5.2.3利用去括号解一元一次方程（教学课件）2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

5.2.3 利用去括号解一元一次方程当一元一次方程中含有括号时，去括号是求解过程中的重要前置步骤。括号的存在会阻碍同类项的合并和移项操作，因此需要先通过去括号法则将方程化简，再结合移项、合并同类项等步骤求解。掌握去括号的技巧，能确保方程变形的准确性，为后续求解扫清障碍。一、去括号的必要性与依据必要性：当方程中含有括号时，含未知数的项和常数项往往被括号分隔，无法直接进行移项和合并同类项。例如：方程\(2(x + 3) = 14 - 3(x - 1)\)中，\(x\)的项分别在两个括号内，需先去括号才能将含\(x\)的项集中。依据：去括号的依据是乘法分配律，即\(a(b + c) = ab + ac\)。通过将括号外的系数与括号内的每一项分别相乘，实现括号的去除。例如：\(3(x - 2) = 3x - 6\)，就是利用分配律将\(3\)与\(x\)、\(-2\)分别相乘。二、去括号的法则回顾在解一元一次方程时，去括号需遵循以下法则：括号前是 “\(+\)” 号：去掉括号和它前面的 “\(+\)” 号后，括号内各项的符号不变。例如：\(+(2x - 5) = 2x - 5\)，方程\(x + (3x - 1) = 7\)去括号后为\(x + 3x - 1 = 7\)。括号前是 “\(-\)” 号：去掉括号和它前面的 “\(-\)” 号后，括号内各项的符号都要改变（正号变负号，负号变正号）。例如：\(-(2x - 5) = -2x + 5\)，方程\(5 - (x + 2) = 3\)去括号后为\(5 - x - 2 = 3\)。括号前有数字因数：需将数字因数与括号内的每一项分别相乘，再按上述法则处理符号。例如：\(2(3x - 4) = 6x - 8\)，\(-3(2x + 1) = -6x - 3\)。多层括号：若方程中含有多层括号（如小括号、中括号），一般从最内层的小括号开始逐层去除，或根据情况先去外层括号，但需注意每层括号的符号变化。例如：\(2[3(x - 1) + 2] = 16\)，可先去小括号，再去中括号。三、利用去括号解一元一次方程的步骤含有括号的一元一次方程的求解步骤可概括为 “去括号→移项→合并同类项→化系数为 1”，具体如下：去括号：根据去括号法则去除方程中的括号，确保括号内每一项都与括号外的系数相乘（若有系数），并正确处理符号。例如：方程\(3(x - 2) + 4 = 5x - 1\)去括号后为\(3x - 6 + 4 = 5x - 1\)。移项：将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，移项时改变符号。例如：上例去括号后整理为\(3x - 2 = 5x - 1\)，移项得\(3x - 5x = -1 + 2\)。合并同类项：分别合并等号两边的同类项，将方程化为\(ax = b\)（\(a ≠ 0\)）的形式。例如：上例移项后合并得\(-2x = 1\)。系数化为 1：方程两边同时除以未知数的系数\(a\)，得到方程的解\(x = \frac{b}{a}\)。例如：上例系数化为 1 得\(x = -\frac{1}{2}\)。四、实例解析示例 1：解方程\(4(x + 2) = 28\)。解：步骤 1：去括号（括号前是数字\(4\)，用分配律）：\(4x + 8 = 28\)。步骤 2：移项（将\(8\)移到右边）：\(4x = 28 - 8\)。步骤 3：合并同类项：\(4x = 20\)。步骤 4：系数化为 1：\(x = 5\)。因此，方程的解为\(x = 5\)。示例 2：解方程\(2(3y - 1) - 3(2 - 4y) = 9y + 10\)。解：步骤 1：去括号（注意括号前的负号）：\(6y - 2 - 6 + 12y = 9y + 10\)（\(2×3y = 6y\)，\(2×(-1) = -2\)；\(-3×2 = -6\)，\(-3×(-4y) = +12y\)）。步骤 2：合并同侧同类项：\((6y + 12y) + (-2 - 6) = 9y + 10\)，即\(18y - 8 = 9y + 10\)。