5.3.1配套问题和工程问题（教学课件）2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

5.3.1 配套问题和工程问题列一元一次方程解决实际问题是代数知识的重要应用，配套问题和工程问题是其中两类典型题型。这两类问题的核心在于找到题目中的等量关系，通过设未知数、列方程、解方程来解决实际问题。掌握这两类问题的解题思路，能提升用数学模型解决实际问题的能力。一、配套问题核心等量关系：配套问题的关键是明确不同部件之间的数量比例关系，即 “生产的各种部件数量成比例”。例如：若 1 个零件 A 需要搭配 2 个零件 B 才能组装成一个完整产品，则生产的零件 A 数量与零件 B 数量的比应为 1:2，即零件 B 的数量 = 2× 零件 A 的数量。解题步骤：设未知数：设生产其中一种部件的数量为\(x\)（或设生产该部件的人数为\(x\)）；表示其他部件数量：根据人数分配或生产效率，用含\(x\)的代数式表示其他部件的数量；列方程：根据配套比例关系列出方程；解方程：求出未知数的值；检验并作答：检验结果是否符合实际意义，再回答问题。实例解析：示例 1：某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母。1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？解：步骤 1：设安排\(x\)名工人生产螺钉，则生产螺母的工人有\((22 - x)\)名。步骤 2：表示数量：每天生产螺钉\(1200x\)个，生产螺母\(2000(22 - x)\)个。步骤 3：列方程（螺母数量是螺钉数量的 2 倍）：\(2000(22 - x) = 2×1200x\)。步骤 4：解方程：去括号得\(44000 - 2000x = 2400x\)，移项得\(-2000x - 2400x = -44000\)，合并得\(-4400x = -44000\)，系数化为 1 得\(x = 10\)。步骤 5：检验并作答：生产螺母的工人为\(22 - 10 = 12\)名。此时螺钉数量为\(1200×10 = 12000\)个，螺母数量为\(2000×12 = 24000\)个，\(24000 = 2×12000\)，符合配套要求。答：应安排 10 名工人生产螺钉，12 名工人生产螺母。示例 2：用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 25 个或制盒底 40 个，1 个盒身与 2 个盒底配成 1 个罐头盒。现有 36 张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底刚好配套？解：步骤 1：设用\(x\)张铁皮制盒身，则用\((36 - x)\)张铁皮制盒底。步骤 2：表示数量：盒身数量为\(25x\)个，盒底数量为\(40(36 - x)\)个。步骤 3：列方程（盒底数量是盒身数量的 2 倍）：\(40(36 - x) = 2×25x\)。步骤 4：解方程：去括号得\(1440 - 40x = 50x\)，移项得\(-40x - 50x = -1440\)，合并得\(-90x = -1440\)，系数化为 1 得\(x = 16\)。步骤 5：检验并作答：制盒底的铁皮为\(36 - 16 = 20\)张。盒身数量为\(25×16 = 400\)个，盒底数量为\(40×20 = 800\)个，\(800 = 2×400\)，符合配套要求。答：用 16 张制盒身，20 张制盒底可以使盒身与盒底刚好配套。二、工程问题核心等量关系：工程问题通常将总工作量视为单位 “1”，基本关系为：例如：若甲单独完成一项工程需要\(a\)天，则甲的工作效率为每天完成\(\frac{1}{a}\)；若甲工作\(b\)天，则甲完成的工作量为\(\frac{b}{a}\)。工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间；工作量 = 工作效率 × 工作时间；各部分工作量之和 = 总工作量（通常为 1）。解题步骤：设未知数：设完成工程所需时间为\(x\)（或设甲、乙的工作效率等）；确定工作效率：根据单独完成时间表示各主体的工作效率；表示工作量：根据工作时间和工作效率，用含\(x\)的代数式表示各主体完成的工作量；列方程：根据 “各部分工作量之和 = 总工作量” 列出方程；解方程：求出未知数的值；检验并作答：检验结果是否合理，再回答问题。实例解析：示例 1：一件工作，甲单独做需要 15 天完成，乙单独做需要 12 天完成。现甲先单独做 1 天，之后甲、乙两人合作，还需要多少天才能完成这件工作？解：步骤 1：设甲、乙合作还需要\(x\)天才能完成工作。步骤 2：确定工作效率：甲的工作效率为\(\frac{1}{15}\)，乙的工作效率为\(\frac{1}{12}\)。