意符号和扣分的抵消作用；解题关键能力：分析积分规则，准确区分得分项、扣分项、无分项；设未知数后，用总数量关系表示其他未知量，建立正确的等量关系；检验原则：解必须为非负整数，符合实际场景（如场数、题数）；代入积分规则验证，确保总积分与题目一致。幻灯片 11：课后作业基础题：（1）排球比赛中，胜一场得 2 分，平一场得 1 分，某队打了 15 场，平 3 场，共得 21 分，该队胜了几场？（设胜 x 场，2x + 1×3=21，x=9）（2）语文默写共 10 题，对一题得 10 分，错一题扣 5 分，小明得 70 分，小明对了几题？（设对 x 题，10x - 5×(10 - x)=70，x=8）应用题：某围棋比赛规定，赢一盘得 3 分，输一盘扣 2 分，平一盘得 1 分。某棋手共下 12 盘，赢的盘数比输的盘数多 2 盘，总得分 19 分，该棋手赢、输、平各几盘？（设输 x 盘，赢 (x+2) 盘，平 (10-2x) 盘，3 (x+2)-2x + 1×(10-2x)=19，x=3，赢 5 盘，输 3 盘，平 4 盘）拓展题：某闯关游戏共 5 关，闯过 1 关得 10 分，闯不过倒扣 3 分，不闯得 0 分。小红闯过的关数比闯不过的多 2 关，总得分 31 分，小红闯过几关？（设闯不过 x 关，闯过 (x+2) 关，不闯 (3-2x) 关，10 (x+2)-3x=31，x=3，因不闯关数 3-6=-3 不合理，调整题目为 “总得分 29 分”，x=3，闯过 5 关，闯不过 3 关，总关数超 5，再调整为 “共 6 关”，x=2，闯过 4 关，闯过 2 关，不闯 0 关，10×4-3×2=34 分，合理设计数据）【2024新教材】人教版数学 七年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 喜欢体育的同学经常观看各种不同类别的球赛，如：足球赛、篮球赛、排球赛等，但是你们了解它们的计分规则和如何计算积分吗？这节课我们将学习如何用方程解决球赛积分问题.知识点 比赛中的积分问题 探究 球赛积分表问题某次篮球联赛积分表知识点 比赛中的积分问题 问题 1 你从表格中得到什么信息？这次球赛共有8支队伍参赛.每队都打了14场比赛.积分按由高到低的顺序排列.每队的胜场数、负场数和积分.篮球比赛没有平局.......某次篮球联赛积分表知识点 比赛中的积分问题 问题 2 胜一场和负一场各积多少分？观察表中的最后一行：负14场得14分观察表中的第一行：设胜一场得x分，则 10x+4=24.解这个方程，得x=2.→负一场得1分.→胜一场得2分.某次篮球联赛积分表问题 3 各数据之间的数量关系是什么？每队的胜场数+负场数=比赛场次14.每队胜场总积分=胜1场得分2×胜场数.每队负场总积分=负1场得分1×负场数.每队胜场总积分+负场总积分=总积分.某次篮球联赛积分表知识点 比赛中的积分问题 知识点 比赛中的积分问题 问题 4 一个队胜m场，则总积分为多少？某次篮球联赛积分表 一个队胜m场，则负________场，则胜场积分为________,负场积分为_________,总积分为_________.(14-m)2m14-mm+14知识点 比赛中的积分问题 问题5 一个队负n场，则总积分为多少？某次篮球联赛积分表 一个队负n场，则胜________场，则胜场积分为________,负场积分为_________,总积分为_________.(14-n)2(14-n)n28-n知识点 比赛中的积分问题  问题6 某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？想一想，y表示什么量？它可以不取整数吗？由此你能得出什么结论？ 这个问题说明：利用方程不仅能求具体数值，而且可以进行推理判断.知识点 比赛中的积分问题 1.解决有关表格的问题时，首先要根据表格中给出的相关信息，找出数量间的关系，然后再运用数学知识解决问题.2. 用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义.比赛积分问题中，常见的相等关系：某个队的参赛场数=该队的胜场数+该队的负场数+该队的平场数；某个队的总积分=该队的胜场积分+该队的负场积分+该队的平场积分.注意：(1) 并不是每种比赛都按胜、平、负情况积分，有的只按胜、平两种情况积分，所以解题时一定要认真理解比赛的积分规则.(2) 比赛中的积分与胜、负场数有关，同时也与比赛积分规则有关，需先弄清“胜一场积几分，平一场积几分，负一场积几分”.知识点 比赛中的积分问题 知识点 积分问题 B 2.为了增强学生的安全防范意识，某校九年级（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，小红一共得70分，则小红答对的个数为( )BA.14 B.15 C.16 D.173.（8分）［2025石家庄长安区期末］某磁性飞镖游戏的靶盘如图.珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投.计分规则如下： （1）求珍珍第一局的得分；   4.某中学组织七年级学生参加数学知识竞赛活动，活动共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答.下表记录了小徐、小张、小高三名学生的得分情况，则另一名学生小李的得分可能是( )BA.40 B.50 C.60 D.70 （1）球队胜一场积___分，负一场积___分.21    某个队的总积分=该队的胜场积分+该队的负场积分+该队的平场积分.某个队的参赛场数=该队的胜场数+该队的负场数+该队的平场数；比赛积分问题中，常见的相等关系必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！