5.2 解一元一次方程-第4课时 利用去分母解一元一次方程-课件-2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

幻灯片 1：封面5.2 解一元一次方程（第 4 课时）学科：数学年级：六年级幻灯片 2：知识回顾与情境导入回顾旧知：等式性质 2：等式两边乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数），结果仍相等（如 a=b，则 ac=bc，c≠0）；之前解方程的流程：去括号→移项→合并同类项→系数化为 1（适用于不含分母或分母为常数的方程）。情境引入：问题：小明看一本故事书，第一天看了全书的\(\frac{1}{3}\)，第二天看了全书的\(\frac{1}{4}\)，还剩 25 页没看，设全书共 x 页，列方程为\(x - \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x = 25\)。这个方程含分母，直接计算不便，如何消除分母简化方程？依据等式性质 2，两边同时乘分母 3 和 4 的最小公倍数 12，可消去分母：\(12x - 4x - 3x = 300\)，再按之前的方法求解。这类含分母的一元一次方程，核心是先通过 “去分母” 将其转化为整数系数方程，再逐步求解。引出课题：今天我们学习利用去分母解一元一次方程，重点掌握去分母的规范操作，解决含分数系数的方程求解问题。幻灯片 3：学习目标理解去分母的原理（基于等式性质 2），能准确找到方程中各分母的最简公分母。掌握 “去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1” 的完整解题流程，能正确求解含分母的一元一次方程。能运用去分母法解决实际问题中的分数系数方程，避免去分母时漏乘、符号错误等问题，提升综合解题能力。幻灯片 4：去分母的原理与关键步骤去分母的原理：依据等式性质 2，方程两边同时乘所有分母的最简公分母（各分母的最小公倍数），使方程中所有项的分母都被消去，转化为整数系数方程（方便计算）。示例：方程\(\frac{x}{2} + \frac{x-1}{3} = 1\)，分母 2 和 3 的最简公分母是 6，两边乘 6 得\(3x + 2(x-1) = 6\)，消去分母。关键步骤（以方程\(\frac{x}{3} - \frac{2x-1}{4} = \frac{1}{2}\)为例）：步骤 1：找最简公分母 —— 分析各分母（3、4、2），最小公倍数为 12，即最简公分母为 12；步骤 2：去分母 —— 方程两边同时乘 12，注意每一项都要乘（包括不含分母的常数项）：\(12×\frac{x}{3} - 12×\frac{2x-1}{4} = 12×\frac{1}{2}\)；步骤 3：化简每一项 —— 计算乘法，消去分母：\(4x - 3(2x-1) = 6\)（此时方程不含分母，转化为整数系数方程）。核心注意事项：找最简公分母：若分母是整数，取各分母的最小公倍数（如分母 2、3、4，最小公倍数为 12）；若分母含字母（小学阶段暂不涉及），需考虑字母因式；避免漏乘：方程两边的 “每一项” 都要乘最简公分母，包括不含分母的常数项（如方程\(\frac{x}{2} = 1 - \frac{x}{3}\)，乘 6 时需写成\(3x = 6 - 2x\)，不能漏乘右边的 “1”）；分子是多项式时，去分母后需加括号：若分子含加减运算（如\(\frac{2x-1}{4}\)），乘最简公分母后，分子需用括号括起来（避免符号或运算顺序错误）。幻灯片 5：利用去分母解一元一次方程的完整流程核心流程：步骤 1：去分母 —— 两边乘最简公分母，消去分母，注意每一项都要乘，分子是多项式加括号；步骤 2：去括号 —— 按去括号法则去除方程中的括号（若有），注意符号和漏乘；步骤 3：移项 —— 将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号；步骤 4：合并同类项 —— 将左右两边的同类项分别合并，化为 “mx=n”（m≠0）的形式；步骤 5：系数化为 1—— 两边同时除以 m，得 “x=\(\frac{n}{m}\)”，即方程的解；步骤 6：检验（可选）—— 将解代入原方程，验证左右两边是否相等（重点检查分母不为 0）。