步骤 3：表示工作量：甲先做 1 天完成的工作量为\(\frac{1}{15}\)，甲、乙合作\(x\)天完成的工作量为\((\frac{1}{15} + \frac{1}{12})x\)。步骤 4：列方程（总工作量为 1）：\(\frac{1}{15} + (\frac{1}{15} + \frac{1}{12})x = 1\)。步骤 5：解方程：去分母（最简公分母 60）得\(4 + (4 + 5)x = 60\)，即\(4 + 9x = 60\)，移项得\(9x = 56\)，系数化为 1 得\(x = \frac{56}{9} ≈ 6.22\)。步骤 6：检验并作答：由于天数需取整数，且\(\frac{56}{9}\)天约为 6.22 天，实际需 7 天？（此处按精确值作答）答：还需要\(\frac{56}{9}\)天（约 6.22 天）才能完成这件工作。示例 2：一项工程，甲队单独施工需要 10 天完成，乙队单独施工需要 15 天完成。两队合作 3 天后，剩下的工程由乙队单独完成，还需要多少天？解：步骤 1：设乙队单独完成剩下的工程还需要\(x\)天。步骤 2：确定工作效率：甲队效率为\(\frac{1}{10}\)，乙队效率为\(\frac{1}{15}\)。步骤 3：表示工作量：两队合作 3 天完成的工作量为\(3×(\frac{1}{10} + \frac{1}{15})\)，乙队单独做\(x\)天完成的工作量为\(\frac{1}{15}x\)。步骤 4：列方程（总工作量为 1）：\(3×(\frac{1}{10} + \frac{1}{15}) + \frac{1}{15}x = 1\)。步骤 5：解方程：计算括号内得\(3×(\frac{3 + 2}{30}) + \frac{x}{15} = 1\)，即\(3×\frac{5}{30} + \frac{x}{15} = 1\)，化简得\(\frac{1}{2} + \frac{x}{15} = 1\)，移项得\(\frac{x}{15} = \frac{1}{2}\)，系数化为 1 得\(x = 7.5\)。步骤 6：检验并作答：\(7.5\)天符合实际意义。答：还需要 7.5 天。三、典型例题分类解析配套问题 —— 按比例分配：例：某服装厂要生产一批西装，每套用布 2.4 米，现有布料 500 米，最多可以生产多少套西装？（配套问题的简单形式，1 套西装对应 1 份布料）解：设最多可以生产\(x\)套西装，列方程\(2.4x ≤ 500\)，解得\(x ≤ 208.33\)，由于西装套数为整数，故\(x = 208\)。答：最多可以生产 208 套西装。工程问题 —— 多人合作：例：一项工作，甲单独做需 8 小时完成，乙单独做需 12 小时完成。甲、乙两人合作 2 小时后，甲因事离开，剩下的部分由乙单独完成，乙还需要多少小时？解：设乙还需要\(x\)小时，甲效率为\(\frac{1}{8}\)，乙效率为\(\frac{1}{12}\)，列方程\(2×(\frac{1}{8} + \frac{1}{12}) + \frac{1}{12}x = 1\)，化简得\(2×\frac{5}{24} + \frac{x}{12} = 1\)，即\(\frac{5}{12} + \frac{x}{12} = 1\)，解得\(x = 7\)。答：乙还需要 7 小时。配套问题 —— 复杂比例：例：某机械厂加工一批零件，已知甲车间每天加工 200 个零件，乙车间每天加工 250 个零件，甲车间加工的零件 A 与乙车间加工的零件 B 按 3:2 配套。现两车间共同加工 5 天，生产的零件是否配套？若不配套，哪类零件多，多多少？解：5 天甲车间生产零件 A：\(200×5 = 1000\)个，乙车间生产零件 B：\(250×5 = 1250\)个，配套比例应为零件 A: 零件 B = 3:2，即\(2×零件A = 3×零件B\)，计算\(2×1000 = 2000\)，\(3×1250 = 3750\)，\(2000 ≠ 3750\)，不配套。因\(2000 < 3750\)，零件 A 少，零件 B 多，多\(1250 - \frac{2}{3}×1000 ≈ 1250 - 666.67 = 583.33\)个（或按比例计算）。答：不配套，零件 B 多，多约 583 个。四、常见错误与规避方法配套问题比例颠倒：常见错误：在 “1 个 A 配 2 个 B” 的问题中，误列方程为\(2×B = A\)（正确应为\(B = 2×A\)）。规避方法：明确 “谁配谁”，例如 “A 配 B” 表示 A 的数量 × 比例中 B 的份数 = B 的数量 × 比例中 A 的份数，即\(A×b = B×a\)（比例为\(A:B = a:b\)）。工程问题总工作量未设为 1：常见错误：解决工程问题时，未将总工作量设为 1，导致无法表示工作效率（如甲单独做 5 天完成，误将效率表示为 5）。规避方法：牢记工程问题中总工作量通常设为 1，工作效率 = \(1÷\)单独完成时间，确保效率是 “每天完成的工作量占比”。