第五章 一元一次方程【章末复习】-课件-2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

幻灯片 1：封面第五章 一元一次方程学科：数学年级：七年级学习目标：理解一元一次方程的定义与解的概念，掌握完整解法，能运用方程解决实际问题幻灯片 2：知识框架总览本章围绕 “一元一次方程” 展开，按 “基础概念→解法→应用” 层层递进，框架如下： 幻灯片 3：模块一 —— 方程的基础概念一、方程的定义与判断方程：含有未知数的等式叫做方程（需同时满足 “含未知数” 和 “是等式” 两个条件）；示例：\(2x + 3 = 7\)（含未知数\(x\)，是等式，是方程）；\(3 + 5 = 8\)（无未知数，不是方程）；\(2x > 5\)（不是等式，不是方程）。二、一元一次方程的定义与特征定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是 1（次），等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程；核心特征（三要素）：只含一个未知数（如\(3x - 5 = 0\)含\(x\)，符合；\(2x + y = 4\)含\(x\)、\(y\)，不符合）；未知数次数为 1（如\(x^2 + 2 = 5\)中\(x\)次数为 2，不符合；\(5x - 1 = 2\)中\(x\)次数为 1，符合）；等号两边是整式（如\(\frac{1}{x} + 3 = 5\)分母含未知数，不是整式，不符合）。标准形式：\(ax + b = 0\)（\(a\)、\(b\)为常数，\(a ≠ 0\)，\(x\)为未知数），如\(2x - 6 = 0\)（\(a=2\)，\(b=-6\)）。三、方程的解与解方程方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解（一元一次方程只有一个解）；示例：检验\(x=2\)是否为方程\(2x + 1 = 5\)的解：将\(x=2\)代入左边，\(2×2 + 1 = 5\)，与右边相等，故\(x=2\)是方程的解。解方程：求方程的解的过程叫做解方程（需按规范步骤操作，依据等式性质）。四、典型例题（概念辨析）例 1：判断下列式子是否为一元一次方程：①\(4x - 7 = 0\)（是，含一个未知数\(x\)，次数 1，整式）；②\(x^2 + 3x = 1\)（否，未知数次数为 2）；③\(\frac{2}{x} + x = 5\)（否，分母含未知数，不是整式）；④\(2x + 3y = 8\)（否，含两个未知数）。例 2：已知\(x=3\)是方程\(2x + k = 9\)的解，求\(k\)的值。解：将\(x=3\)代入方程，\(2×3 + k = 9\)→\(6 + k = 9\)→\(k = 3\)。幻灯片 4：模块二 —— 等式的性质（解方程的依据）一、等式性质 1内容：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；符号表示：若\(a = b\)，则\(a + c = b + c\)，\(a - c = b - c\)；示例：由\(x + 5 = 7\)，两边减 5 得\(x = 7 - 5 = 2\)；由\(3x = 2x + 4\)，两边减\(2x\)得\(x = 4\)。二、等式性质 2内容：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等；符号表示：若\(a = b\)，则\(ac = bc\)；若\(a = b\)（\(c ≠ 0\)），则\(\frac{a}{c} = \frac{b}{c}\)；示例：由\(2x = 6\)，两边除以 2 得\(x = 3\)；由\(\frac{x}{3} = 4\)，两边乘 3 得\(x = 12\)；注意：除以的数不能为 0（如\(5x = 0\)，两边除以 5 得\(x=0\)，但不能除以 0）。三、等式性质的应用（简单方程求解）例 3：利用等式性质解下列方程：①\(x - 4 = 5\)；②\(\frac{x}{2} = 3\)；③\(3x + 2 = 8\)。