实例解析：例 1：解方程\(\frac{x}{2} + \frac{x-1}{3} = 1\)。步骤 1：去分母（最简公分母 6）：\(6×\frac{x}{2} + 6×\frac{x-1}{3} = 6×1\)→\(3x + 2(x-1) = 6\)；步骤 2：去括号：\(3x + 2x - 2 = 6\)；步骤 3：移项：\(3x + 2x = 6 + 2\)；步骤 4：合并同类项：\(5x = 8\)；步骤 5：系数化为 1：\(x = \frac{8}{5} = 1.6\)；检验：左边 =\(\frac{1.6}{2} + \frac{1.6-1}{3} = 0.8 + 0.2 = 1\)，右边 = 1，x=1.6 是解。例 2：解方程\(\frac{2x-1}{3} - \frac{x+2}{4} = \frac{1}{2}\)。步骤 1：去分母（最简公分母 12）：\(12×\frac{2x-1}{3} - 12×\frac{x+2}{4} = 12×\frac{1}{2}\)→\(4(2x-1) - 3(x+2) = 6\)；步骤 2：去括号：\(8x - 4 - 3x - 6 = 6\)；步骤 3：移项：\(8x - 3x = 6 + 4 + 6\)；步骤 4：合并同类项：\(5x = 16\)；步骤 5：系数化为 1：\(x = \frac{16}{5} = 3.2\)；检验：左边 =\(\frac{6.4-1}{3} - \frac{3.2+2}{4} = \frac{5.4}{3} - \frac{5.2}{4} = 1.8 - 1.3 = 0.5 = \frac{1}{2}\)，右边 =\(\frac{1}{2}\)，x=3.2 是解。例 3：解方程\(\frac{x}{4} - 1 = \frac{x-2}{3}\)（含常数项的去分母）。步骤 1：去分母（最简公分母 12）：\(12×\frac{x}{4} - 12×1 = 12×\frac{x-2}{3}\)→\(3x - 12 = 4(x-2)\)；步骤 2：去括号：\(3x - 12 = 4x - 8\)；步骤 3：移项：\(3x - 4x = -8 + 12\)；步骤 4：合并同类项：\(-x = 4\)；步骤 5：系数化为 1：\(x = -4\)；检验：左边 =\(\frac{-4}{4} - 1 = -1 - 1 = -2\)，右边 =\(\frac{-4-2}{3} = -2\)，x=-4 是解。学生练习：解方程：(1)\(\frac{x}{5} + \frac{x-3}{2} = 2\)；(2)\(\frac{3x+1}{4} - \frac{x-1}{2} = 1\)；(3)\(\frac{x-1}{3} = 1 - \frac{2x+1}{4}\)。（答案：(1) x=5；(2) x=1；(3) x=1）幻灯片 6：含分母的实际问题 —— 列方程并求解列方程要点：实际问题中涉及 “几分之几”“比例” 等关系时，常出现分数系数方程（如 “部分量 = 总量 × 分数”），需先列方程，再通过去分母求解。实例演练：例 1：情境导入问题（故事书页数）—— 全书 x 页，第一天看\(\frac{1}{3}x\)，第二天看\(\frac{1}{4}x\)，剩 25 页，列方程\(x - \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x = 25\)。求解：步骤 1：去分母（最简公分母 12）：\(12x - 4x - 3x = 300\)；步骤 2：合并同类项：\(5x = 300\)；步骤 3：系数化为 1：\(x = 60\)；答：全书共 60 页。例 2：工程问题 —— 一项工程，甲单独做需 6 天完成，乙单独做需 9 天完成，两人合作 x 天完成工程的\(\frac{2}{3}\)，求 x。