步骤 3：移项（将\(9y\)移到左边，\(-8\)移到右边）：\(18y - 9y = 10 + 8\)。步骤 4：合并同类项：\(9y = 18\)。步骤 5：系数化为 1：\(y = 2\)。因此，方程的解为\(y = 2\)。示例 3：解方程\(3[ x - 2(x - 1) ] = 2(1 - x)\)。解：步骤 1：去小括号（内层括号）：\(3[ x - 2x + 2 ] = 2 - 2x\)（注意\(-2×(-1) = +2\)）。步骤 2：合并中括号内同类项：\(3[ -x + 2 ] = 2 - 2x\)。步骤 3：去中括号：\(-3x + 6 = 2 - 2x\)（\(3×(-x) = -3x\)，\(3×2 = +6\)）。步骤 4：移项（将\(-2x\)移到左边，\(6\)移到右边）：\(-3x + 2x = 2 - 6\)。步骤 5：合并同类项：\(-x = -4\)。步骤 6：系数化为 1：\(x = 4\)。因此，方程的解为\(x = 4\)。五、典型例题分类解析括号前为正数的方程：例：解方程\(5(2x - 1) = 3(x + 2) + 4\)。解：去括号得\(10x - 5 = 3x + 6 + 4\)，移项得\(10x - 3x = 6 + 4 + 5\)，合并得\(7x = 15\)，系数化为 1 得\(x = \frac{15}{7}\)。括号前为负数的方程：例：解方程\(7 - 2(3x - 1) = 5x\)。解：去括号得\(7 - 6x + 2 = 5x\)，合并同侧得\(9 - 6x = 5x\)，移项得\(-6x - 5x = -9\)，合并得\(-11x = -9\)，系数化为 1 得\(x = \frac{9}{11}\)。多层括号的方程：例：解方程\(2[ (x + 1) - 3 ] = 5(x - 2)\)。解：去小括号得\(2[ x + 1 - 3 ] = 5x - 10\)，合并中括号得\(2[ x - 2 ] = 5x - 10\)，去中括号得\(2x - 4 = 5x - 10\)，移项得\(2x - 5x = -10 + 4\)，合并得\(-3x = -6\)，系数化为 1 得\(x = 2\)。含分数系数的括号方程：例：解方程\(\frac{1}{2}(4x - 6) = \frac{1}{3}(9x - 3)\)。解：去括号得\(2x - 3 = 3x - 1\)（\(\frac{1}{2}×4x = 2x\)，\(\frac{1}{2}×(-6) = -3\)；\(\frac{1}{3}×9x = 3x\)，\(\frac{1}{3}×(-3) = -1\)），移项得\(2x - 3x = -1 + 3\)，合并得\(-x = 2\)，系数化为 1 得\(x = -2\)。六、常见错误与规避方法去括号时漏乘项：常见错误：解方程\(2(x + 3) = 5x - 1\)时，去括号误得\(2x + 3 = 5x - 1\)（漏乘\(2×3\)），导致后续求解错误。规避方法：去括号前明确括号外的系数，将系数与括号内的每一项逐一相乘，可在草稿纸上标注 “分配律” 步骤，如\(2(x + 3) = 2×x + 2×3\)。括号前是负号时符号漏改：常见错误：解方程\(5 - (x - 2) = 3\)时，去括号误得\(5 - x - 2 = 3\)（\(-2\)未变号），正确应为\(5 - x + 2 = 3\)。规避方法：括号前是 “\(-\)” 号时，默念 “每项变号”，将括号内的正号改为负号、负号改为正号，逐一检查每一项的符号。多层括号去括号顺序错误：常见错误：解方程\(3[ x - (2x + 1) ] = 4\)时，先去中括号得\(3x - (2x + 1) = 4\)（漏乘中括号外的系数），正确应先去小括号。规避方法：多层括号建议 “由内向外” 逐层去除，每去一层括号后及时合并同类项，减少符号混淆的可能性。去括号后未合并同侧同类项：常见错误：解方程\(2x + 3(x - 1) = 4x + 5\)时，去括号得\(2x + 3x - 3 = 4x + 5\)，未合并左边同类项直接移项，增加计算复杂度。规避方法：去括号后，先将等号两边各自的同类项合并，使方程结构更简洁，再进行移项操作。