忽略实际意义中的整数要求：常见错误：配套问题或工程问题中，结果出现小数时未根据实际情况取整数（如生产套数为 208.3 时，误答 208.3 套）。规避方法：解题后检查结果是否符合实际（如人数、套数、天数应为整数或合理小数），必要时进行四舍五入或取整处理。多人合作时工作量计算错误：常见错误：计算合作工作量时，误将 “甲效率 + 乙效率” 写成 “甲效率 × 乙效率”（如甲效率\(\frac{1}{8}\)，乙效率\(\frac{1}{12}\)，合作效率误算为\(\frac{1}{8}×\frac{1}{12}\)）。规避方法：明确合作效率是各主体效率之和，即 “甲效率 + 乙效率”，而非乘积。五、方法总结与拓展配套问题和工程问题的核心是找到等量关系：配套问题关注 “部件数量比例”，工程问题关注 “工作量之和 = 总工作量”。解决这两类问题的关键步骤包括：仔细审题，明确题目中的数量关系（如配套比例、工作效率、工作时间）；合理设未知数，用代数式表示相关量；根据等量关系列出方程，确保方程两边意义一致；解方程后检验结果是否符合实际意义，再规范作答。这两类问题在实际生活中应用广泛，如生产调度、工程进度安排等。通过练习不同情境的题目，可熟练掌握用一元一次方程解决实际问题的思路，提升数学建模能力和问题解决能力。2024人教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 会运用一元一次方程解决物品配套问题 和工程问题.2. 掌握用一元一次方程解决实际问题的基 本思路和步骤.实际问题一元一次方程设未知数列方程分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是解决实际问题的一种数学方法.例 题【教材P133】 例 1 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1 200 个螺栓或 2 000 个螺母. 1 个螺栓需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？如果设应安排 x 名工人生产螺栓，则_______名工人生产螺母.螺栓的数量为___________，螺母的数量为____________.如何找出等量关系？1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套.等量关系：螺母数量 = 螺栓数量×2(22-x)1200x2000(22-x)例 题【教材P133】 例 1 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1 200 个螺栓或 2 000 个螺母. 1 个螺栓需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？(22-x)1200x2000(22-x)解：设应安排 x 名工人生产螺栓，(22-x)名工人生产螺母.根据螺母数量应是螺栓数量的 2 倍，列得方程2000(22-x) = 2×1200x.解方程，得 x = 10.22-x = 12.答：应安排 10 名工人生产螺栓，12 名工人生产螺母.(22-x)1200x2000(22-x)如果设 x 名工人生产螺母，怎样列方程？2000x = 2×1200(22-x).例 题【教材P133】 例 1 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1 200 个螺栓或 2 000 个螺母. 1 个螺栓需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？配套问题配套问题中的基本关系：可得相等关系：m×B 的数量 = n×A 的数量.巩固练习某服装厂要生产一批校服，已知每米布料可以做 2 件上衣或 3 条裤子，1 件上衣和 2 条裤子配成一套. 现有 1008 m 的布料，应怎样计划用料才能做尽可能多的成套校服？每米布料可以做 2 件上衣或 3 条裤子上衣的数量∶裤子的数量 = 1∶2可得：裤子的数量 = 上衣的数量×2上衣和裤子共用布料 1008 m条件分析解:设用 x m 布料做上衣，则用 (1008-x) m 布料做裤子.由题意，得 3(1008 - x) = 2x×2，解得 x = 432. 所以 1008 - x = 576.答:用 432 m 布料做上衣，576 m 布料做裤子，才能做尽可能多的成套校服.巩固练习某服装厂要生产一批校服，已知每米布料可以做 2 件上衣或 3 条裤子，1 件上衣和 2 条裤子配成一套. 现有 1008 m 的布料，应怎样计划用料才能做尽可能多的成套校服？例 题【教材P133】 例 2 整理一批图书，由 1 人整理需要 40 h 完成. 现计划由一部分人先整理 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？