步骤 1：设合作 x 天完成\(\frac{2}{3}\)，甲每天完成\(\frac{1}{6}\)，乙每天完成\(\frac{1}{9}\)；步骤 2：等量关系：（甲效率 + 乙效率）× 时间 = 完成工作量；步骤 3：列方程：\((\frac{1}{6} + \frac{1}{9})x = \frac{2}{3}\)；步骤 4：求解：去分母（最简公分母 18）：\((3 + 2)x = 12\)；合并同类项：\(5x = 12\)；系数化为 1：\(x = \frac{12}{5} = 2.4\)（或 2 天 5 小时，根据题意保留单位）；答：两人合作 2.4 天完成工程的\(\frac{2}{3}\)。例 3：浓度问题 —— 现有浓度为 20% 的盐水 500 克，要配制成浓度为 15% 的盐水，需加水 x 克（浓度 = 溶质质量 / 溶液质量），列方程\(\frac{500×20\%}{500 + x} = 15\%\)。求解：步骤 1：化简方程（先算溶质质量）：\(\frac{100}{500 + x} = 0.15\)（或\(\frac{3}{20}\)）；步骤 2：去分母（两边乘 500+x，x≠-500）：\(100 = 0.15(500 + x)\)；步骤 3：去括号：\(100 = 75 + 0.15x\)；步骤 4：移项：\(0.15x = 100 - 75 = 25\)；步骤 5：系数化为 1：\(x = \frac{25}{0.15} = \frac{500}{3} ≈ 166.67\)；答：需加水约 166.67 克。幻灯片 7：互动游戏 ——“去分母解方程闯关赛”游戏准备：制作 4 组关卡卡片，每组 2 道含分母的方程题（难度递增：单分母→多分母→含常数项分母），如 “\(\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10\)”“\(\frac{2x-1}{5} - \frac{x+3}{4} = 1\)”“\(\frac{x-1}{6} = \frac{2x+1}{3} - 1\)”；准备白板和马克笔，每组一套，计时器一个。游戏规则：全班分为 4 组，每组派 2 名代表（1 人负责去分母，1 人负责后续计算）；老师出示关卡卡片，代表需在 4 分钟内完成 “找最简公分母→去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1”，每一步注明依据（如 “去分母，依据等式性质 2”）；步骤完整、去分母正确（无漏乘、分子加括号）、结果准确得 5 分，去分母漏乘扣 2 分 / 处，分子未加括号扣 1 分，计算错误扣 1 分；闯过所有关卡且得分最高的小组获 “去分母小能手” 称号。幻灯片 8：易错点提醒易错点 1：去分母时漏乘不含分母的常数项示例：解方程\(\frac{x}{2} - 1 = \frac{x}{3}\)，错写为\(3x - 1 = 2x\)（漏乘左边的 “-1”，正确应为\(3x - 6 = 2x\)）；应对策略：去分母前，在方程每一项下方标注 “× 最简公分母”，确保常数项也乘最简公分母（如 “-1×6=-6”），完成后检查每一项是否都有乘的痕迹。易错点 2：分子是多项式时，去分母后未加括号示例：解方程\(\frac{2x-1}{3} = 1\)，错写为\(2x - 1 = 3\)（虽结果正确，但规范操作需加括号，若分子是\(2x+1\)且分母前有负号，易出错，如\(\frac{-(2x+1)}{3}=1\)，错写为\(-2x+1=3\)，正确应为\(-2x-1=3\)）；应对策略：去分母前，若分子是多项式（含加减运算），先在分子外标注括号，再乘最简公分母（如\(\frac{(2x-1)}{3}×3=2x-1\)），避免符号错误。易错点 3：最简公分母找错（导致无法完全消去分母）示例：解方程\(\frac{x}{4} + \frac{x}{6} = 1\)，错用公分母 12（正确），若错用公分母 24（虽可消去分母，但计算量增大），或错用公分母 4（无法消去分母 6）；应对策略：找各分母的最小公倍数（如 4 和 6 的最小公倍数是 12，不是 4 或 24），可通过分解质因数法找最小公倍数（4=2²，6=2×3，最小公倍数 = 2²×3=12）。