5.3 实际问题与一元一次方程-第1课时 配套问题、调配问题与工程问题-课件-2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

幻灯片 1：封面5.3 实际问题与一元一次方程（第 1 课时）学科：数学年级：六年级幻灯片 2：知识回顾与情境导入回顾旧知：解一元一次方程的核心流程：去分母（若有）→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1；列方程的关键：设未知数，找出实际问题中的等量关系（如 “总量 = 部分量之和”“工作总量 = 效率 × 时间”）。情境引入：情境 1（配套问题）：某工厂生产桌椅，1 张桌子配 2 把椅子，现有工人分别生产桌子和椅子，如何分配人数才能使桌椅刚好配套？情境 2（调配问题）：学校图书馆有 A、B 两个书架，A 架有书 120 本，B 架有书 80 本，从 A 架调多少本书到 B 架，才能使两个书架的书同样多？情境 3（工程问题）：一项工程，甲单独做需 10 天完成，乙单独做需 15 天完成，两人合作几天能完成这项工程？这些生活中的实际问题，都可通过列一元一次方程解决。今天我们就针对这三类典型问题，学习用方程解决实际问题的方法。幻灯片 3：学习目标能分析配套问题、调配问题、工程问题中的数量关系，准确找出等量关系。掌握用一元一次方程解决这三类实际问题的完整步骤（设→找→列→解→验→答）。培养将实际问题转化为数学模型的能力，感受方程在解决实际问题中的实用性。幻灯片 4：类型一 —— 配套问题问题特征：生产或分配中，不同部件需按固定比例搭配（如 1 个部件 A 配 n 个部件 B），核心是 “配套比例对应部件数量关系”。核心等量关系：若 “1 个 A 配 n 个 B”，则生产的 B 的数量 = n× 生产的 A 的数量（或\(\frac{B的数量}{A的数量}=n\)），确保刚好配套，无剩余或短缺。实例解析：例 1：某车间有 22 名工人，每人每天可生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母，1 个螺钉配 2 个螺母。如何安排工人生产螺钉和螺母，才能使每天生产的螺钉和螺母刚好配套？步骤 1：设未知数 —— 设安排 x 名工人生产螺钉，则生产螺母的工人有 (22 - x) 名；步骤 2：找数量关系 ——每天生产螺钉数量：1200x 个；每天生产螺母数量：2000 (22 - x) 个；配套比例：螺母数量 = 2× 螺钉数量（1 个螺钉配 2 个螺母）；步骤 3：列方程 ——2000 (22 - x) = 2×1200x；步骤 4：解方程 ——去括号：44000 - 2000x = 2400x；移项：-2000x - 2400x = -44000；合并同类项：-4400x = -44000；系数化为 1：x = 10；步骤 5：检验与答 ——生产螺母的工人：22 - 10 = 12 名；螺钉数量：1200×10 = 12000 个，螺母数量：2000×12 = 24000 个，24000 = 2×12000，刚好配套；答：安排 10 名工人生产螺钉，12 名工人生产螺母。学生练习：某服装厂要生产一批校服，每件上衣需用布 1.5 米，每条裤子需用布 1 米，现有布 300 米，如何分配布用于做上衣和裤子，才能使生产的上衣和裤子刚好配套？（设做 x 件上衣，列方程 1.5x + 1×x = 300，解得 x=120，上衣用布 180 米，裤子用布 120 米）幻灯片 5：类型二 —— 调配问题问题特征：从一个对象（如仓库、车间、班级）向另一个对象转移物资、人员或资源，核心是 “转移前后总量不变，或转移后两对象数量满足特定关系”。核心等量关系：总量不变：转移前 A 的数量 + 转移前 B 的数量 = 转移后 A 的数量 + 转移后 B 的数量；特定关系：转移后 A 的数量 = 转移后 B 的数量（或倍数关系、差值关系）。实例解析：例 2：甲仓库有粮食 200 吨，乙仓库有粮食 150 吨，从甲仓库运多少吨粮食到乙仓库，才能使乙仓库的粮食是甲仓库的 2 倍？