七、方法总结与拓展利用去括号解一元一次方程的核心是准确应用去括号法则，将含括号的方程转化为不含括号的常规方程。在实际解题中，需注意以下几点：去括号前观察括号前的符号和系数，明确每一步的变形依据（分配律和符号法则）；多层括号按 “由内向外” 或 “由外向内” 的顺序处理，确保每一层括号都正确去除；去括号后及时合并同侧同类项，为后续移项和求解简化步骤；完成去括号后，严格按照 “移项→合并同类项→化系数为 1” 的步骤求解，确保每一步的准确性。去括号是解复杂一元一次方程的关键环节，其准确性直接影响后续求解的正确性。通过大量练习不同类型的含括号方程，可熟练掌握去括号的技巧，为解决更复杂的代数问题奠定基础。2024人教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.会用去括号的方法解一元一次方程2.熟悉如何设未知数列方程解应用题新课导入解下列方程：解：移项，得 5x - 7x = 3 - 45.合并同类项，得 -2x = -42.系数化为 1，得 x = 21.5x + 45 = 7x + 3这样的方程，又该怎么办呢？1. 去括号法则是什么？（1）去掉“+（ ）”，括号内各项的符号都不变号.（2）去掉“－（ ）”，括号内各项的符号都要变号.2. 已经学过的解一元一次方程的步骤：（1）移项（2）合并同类项（3）系数化为 13. 已经会解的两种类型的方程：ax + bx = c（a，b，c 为常数）ax + b = cx + d（a，b，c，d 为常数）新知探索 问题 3 某工厂采取节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少 2 000 kW·h（千瓦时），全年的用电量是 150 000 kW·h . 这个工厂去年上半年平均每月的用电量是多少？ 思考：1. 题目中涉及了哪些量？2. 题目中的相等关系是什么？月平均用电量×n（月数）= n 个月用电量上半年的用电量 + 下半年的用电量 = 全年的用电量新知探索分析：设去年上半年平均每月的用电量是 x kW·h，则下半年平均每月用电量是 (x - 2000) kW·h；上半年的用电量是6x kW·h，下半年的用电量是 6(x-2000) kW·h．根据全年的用电量是 150 000 kW·h，列得方程6x + 6(x - 2 000) = 150 000怎样解这个方程？这个方程与我们前面研究过的方程有什么不同？方程左边去括号，得6x + 6x-12 000 = 150 000移项，得6x + 6x = 150 000 + 12 000合并同类项，得12x = 162 000系数化为 1，得x = 13 500这个工厂去年上半年平均每月的用电量是 13 500 kW·h.6x + 6(x - 2 000) = 150 000当方程中有带括号的式子时，去括号是常用的化简步骤.利用去括号解一元一次方程的一般步骤：例 题【教材P125】例 5 解下列方程：（1）2x –(x + 10) = 5x + 2(x – 1)；解：去括号，得 2x–x -10 = 5x + 2x - 2.移项，得 2x–x - 5x - 2x = -2 + 10.合并同类项，得 -6x = 8.例 题【教材P125】（2）3x – 7(x – 1) = 3 – 2(x + 3) .去括号，得 3x–7x + 7 = 3 - 2x - 6.移项，得 3x–7x + 2x = 3 -6 -7.合并同类项，得 -2x = -10.系数化为 1，得 x = 5.巩固练习解方程： x + 1－2(x－1) = 1－3x解：去括号，得 x + 1－2x － 2 = 1－3x移项，得 x－2x + 3x = 1 －1+2合并同类项，得 2x = 2系数化为 1，得 x =1 上述解答过程错在哪一步？指出并加以改正.x + 1－2x + 2 = 1－3x x－2x + 3x = 1－1－22x = －2 例 6 一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了 2 h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了 2.5 h．