5.3.2销售中的盈亏问题（教学课件）2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

5.3.2 销售中的盈亏问题销售中的盈亏问题是一元一次方程在经济生活中的典型应用，这类问题围绕成本、售价、利润、利润率等核心概念展开，通过分析商品销售后的收入与成本的关系判断盈亏。掌握盈亏问题的解题思路，不仅能解决数学问题，还能提升对实际经济活动的理解。一、核心概念与基本关系关键概念：成本价（进价）：商家购进商品时的价格，即商品的成本，通常用\(x\)表示。售价：商家卖出商品时的价格，即商品的卖出价。利润：售价减去成本价所得的收益，即利润 = 售价 - 成本价。若利润为正，则盈利；若利润为负，则亏损。利润率：利润与成本价的比值（通常用百分数表示），即利润率 = \(\frac{利润}{成本价}×100\%\)。基本等量关系：例如：一件商品成本价为 100 元，若以 120 元卖出，利润为\(120 - 100 = 20\)元，利润率为\(\frac{20}{100}×100\% = 20\%\)；若以 90 元卖出，利润为\(90 - 100 = -10\)元（亏损 10 元），利润率为\(\frac{-10}{100}×100\% = -10\%\)。利润 = 售价 - 成本价；售价 = 成本价 + 利润；售价 = 成本价 ×(1 + 利润率)（当盈利时，利润率为正；当亏损时，利润率为负）；利润率 = \(\frac{售价 - 成本价}{成本价}×100\%\)。二、盈亏判断标准盈利：售价 > 成本价（利润 > 0）；亏损：售价 < 成本价（利润 < 0）；不盈不亏：售价 = 成本价（利润 = 0）。在实际问题中，常需通过计算总成本和总售价的关系判断整体盈亏：总利润 = 总售价 - 总成本。若总利润 > 0，则整体盈利；若总利润 < 0，则整体亏损。三、解题步骤解决销售中的盈亏问题，通常遵循以下步骤：设未知数：设商品的成本价为\(x\)元（或根据问题设其他未知量，如售价、利润率等）；表示售价或利润：根据题目中的利润率、折扣等条件，用含\(x\)的代数式表示售价或利润；列方程：根据 “售价 = 成本价 ×(1 + 利润率)” 或 “利润 = 售价 - 成本价” 等关系列出方程；解方程：求出成本价或其他未知量的值；计算总利润：对于多件商品，分别计算成本和售价，再比较总售价与总成本的大小；检验并作答：检验结果是否符合实际意义，判断盈亏情况并回答问题。四、实例解析示例 1：某商店将一件商品按进价提高 50% 后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 20 元，这件商品的进价是多少元？解：步骤 1：设这件商品的进价为\(x\)元。步骤 2：表示标价和售价：标价为进价提高 50%，即标价 = \(x×(1 + 50\%) = 1.5x\)元；以 8 折优惠卖出，售价 = 标价 ×80% = \(1.5x×0.8 = 1.2x\)元。步骤 3：列方程（利润 = 售价 - 进价 = 20 元）：\(1.2x - x = 20\)。步骤 4：解方程：合并同类项得\(0.2x = 20\)，系数化为 1 得\(x = 100\)。步骤 5：检验并作答：进价为 100 元，售价为\(1.2×100 = 120\)元，利润为\(120 - 100 = 20\)元，符合题意。答：这件商品的进价是 100 元。示例 2：某商店同时卖出两件上衣，每件都以 135 元出售，若按成本计算，其中一件盈利 25%，另一件亏损 25%。问：这家商店卖出这两件上衣总体是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？解：步骤 1：设盈利 25% 的上衣进价为\(x\)元，亏损 25% 的上衣进价为\(y\)元。步骤 2：列方程求进价：对于盈利的上衣：售价 = 进价 ×(1 + 25%)，即\(135 = x×(1 + 25\%)\)，解得\(x = 135÷1.25 = 108\)元；对于亏损的上衣：售价 = 进价 ×(1 - 25%)，即\(135 = y×(1 - 25\%)\)，解得\(y = 135÷0.75 = 180\)元。