步骤 1：设未知数 —— 设从甲仓库运 x 吨到乙仓库；步骤 2：找数量关系（转移后）——甲仓库剩余粮食：(200 - x) 吨；乙仓库现有粮食：(150 + x) 吨；等量关系：乙仓库粮食 = 2× 甲仓库粮食；步骤 3：列方程 ——150 + x = 2 (200 - x)；步骤 4：解方程 ——去括号：150 + x = 400 - 2x；移项：x + 2x = 400 - 150；合并同类项：3x = 250；系数化为 1：x = \(\frac{250}{3} ≈ 83.33\)（根据实际情况，若需整数，可取 83 吨或 84 吨，此处按数学解保留分数）；步骤 5：检验与答 ——转移后甲仓库：200 - \(\frac{250}{3}\) = \(\frac{350}{3}\)吨，乙仓库：150 + \(\frac{250}{3}\) = \(\frac{700}{3}\)吨，\(\frac{700}{3}\) = 2×\(\frac{350}{3}\)，符合要求；答：从甲仓库运\(\frac{250}{3}\)吨（约 83.33 吨）到乙仓库。例 3：某班有学生 45 人，男生人数比女生多 5 人，现从其他班转入 2 名女生，需转出几名男生，才能使男、女生人数相等？步骤 1：先求原男、女生人数 —— 设原女生 x 人，男生 (x + 5) 人，x + (x + 5) = 45，解得 x=20，男生 25 人；步骤 2：设转出 y 名男生，转移后女生 (20 + 2) 人，男生 (25 - y) 人；等量关系：男生人数 = 女生人数，列方程 25 - y = 22，解得 y=3；答：需转出 3 名男生。学生练习：某工厂有 A、B 两个车间，A 车间有工人 80 人，B 车间有工人 60 人，从 B 车间调多少人到 A 车间，才能使 A 车间人数是 B 车间的 3 倍？（设调 x 人，列方程 80 + x = 3 (60 - x)，解得 x=25）幻灯片 6：类型三 —— 工程问题问题特征：完成一项任务（如工程、工作、运输），涉及单独完成时间、合作完成时间、工作效率，核心是 “工作总量 = 工作效率 × 工作时间”，通常将工作总量设为 “1”（单位 1）。核心等量关系：工作效率：单独完成时间为 t，则效率为\(\frac{1}{t}\)（即单位时间完成总量的\(\frac{1}{t}\)）；合作效率：甲效率 + 乙效率 = 合作的总效率；总量关系：甲完成的工作量 + 乙完成的工作量 = 总工作量（通常为 1）。实例解析：例 4：一项工程，甲单独做需 10 天完成，乙单独做需 15 天完成，两人合作几天能完成这项工程？步骤 1：设未知数 —— 设两人合作 x 天完成；步骤 2：找效率与工作量 ——甲的效率：\(\frac{1}{10}\)（每天完成总量的\(\frac{1}{10}\)）；乙的效率：\(\frac{1}{15}\)；合作 x 天，甲完成\(\frac{x}{10}\)，乙完成\(\frac{x}{15}\)；等量关系：甲工作量 + 乙工作量 = 1（总工程）；步骤 3：列方程 ——\(\frac{x}{10} + \frac{x}{15} = 1\)；步骤 4：解方程 ——去分母（最简公分母 30）：3x + 2x = 30；合并同类项：5x = 30；系数化为 1：x = 6；步骤 5：检验与答 ——甲 6 天完成\(\frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)，乙 6 天完成\(\frac{6}{15} = \frac{2}{5}\)，\(\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1\)，完成总工程；答：两人合作 6 天能完成。例 5：一项工作，甲单独做需 8 小时完成，乙单独做需 12 小时完成，甲先做 2 小时后，乙加入合作，还需几小时才能完成这项工作？步骤 1：设还需 x 小时完成，总工作量为 1；步骤 2：甲先做 2 小时完成\(\frac{2}{8} = \frac{1}{4}\)，合作 x 小时甲完成\(\frac{x}{8}\)，乙完成\(\frac{x}{12}\)；等量关系：\(\frac{1}{4} + \frac{x}{8} + \frac{x}{12} = 1\)；解方程：去分母 24 得 6 + 3x + 2x = 24→5x=18→x=3.6；答：还需 3.6 小时完成。学生练习：一批零件，师傅单独做需 12 小时完成，徒弟单独做需 18 小时完成，师徒合作 3 小时后，师傅因事离开，徒弟还需几小时才能完成剩余零件？