分析：在工程问题中：工作量=人均效率×人数×时间前部分工作总量 + 后部分工作总量 = 总工作量解：设先安排 x 人整理 4 h.根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，答：应先安排 2 人进行整理.工程问题工程问题中常用的相等关系：（1）工作量 = 工作效率 × 工作时间（2）合作效率 = 各部分的工作效率之和（3）总工作量 = 各部分的工作量之和（4）总工作量 = 人均效率×人数×时间巩固练习有一批零件加工任务，甲单独做要 40 h 完成，乙单独做要 30 h 完成. 甲单独做了一段时间后另有任务，剩下的任务由乙接手并单独完成，最终完成任务时，乙比甲多做了 2 h. 甲做了多少小时？甲的工作量 + 乙的工作量 = 总工作量“1”甲的工作效率×工作时间 乙的工作效率×工作时间 巩固练习有一批零件加工任务，甲单独做要 40 h 完成，乙单独做要 30 h 完成. 甲单独做了一段时间后另有任务，剩下的任务由乙接手并单独完成，最终完成任务时，乙比甲多做了 2 h. 甲做了多少小时？解：设甲做了 x h，则乙做了 (x + 2) h.答：甲做了 16 h.归 纳用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案. 正确分析问题中的相等关系是列方程的基础.练 习【选自教材P134 练习 第1题】1. 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要 12 天，由乙工程队单独铺设需要 24 天，如果由这两支工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？解: 设需要 x 天可以铺好这条管线.根据题意，得 .解得 x ＝ 8.答: 需要 8 天可以铺好这条管线.2. 在一次劳动课上，有 27 名同学在甲处劳动，有 19 名 同学在乙处劳动. 现在从其他班级另调 20 人去支援， 使得在甲处的人数为在乙处人数的 2 倍，应调往甲、 乙两处各多少人？解：设调往甲处 x 人，则调往乙处 (20 - x) 人.根据题意，得 27 + x = 2(19 + 20 - x).解得 x = 17. 所以 20 - x = 3.答：应调往甲处 17 人，乙处 3 人.【选自教材P134 练习 第2题】3. 一台仪器由 1 个 A 部件和 3 个 B 部件构成. 用 1 m3 钢材可以做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件，现要用 6 m3 钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做 A 部件，多少立方米钢材做 B 部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？解:设用 x m3 钢材做 A 部件，则用 (6 - x) m3 钢材做 B 部件.根据题意，3×40x = 240(6 - x). 解得 x = 4.所以 6 - x = 2，40x = 160.答:应用 4 m3 钢材做A部件，2 m3 钢材做 B 部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成 160 台仪器.【选自教材P134 练习 第3题】 D  返回2. ［2024烟台］《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作.书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟.初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫.问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？( )CA. 45尺 B. 88尺C. 90尺 D. 98尺 返回3.某工厂安排60名工人加工一批桌子，每张桌子由1张桌面和4条桌腿组成.每名工人每天可以加工2张桌面或者4条桌腿（每人只加工桌面或桌腿），为了使每天加工的桌面和桌腿恰好配套，每天应该安排____名工人生产桌面.20  返回4. 问题：师徒二人检修管道，____，求师傅与徒弟每小时各检修多长的管道.条件：       返回5. 某车间有技工85人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个，已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，通过合理安排，分配恰当的人数生产甲种或乙种零件，可以使得每天生产的两种零件刚好配套，则每天可以生产配套的零件( )AA. 200套 B. 201套C. 202套 D. 203套用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！