步骤 3：计算总成本和总售价：总成本 = \(x + y = 108 + 180 = 288\)元，总售价 = \(135×2 = 270\)元。步骤 4：判断盈亏：总利润 = 总售价 - 总成本 = \(270 - 288 = -18\)元（亏损 18 元）。步骤 5：检验并作答：盈利的上衣利润为\(135 - 108 = 27\)元，亏损的上衣利润为\(135 - 180 = -45\)元，总利润为\(27 - 45 = -18\)元，符合计算结果。答：这家商店卖出这两件上衣总体是亏损的，亏损了 18 元。示例 3：某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）。设每件商品的售价上涨\(x\)元（\(x\)为正整数），每个月的销售利润为\(y\)元。（1）求\(y\)与\(x\)的函数关系式；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？解：（1）步骤 1：分析售价和销量的变化：售价上涨\(x\)元后，每件售价为\((50 + x)\)元；销量减少\(10x\)件，每月销量为\((210 - 10x)\)件。步骤 2：列利润关系式：利润 = （售价 - 进价）× 销量，即\(y = (50 + x - 40)(210 - 10x) = (10 + x)(210 - 10x)\)，整理得\(y = -10x² + 110x + 2100\)（\(0 < x ≤ 15\)，因售价不高于 65 元，\(50 + x ≤ 65\)即\(x ≤ 15\)）。（2）步骤 1：分析二次函数的最值：\(y = -10x² + 110x + 2100\)是开口向下的抛物线，对称轴为\(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{110}{2×(-10)} = 5.5\)。步骤 2：确定最大利润：因\(x\)为正整数，故\(x = 5\)或\(x = 6\)时利润最大。当\(x = 5\)时，售价为\(50 + 5 = 55\)元，利润\(y = -10×25 + 110×5 + 2100 = 2400\)元；当\(x = 6\)时，售价为\(50 + 6 = 56\)元，利润\(y = -10×36 + 110×6 + 2100 = 2400\)元。步骤 3：作答：每件商品的售价定为 55 元或 56 元时，每个月可获得最大利润，最大利润是 2400 元。五、典型例题分类解析单一商品的盈亏计算：例：某商品进价为 200 元，按标价的 8 折销售仍可获利 10%，该商品的标价是多少元？解：设标价为\(x\)元，售价为\(0.8x\)元，利润为\(200×10\% = 20\)元，列方程\(0.8x - 200 = 20\)，解得\(0.8x = 220\)，\(x = 275\)。答：该商品的标价是 275 元。多件商品的整体盈亏判断：例：某商店购进 A、B 两种商品，A 商品每件进价 30 元，售价 45 元；B 商品每件进价 20 元，售价 30 元。若购进 A、B 商品共 100 件，总进价为 2600 元，全部卖出后总利润是多少元？解：设购进 A 商品\(x\)件，则购进 B 商品\((100 - x)\)件，列方程\(30x + 20(100 - x) = 2600\)，解得\(x = 60\)，则 B 商品为 40 件，总利润 = A 商品利润 + B 商品利润 = \((45 - 30)×60 + (30 - 20)×40 = 900 + 400 = 1300\)元。答：全部卖出后总利润是 1300 元。含折扣和利润率的综合问题：例：某商品按定价出售，每个可获利 45 元。按定价的 8.5 折出售 8 个与按定价每个减价 35 元出售 12 个所获利润相同，该商品的定价是多少元？解：设该商品的定价为\(x\)元，则进价为\((x - 45)\)元，按 8.5 折出售 8 个的利润：\(8×[0.85x - (x - 45)] = 8×(45 - 0.15x)\)，减价 35 元出售 12 个的利润：\(12×[(x - 35) - (x - 45)] = 12×10 = 120\)元，列方程\(8×(45 - 0.15x) = 120\)，解得\(360 - 1.2x = 120\)，\(1.2x = 240\)，\(x = 200\)。