（设徒弟还需 x 小时，列方程 3 (\(\frac{1}{12} + \frac{1}{18}\)) + \(\frac{x}{18}\) = 1，解得 x=10.5）幻灯片 7：三类问题的解题步骤总结通用解题步骤（设→找→列→解→验→答）：设：设未知数（直接设或间接设，如配套问题设生产 A 的人数，调配问题设转移量）；找：分析题目中的数量关系，找出核心等量关系（配套比例、转移后关系、工作量总和）；列：根据等量关系列出一元一次方程（确保左右两边意义一致、单位统一）；解：按解方程流程求解（去分母、去括号、移项、合并、系数化为 1）；验：检验解的合理性（是否符合实际情况，如人数、天数为正，配套比例正确）；答：用完整语言回答问题（带单位，如 “人”“天”“吨”）。关键差异对比：问题类型核心分析点常见等量关系示例配套问题部件的固定搭配比例B 数量 = n×A 数量调配问题转移前后的数量变化转移后 A = 转移后 B（或倍数）工程问题工作效率与时间的关系甲工作量 + 乙工作量 = 1（总总量）幻灯片 8：互动游戏 ——“实际问题解题大比拼”游戏准备：制作 3 组卡片，分别对应三类问题（配套、调配、工程），每组卡片写 1 道实际问题（如配套：“1 个玩具车需 4 个轮子，现有 200 个轮子，能做多少辆玩具车？”；调配：“甲箱有苹果 50 个，乙箱有 30 个，从甲箱拿多少个到乙箱，两箱相等？”；工程：“甲单独做 5 天完成，乙单独做 10 天完成，合作几天完成？”）；准备白板和马克笔，每组一套，计时器一个。游戏规则：全班分为 4 组，每组轮流抽取不同类型的卡片；每组需在 5 分钟内完成 “分析问题→设未知数→列方程→解方程→检验作答”，派 1 名代表展示解题过程；步骤完整、等量关系正确、方程求解无误得 4 分，步骤缺失扣 1 分 / 处，计算错误扣 2 分；游戏结束后，得分最高的小组获 “实际问题解题小能手” 称号。幻灯片 9：易错点提醒配套问题：忽略配套比例，直接按 “数量相等” 列方程示例：1 个桌子配 2 把椅子，错列方程 “桌子数量 = 椅子数量”（正确应为 “椅子数量 = 2× 桌子数量”）；应对策略：圈出题目中的 “配套比例”（如 “1 配 n”），明确 “多的部件数量 = n× 少的部件数量”。调配问题：转移方向混淆，导致数量关系错误示例：从甲调 x 到乙，错写为 “甲剩余 = 200 + x”“乙现有 = 150 - x”（正确应为甲剩余 200 - x，乙现有 150 + x）；应对策略：用 “箭头” 标注转移方向（甲→乙），明确 “调出方减少，调入方增加”。工程问题：忘记将总工作量设为 “1”，或效率计算错误示例：甲单独做 10 天完成，错算效率为 10（正确应为\(\frac{1}{10}\)）；应对策略：牢记 “效率 = \(\frac{1}{单独完成时间}\)”，总工作量默认设为 1，若有具体总量（如 100 个零件），则按具体总量计算（效率 = \(\frac{100}{10}=10\)个 / 天）。通用错误：解完方程后漏检验、漏写单位或答句示例：仅求出 x=10，未检验是否符合配套比例，或未答 “安排 10 名工人生产螺钉”；应对策略：严格按 “验→答” 步骤，检验时代入实际问题场景，答句需包含具体对象和单位。幻灯片 10：课堂总结三类实际问题的核心：配套问题抓 “比例”，调配问题抓 “转移量与总量”，工程问题抓 “效率与总量”；解题核心能力：将文字描述转化为数学关系，准确找出等量关系，建立一元一次方程模型；关键原则：设未知数要明确（标注单位），列方程要依据等量关系，解后要检验合理性，作答要完整规范。幻灯片 11：课后作业基础题：（1）配套问题：某工厂生产螺栓和螺母，1 个螺栓配 3 个螺母，现有工人 30 名，每人每天生产螺栓 20 个或螺母 30 个，如何安排人数，使螺栓和螺母刚好配套？（设 x 人生产螺栓，列方程 3×20x=30 (30-x)，解得 x=10，10 人生产螺栓，20 人生产螺母）（2）调配问题：甲队有队员 120 人，乙队有 80 人，从乙队调多少人【2024新教材】人教版数学 七年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 前面我们在学习一元一次方程的解法时，附带研究了如何列一元一次方程解决实际问题，初步了解方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具，本节我们重点研究如何用一元一次方程解决实际问题，从几个典型的实际问题入手，教会同学们列方程解决实际问题的具体方法.