解：①两边加 4：\(x = 5 + 4 = 9\)；②两边乘 2：\(x = 3×2 = 6\)；③第一步：两边减 2：\(3x = 8 - 2 = 6\)；第二步：两边除以 3：\(x = 2\)。幻灯片 5：模块三 —— 一元一次方程的解法（完整步骤）一、核心解法步骤（以方程\(\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{4} = 1\)为例）步骤 1：去分母（依据等式性质 2，消去分母）找最简公分母：分母 3 和 4 的最小公倍数是 12；方程两边乘 12（每一项都要乘，避免漏乘）：\(12×\frac{2x - 1}{3} - 12×\frac{x + 2}{4} = 12×1\)；化简得：\(4(2x - 1) - 3(x + 2) = 12\)。步骤 2：去括号（依据去括号法则，注意符号）展开括号：\(8x - 4 - 3x - 6 = 12\)（括号前是负号，括号内各项变号）。步骤 3：移项（依据等式性质 1，含未知数的项移左，常数项移右，移项变号）移项：\(8x - 3x = 12 + 4 + 6\)（\(-4\)、\(-6\)移右变\(+4\)、\(+6\)）。步骤 4：合并同类项（化简方程为 “\(ax = b\)” 形式）合并：\(5x = 22\)。步骤 5：系数化为 1（依据等式性质 2，两边除以未知数系数）计算：\(x = \frac{22}{5} = 4.4\)。步骤 6：检验（可选，代入原方程验证）左边：\(\frac{2×4.4 - 1}{3} - \frac{4.4 + 2}{4} = \frac{7.8}{3} - \frac{6.4}{4} = 2.6 - 1.6 = 1\)，与右边相等，解正确。二、各步骤易错点与规避去分母：漏乘不含分母的常数项（如方程\(\frac{x}{2} + 1 = 3\)，乘 2 时错写为\(x + 1 = 6\)，正确应为\(x + 2 = 6\)）；规避：标记方程每一项，确保每一项都乘最简公分母。去括号：括号前是负号，部分项未变号（如\(-2(x - 3)\)错写为\(-2x - 6\)，正确应为\(-2x + 6\)）；规避：去括号前先判断符号，负号时逐项变号。移项：移项未变号（如\(3x - 5 = 2x + 1\)，错写为\(3x - 2x = 1 - 5\)，正确应为\(3x - 2x = 1 + 5\)）；规避：牢记 “移项要变号”，不移的项不变号。三、典型例题（完整解法练习）例 4：解方程\(2(x - 1) - 3(2x + 3) = 1\)。解：①去括号：\(2x - 2 - 6x - 9 = 1\)；②移项：\(2x - 6x = 1 + 2 + 9\)；③合并同类项：\(-4x = 12\)；④系数化为 1：\(x = -3\)。例 5：解方程\(\frac{x - 1}{2} - \frac{3x + 2}{5} = \frac{1}{10}\)。解：①去分母（乘 10）：\(5(x - 1) - 2(3x + 2) = 1\)；②去括号：\(5x - 5 - 6x - 4 = 1\)；③移项：\(5x - 6x = 1 + 5 + 4\)；④合并同类项：\(-x = 10\)；⑤系数化为 1：\(x = -10\)。幻灯片 6：模块四 —— 一元一次方程的实际应用（一）：常见场景一、配套问题（核心：按固定比例配套）解题关键：找出 “部件的配套比例”，确保 “多部件数量 = 比例 × 少部件数量”；示例：某车间 22 名工人生产螺钉和螺母，1 个螺钉配 2 个螺母，每人每天产螺钉 1200 个或螺母 2000 个，如何安排人数使螺钉和螺母配套？解：设\(x\)人产螺钉，\((22 - x)\)人产螺母；等量关系：螺母数量 = 2× 螺钉数量→\(2000(22 - x) = 2×1200x\)；解方程：\(44000 - 2000x = 2400x\)→\(4400x = 44000\)→\(x = 10\)；答：10 人产螺钉，12 人产螺母。二、销售问题（核心：利润、售价、进价、折扣的关系）关键公式：利润 = 售价 - 进价；售价 = 标价 × 折扣；利润率 =\(\frac{利润}{进价}×100\%\)；示例：某商品进价 100 元，标价 150 元，打 8 折销售，求利润与利润率。