答：该商品的定价是 200 元。六、常见错误与规避方法混淆利润率的计算基数：常见错误：计算利润率时，误将 “售价” 作为基数（如利润为 20 元，售价为 120 元，误算利润率为\(\frac{20}{120}×100\%\)）。规避方法：牢记利润率的定义 —— 利润率 = \(\frac{利润}{成本价}×100\%\)，计算基数是成本价而非售价。多件商品盈亏判断时漏算总成本或总售价：常见错误：判断两件商品的整体盈亏时，仅比较单件利润的绝对值（如一件盈利 20 元，一件亏损 15 元，误判为盈利 5 元，但未考虑两件商品的成本不同）。规避方法：对于多件商品，必须分别计算每件的成本和售价，再通过 “总利润 = 总售价 - 总成本” 判断整体盈亏，而非直接加减单件利润。折扣问题中售价计算错误：常见错误：将 “8 折” 理解为 “售价 = 进价 ×80%”（正确应为 “售价 = 标价 ×80%”）。规避方法：明确折扣是在标价基础上的优惠，即售价 = 标价 × 折扣率，与进价无直接关联（除非题目说明按进价打折）。忽略实际问题中的限制条件：常见错误：在含销量变化的问题中，未考虑售价或销量的取值范围（如示例 3 中售价不能高于 65 元，忽略此条件可能导致结果不合理）。规避方法：解题时仔细审题，标记题目中的限制条件（如 “售价不超过 XX 元”“销量为正整数” 等），确保解在合理范围内。七、方法总结与拓展销售中的盈亏问题核心是围绕 “利润 = 售价 - 成本价” 和 “利润率 = \(\frac{利润}{成本价}\)” 展开，解题时需注意：明确各量之间的关系，区分成本价、标价、售价、利润、利润率等概念；设未知数时，通常设成本价为\(x\)元，便于表示利润和利润率；对于多件商品或含折扣、销量变化的问题，需分步计算各部分的成本和售价，再通过总利润判断整体盈亏；关注实际问题中的限制条件，确保结果符合实际意义（如价格、销量为正数或整数）。这类问题与日常生活密切相关，掌握其解题方法不仅能提高数学应用能力，还能培养经济思维。通过练习不同情境的题目（如单一商品、多件商品、含折扣或销量变化的问题），可熟练运用一元一次方程解决各类销售盈亏问题。2024人教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 理解销售问题中的有关概念及相关的 数量关系.2. 会运用一元一次方程解决商品销售中 的盈亏问题. 生活中，我们经常可以在各种销售场合看见一些商品优惠信息，你知道它们的意思吗？这些量有何关系？销售问题打折销售问题中的相关概念:一般指进价，商品进货时的价格商品出售时所标明的价格商品在出售时的实际价格售价高出成本价的价格商品的利润与成本价的比值打几折后的价格就是标价乘十分之几销售问题销售问题中的相关公式:（1）售价 ＝ 进价 + 利润 ＝ 进价×(1 + 利润率).（2）利润 ＝ 售价－进价 ＝ 进价×利润率.探究 1【教材P135】 销售中的盈亏 一商店以每件 60 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 25%，另一件亏损 25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？你估计盈亏情况是怎样的？销售的盈亏取决于什么？＞＜＝取决于总售价与总成本（两件衣服的成本之和）的关系.现在两件衣服的售价为已知条件，要知道卖这两件衣服是盈利还是亏损，还需要知道什么？分析：两件衣服的成本（即进价）如果设盈利的那件衣服的进价为 x 元 ，根据进价、利润率、售价之间的关系，你能列出方程求解吗？同理，如果设另一件衣服的进价为 y 元呢？x + 0.25x = 60，解得 x = 48.y - 0.25y = 60，解得 y = 80.总进价 = 48 + 80 = 128（元）总售价 = 60 + 60 = 120（元）因为 总售价 < 总进价所以卖这两件衣服共亏损 8 元.