知识点1 配套问题 例1 某车间有22名工人,每人每天可以生产1 200个螺栓或2 000个螺母.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？螺母数量是螺栓数量的2倍 1 200 x2 000(22-x)22-x=2×1 200 x2 000(22-x)知识点1 配套问题 例1 某车间有22名工人,每人每天可以生产1 200个螺栓或2 000个螺母.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 知识点1 配套问题 如果设x名工人生产螺母，怎样列方程？例1 某车间有22名工人,每人每天可以生产1 200个螺栓或2 000个螺母.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？1 200(22-x)2 000x22-x2 000x=2×1 200(22-x) 知识点1 配套问题 跟踪训练 一台仪器由1个A部件和3个B部件构成. 用1 m3钢材可以做40个A部件或240个B部件.现要用6 m3钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做A部件，多少立方米钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？解：设应用 x m3钢材做A部件，(6-x) m3 钢材做B部件. 依题意,得 3×40 x＝240 (6－x) .解方程，得 x＝4.所以6-4=2(m3)，40×4=160(台).答：应用4 m3钢材做A部件，2 m3 钢材做B部件，配成这种仪器160台.知识点1 配套问题  知识点2 工程问题 例2 整理一批图书，由1人整理需要40 h完成.现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ x+2x   知识点2 工程问题 例2 整理一批图书，由1人整理需要40 h完成.现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 知识点2 工程问题 跟踪训练 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，如果由这两支工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？ 知识点2 工程问题 工程问题中的基本数量关系：工作量=工作效率×工作时间（或人均效率×时间×人数）；合作的效率=各部分单独做的效率和；总工作量=各部分工作量之和.知识点2 工程问题 归纳用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：实际问题实际问题的答案一元一次方程一元一次方程的解（x=m）设未知数列方程解方程检 验知识点2 工程问题 这一过程一般包括以下几个步骤.1.审：审题，找相等关系；2.设：设未知数；3.列：列方程；4.解：解方程；5.检：检验所得结果；6.答：确定答案.正确分析问题中的相等关系是列方程的基础.归纳知识点1 配套问题     8 D 3.（8分）［2025天津月考］某车间有38名工人，每人每天可以生产1 200个甲型零件或2 000个乙型零件.2个甲型零件要配3个乙型零件，为使每天生产的两种型号的零件刚好配套，应安排生产甲型零件和乙型零件的工人各多少名？ 知识点2 调配问题  知识点3 工程问题  6.一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成.现由甲先做2天，乙再加入合做，则完成这项工程共需___天.5   D   用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：实际问题实际问题的答案一元一次方程一元一次方程的解（x=m）设未知数列方程解方程检 验必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！