已知水流的速度是 3 km/h，求船在静水中的平均速度.例 题【教材P125】思考：1. 行程问题涉及哪些量？它们之间的关系是什么？ 2. 问题中涉及到顺、逆流因素，这类问题中有哪些基本相等关系？顺水（风）、逆水（风）问题中的相等关系：（1）顺水速度＝静水速度 + 水流速度， 逆水速度＝静水速度－水流速度.（2）顺风速度＝ 无风速度 + 风速， 逆风速度＝ 无风速度－风速.（3）往返于A，B 两地时，顺水(风)航程＝逆水(风)航程分析：一般情况下，可以认为这艘船往返的路程相等.根据这个相等关系，可以列方程求出船在静水中的平均速度. 例 6 一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了 2 h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了 2.5 h．已知水流的速度是 3 km/h，求船在静水中的平均速度.例 题【教材P125】 解：设船在静水中的平均速度为 x km/h，则顺水的速度为 (x+3) km/h，逆水速度为 (x-3) km/h. 根据往返路程相等，列得方程 2(x+3) = 2.5(x-3). 去括号，得 2x + 6 = 2.5x - 7.5. 移项及合并类型，得 -0.5x = -13.5. 系数化为 1，得 x = 27. 答：船在静水中的平均速度为 27 km/h.巩固练习 一艘船从甲码头顺水航行到乙码头用时 4 h，从乙码头逆水航行返回甲码头用时 5 h. 已知水流的速度为 3 km/h，求甲、乙两个码头之间的航程.分析：①设船在静水中的平均速度为 x km/h. ②相等关系：顺水航程＝逆水航程.解:设船在静水中的平均速度为 x km/h.根据题意，得 4(x + 3)＝ 5(x - 3).去括号，得 4x + 12 ＝ 5x-15.移项及合并同类项，得 -x = -27.系数化为 1，得 x = 27.所以 4(x + 3) = 120.答:甲、乙两个码头之间的航程为 120 km.【选自教材教材P126 练习 第1题】1. 解下列方程：解：去括号，得 2x + 6 = 5x. （1）2(x + 3) = 5x；移项，得 2x - 5x = -6. 合并同类项，得 -3x = -6.系数化为 1，得 x = 2.（2）4x + 3(2x - 3) = 12-(x + 4)；解：去括号，得 4x + 6x - 9 = 12–x - 4. 移项，得 4x + 6x + x = 12-4 + 9. 合并同类项，得 11x = 17.（3）6( x - 4) + 2x = 7-( x - 1)；系数化为 1，得 x = 6.（4）2 - 3(x + 1) = 1-2(1 + 0.5x).解：去括号，得 2 - 3x - 3 = 1- 2–x. 移项，得 -3x + x = 1-2-2 + 3. 合并同类项，得 -2x = 0.系数化为 1，得 x = 0 .2. 一个长方形的长减少 2 cm，宽增加 2 cm 后，面积 保持不变. 已知这个长方形的长是 6 cm，求它的宽.解: 设这个长方形的宽为 x cm.根据题意，得 6x ＝ (6-2)(x + 2).解得 x = 4.答:它的宽为 4 cm.【选自教材教材P126 练习 第2题】3. 编织大、小两种中国结共 6 个，总计用绳 20 m，已知 编织 1 个大号中国结需用绳 4 m，编织 1 个小号中国结 需用绳 3 m. 问这两种中国结各编织了多少个.解:设编织了 x 个大号中国结.根据题意，得 4x + 3(6-x) = 20.解得 x = 2. 所以 6-x = 4.答:编织了 2 个大号中国结，4 个小号中国结.【选自教材教材P126 练习 第3题】 D  返回 CA. 1 B. 3 C. 5 D. 7 返回  B 返回4.［2024盐城］中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为____尺.155.解下列方程：      利用去括号解一元一次方程的一般步骤：必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！