解：设盈利 25% 的那件衣服的进价是 x 元，它的商品利润就是 0.25x 元. 根据进价与利润的和等于售价，列得方程类似地，可以设另一件衣服的进价为 y 元，它的商品利润是- 0.25y 元，列得方程巩固练习利润的两种表示售价 – 进价 = 进价 × 利润率80805% 1. 某商品的价格标签已丢失，售货员只知道它的进价为 80 元，以七折销售，此时利润率为 5％ . 根据你所学的方程知识，帮售货员算出标签上的价格. 1. 某商品的价格标签已丢失，售货员只知道它的进价为 80 元，以七折销售，此时利润率为 5％ . 根据你所学的方程知识，帮售货员算出标签上的价格. 2. 某商场从厂家购进甲、乙两种文具，乙种文具每件的进价比甲种文具每件的进价多 20 元. 若购进甲种文具 7 件，乙种文具 2 件，则需要付 760 元. （1）甲、乙两种文具每件的进价分别是多少元？（2）该商场花 4400 元从厂家购进甲种文具 30 件，乙种文具 20 件，在销售时，每件甲种文具的售价为 100 元，要使得这 50 件文具的销售利润率为 30％ ，每件乙种文具的售价应定为多少元？解:（1）设甲种文具每件的进价为 x 元，则乙种文具每件的进价为 (x + 20) 元.由题意，得 7x + 2(x + 20) = 760，解得 x = 80.所以 x + 20 = 100.答:甲、乙两种文具每件的进价分别是 80 元、100 元.（2）设每件乙种文具的售价为 m 元. 由题意，得30×(100-80) + 20(m-100) = 4400×30%，解得 m = 136.答：每件乙种文具的售价应定为136 元.3. 春节期间，某商店以每件 80 元的价格购进一款衬衫 500 件，加价 50％ 后标价.若商店先按标价售出 400 件后降价，剩余的按几折售完能使这批衬衫盈利 35％？解:设剩余的按 x 折售完能使这批衬衫盈利 35％ .即 16000 + 100(12x - 80) = 14000.解得 x = 5.答：剩余的按五折售完能使这批衬衫盈利 35%.1.某商店有两种书包，每个小书包比大书包的进价少 10 元，而它们的售后利润额相同，其中，每个小书包的利润率为 30%，每个大书包的利润率为 20%，试求两种书包的进价.解:设每个小书包的进价为 x 元，则每个大书包的进价为(x+10)元.根据题意，得 30%x = 20%×(x + 10).解得 x = 20. 所以 x + 10 = 30.答:每个小书包的进价为 20 元，每个大书包的进价为 30 元.1.某商店有两种书包，每个小书包比大书包的进价少 10 元，而它们的售后利润额相同，其中，每个小书包的利润率为 30%，每个大书包的利润率为 20%，试求两种书包的进价.2. 一件商品按成本价提高 20% 后标价，再打八折销售， 售价为 144 元，售出这件商品是盈利还是亏损？ 解：设这件商品的成本价为 x 元.根据题意，得 (1 + 20%)x·0.8 = 144.解得 x = 150.因为150 > 144，所以售出这件商品亏损了. DA. 230元 B. 250元C. 270元 D. 300元  返回 AA. 亏损20元 B. 盈利20元C. 亏损18元 D. 不盈不亏 返回3. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日在哈尔滨开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1 000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13 800元.求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？  返回 A. 小明实际购买的盲盒数量B. 小明实际的付款金额C. 小明原计划购买的盲盒数量D. 小明原计划的付款金额√ 返回销售问题中的相关公式:（1）售价 ＝ 进价 + 利润 ＝ 进价×(1 + 利润率).（2）利润 ＝ 售价－进价 ＝ 进价×利润率.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！