解：售价 = 150×0.8=120 元；利润 = 120-100=20 元；利润率 =\(\frac{20}{100}×100\%=20\%\)；答：利润 20 元，利润率 20%。三、积分问题（核心：得分项 - 扣分项 = 总积分）解题关键：明确积分规则（如胜场得分、负场扣分），按规则列等量关系；示例：篮球比赛胜一场得 2 分，负一场得 1 分，某队 10 场比赛得 16 分，胜几场？解：设胜\(x\)场，负\((10 - x)\)场；等量关系：\(2x + 1×(10 - x) = 16\)；解方程：\(2x + 10 - x = 16\)→\(x = 6\)；答：胜 6 场。幻灯片 7：模块四 —— 一元一次方程的实际应用（二）：复杂场景一、分段计费问题（核心：按分段点划分费用）解题关键：先判断未知量所在分段，再按对应分段的计费规则列方程；示例：电费标准：≤200 度 0.55 元 / 度，超 200 度部分 0.6 元 / 度，缴电费 130 元，用电多少度？解：200 度电费 = 200×0.55=110 元＜130 元，用电超 200 度；设用电\(x\)度（\(x > 200\)）；等量关系：110 + 0.6 (x - 200) = 130；解方程：0.6 (x - 200)=20→x - 200≈33.33→x≈233.33；答：用电约 233.33 度。二、工程问题（核心：工作总量 = 效率 × 时间，总工作量设为 1）关键公式：效率 =\(\frac{1}{单独完成时间}\)；合作效率 = 甲效率 + 乙效率；示例：甲单独做 10 天完成工程，乙单独做 15 天完成，两人合作几天完成？解：设合作\(x\)天完成，甲效率\(\frac{1}{10}\)，乙效率\(\frac{1}{15}\)；等量关系：\(\frac{x}{10} + \frac{x}{15} = 1\)；解方程：去分母（30）→3x + 2x=30→x=6；答：合作 6 天完成。三、实际应用解题流程总结设：设未知数（直接设或间接设，标注单位）；找：分析题意，找出等量关系（如配套比例、利润公式、积分规则）；列：根据等量关系列一元一次方程（确保左右两边意义一致）；解：按解方程步骤求解；验：检验解的合理性（如人数、度数为正，符合实际场景）；答：用完整语言作答（带单位）。幻灯片 8：易错点总结与提升实际应用易错点：设未知数时漏写单位（如设\(x\)人，而非\(x\)）；找错等量关系（如配套问题错按 “数量相等” 列方程，而非 “比例关系”）；检验时忽略实际意义（如解为负数或小数，不符合人数、场数等整数要求）；规避：设未知数后标注单位，列方程前梳理数量关系，解后结合场景验证。综合提升例题：例 6：某商场促销，方案一：满 300 减 100；方案二：打 7 折。买一件标价 500 元的商品，选哪种方案更省钱？若标价为\(x\)元（\(x > 300\)），两种方案费用相等时\(x\)是多少？解：①标价 500 元时：方案一费用 = 500-100=400 元；方案二费用 = 500×0.7=350 元；350＜400，选方案二；②设费用相等时\(x\)元：方案一费用 =\(x - 100\)，【2024新教材】人教版数学 七年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 实际问题实际问题的解答一元一次方程一元一次方程的解（x=m）设未知数，根据相等关系列方程抽象为数学模型解方程回归于实际问题检 验本章知识结构图.一般步骤：去分母去括号移项合并同类项系数化为1一元一次方程方程：含有未知数的等式.一元一次方程：只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1的方程.方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值.概念等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.性质等式的基本事实：等式两边可以交换. 相等关系可以传递.解一元一次方程的一般步骤：去分母.去括号.移项.合并同类项.系数化为1.  45%n+110=n.1.列方程表示下列语句中的相等关系：(3)一种商品每件进价为a元，售价为进价的1.1倍，现每件的售价又降低10元，现售价为每件210元；(4)在5天中，第一小组共植树60棵，第二小组共植树x(x