易错点 4：去分母后未及时化简或符号处理错误示例：解方程\(\frac{1 - x}{2} = \frac{x - 2}{3}\)，去分母得\(3(1 - x) = 2(x - 2)\)，错去括号为\(3 - x = 2x - 4\)（漏乘 “-x” 的 3，正确应为\(3 - 3x = 2x - 4\)）；应对策略：去分母后，去括号时严格按 “数字系数乘每一项”，尤其是分子含负号的项（如\(3(1 - x)=3×1 + 3×(-x)=3 - 3x\)），确保每一项都乘到。幻灯片 9：课堂总结利用去分母解方程的核心流程：去分母（找最简公分母，每一项都乘，分子多项式加括号）→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1；关键依据与原则【2024新教材】人教版数学 七年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 你能解下面的方程吗？ 还有其他解法吗？   系数化为1，得 y =1.知识点 解一元一次方程——去分母 问题 如图，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山50 km，距绿水70 km. 某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如表所示.王家庄距翠湖的路程有多远？设王家庄距翠湖的路程为x km.透过表格，你能得到什么信息？知识点 解一元一次方程——去分母 由于汽车是匀速行驶，则王家庄→青山、王家庄→绿水、青山→绿水 车速都相等.   ==   或或于是可以得到3个不同的方程：知识点 解一元一次方程——去分母  知识点 解一元一次方程——去分母 如果能化去分母，把未知数的系数化成整数，就可以使解方程中的计算更简便些. 思考这个方程中未知数的系数是多少？ 根据等式的性质2：等式两边乘同一个数，结果仍相等.这个方程中各分母的最小公倍数是15，方程两边都乘15，得知识点 解一元一次方程——去分母 去括号，得 5x-250=3x+210.移项，得 5x-3x=210+250.合并同类项，得 2x=460.系数化为1，得 x=230.因此，王家庄距翠湖的路程为230 km. 知识点 解一元一次方程——去分母   5（3x+1）– 10×2 =(3x – 2)– 2(2x+3)15x + 5 – 20 = 3x – 2 – 4x – 6 方程两边的每一项都要乘分母的最小公倍数10.依据：等式的性质2.你能说出每个步骤的依据吗？依据：分配律.知识点 解一元一次方程——去分母 15x + 5 – 20 = 3x – 2 – 4x – 6 15x – 3x + 4x = – 2 – 6 – 5+20 16x = 7  依据：等式的性质1.依据：等式的性质2.依据：分配律.你能说出每个步骤的依据吗？知识点 解一元一次方程——去分母 归纳 解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等. 通过这些步骤，可以使以x为未知数的方程逐步转化为x=m的形式，这个过程主要依据等式的性质和运算律等.知识点 解一元一次方程——去分母  解：（1）去分母（方程两边乘4），得 2(x + 1) – 4 = 8 +(2 – x).去括号，得 2x + 2 – 4 = 8 + 2 – x. 移项，得 2x + x = 8 + 2 – 2 + 4 . 合并同类项，得 3x = 12. 系数化为1，得 x = 4. 知识点 解一元一次方程——去分母   知识点1 利用去分母解一元一次方程 10去分母等式的性质2 BA.10 B.12 C.24 D.6 D 4.（16分）解方程：         （1）请在如图的方框内用横线划出小红的错误处；解：划线如图所示.（2）写出你的解答过程. 知识点2 去分母解一元一次方程的应用 A      B 10.［2025保定莲池区期末］我国古代数学著作《九章算术》中有一道 “以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺.问井深多少尺？下列说法不正确的是 ( )A 11.（8分）解方程：    解一元一次方程的一般步骤：去括号移项合并同类项系数化为1去分母必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！