5.2.4利用去分母解一元一次方程（教学课件）2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

5.2.4 利用去分母解一元一次方程当一元一次方程中含有分数系数时，直接进行移项、合并同类项等操作会增加计算难度。去分母是解决这类方程的关键步骤，通过消除分母将分数系数化为整数系数，可简化方程结构，降低求解难度。掌握去分母的方法和技巧，能高效处理含分数的一元一次方程。一、去分母的目的与依据目的：当方程中存在分数系数（如\(\frac{1}{2}x\)、\(\frac{3}{4}(x - 1)\)）时，去分母可将方程转化为系数为整数的方程，避免分数运算带来的繁琐和错误。例如：方程\(\frac{x}{2} + \frac{x - 1}{3} = 1\)去分母后变为\(3x + 2(x - 1) = 6\)，计算更简便。依据：去分母的依据是等式的性质 2（等式两边乘同一个不为 0 的数，结果仍相等）。通过在方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，可消除分母，且保持等式成立。例如：方程\(\frac{x}{2} = 3\)两边乘 2（分母 2 的最小公倍数），得\(x = 6\)。二、去分母的关键步骤确定最简公分母：找出方程中所有分母的最小公倍数（简称最简公分母），作为去分母时的乘数。若分母是整数，最简公分母是各分母的最小公倍数。例如：分母为 2 和 3 时，最简公分母是 6；分母为 4、6 时，最简公分母是 12。若分母中含有字母（但一元一次方程分母不含未知数，仅为常数），处理方式相同。例如：方程\(\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1\)（\(a\)、\(b\)为常数）的最简公分母是\(ab\)。去分母操作：在方程两边同时乘最简公分母，确保每一项（含不含分母的项）都与最简公分母相乘，再通过分配律去除分母。例如：方程\(\frac{x}{2} + 1 = \frac{x - 1}{3}\)的最简公分母是 6，两边乘 6 得：\(6×\frac{x}{2} + 6×1 = 6×\frac{x - 1}{3}\)，即\(3x + 6 = 2(x - 1)\)。三、利用去分母解一元一次方程的步骤含有分数系数的一元一次方程的求解步骤可概括为 “去分母→去括号→移项→合并同类项→化系数为 1”，具体如下：去分母：方程两边同时乘所有分母的最简公分母，消除分母，将分数系数化为整数系数。注意：不含分母的项也要乘最简公分母，避免漏乘。例如：方程\(\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 1}{2} = 1\)的最简公分母是 6，去分母后为\(2(2x - 1) - 3(x + 1) = 6\)。去括号：若去分母后方程中含有括号，根据去括号法则去除括号，处理好符号和系数。例如：上例去分母后得\(4x - 2 - 3x - 3 = 6\)。移项：将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，移项时改变符号。例如：上例整理后移项得\(4x - 3x = 6 + 2 + 3\)。合并同类项：合并等号两边的同类项，将方程化为\(ax = b\)（\(a ≠ 0\)）的形式。例如：上例合并后得\(x = 11\)。系数化为 1：方程两边同时除以未知数的系数\(a\)，得到方程的解\(x = \frac{b}{a}\)。（若合并后系数为 1，则此步骤可省略）四、实例解析示例 1：解方程\(\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5\)。解：步骤 1：确定最简公分母（2 和 3 的最小公倍数是 6）。步骤 2：去分母（两边乘 6）：\(6×\frac{x}{2} + 6×\frac{x}{3} = 6×5\)，即\(3x + 2x = 30\)。步骤 3：合并同类项：\(5x = 30\)。步骤 4：系数化为 1：\(x = 6\)。因此，方程的解为\(x = 6\)。示例 2：解方程\(\frac{2x - 1}{5} - \frac{3x + 1}{3} = 1\)。解：步骤 1：确定最简公分母（5 和 3 的最小公倍数是 15）。步骤 2：去分母（两边乘 15）：\(15×\frac{2x - 1}{5} - 15×\frac{3x + 1}{3} = 15×1\)，即\(3(2x - 1) - 5(3x + 1) = 15\)。步骤 3：去括号（注意符号）：\(6x - 3 - 15x - 5 = 15\)。步骤 4：合并同侧同类项：\(-9x - 8 = 15\)。步骤 5：移项：\(-9x = 15 + 8\)，即\(-9x = 23\)。步骤 6：系数化为 1：\(x = -\frac{23}{9}\)。因此，方程的解为\(x = -\frac{23}{9}\)。示例 3：解方程\(\frac{x - 1}{4} - 1 = \frac{2x + 1}{6}\)。解：步骤 1：确定最简公分母（4 和 6 的最小公倍数是 12）。步骤 2：去分母（两边乘 12）：\(12×\frac{x - 1}{4} - 12×1 = 12×\frac{2x + 1}{6}\)，即\(3(x - 1) - 12 = 2(2x + 1)\)。步骤 3：去括号：\(3x - 3 - 12 = 4x + 2\)。步骤 4：合并同侧同类项：\(3x - 15 = 4x + 2\)。步骤 5：移项：\(3x - 4x = 2 + 15\)，即\(-x = 17\)。步骤 6：系数化为 1：\(x = -17\)。因此，方程的解为\(x = -17\)。五、典型例题分类解析分母为倍数关系的方程：例：解方程\(\frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 2\)。解：最简公分母是 6，去分母得\(2x + x = 12\)，合并得\(3x = 12\)，系数化为 1 得\(x = 4\)。含常数项的分数方程：例：解方程\(\frac{3x - 1}{2} = 1 + \frac{x + 1}{3}\)。解：最简公分母是 6，去分母得\(3(3x - 1) = 6 + 2(x + 1)\)，去括号得\(9x - 3 = 6 + 2x + 2\)，移项得\(9x - 2x = 6 + 2 + 3\)，合并得\(7x = 11\)，系数化为 1 得\(x = \frac{11}{7}\)。分母为 1 的隐性分数方程：例：解方程\(x - \frac{x - 1}{2} = 2 - \frac{x + 2}{5}\)。解：最简公分母是 10，去分母得\(10x - 5(x - 1) = 20 - 2(x + 2)\)，去括号得\(10x - 5x + 5 = 20 - 2x - 4\)，合并同侧得\(5x + 5 = 16 - 2x\)，移项得\(5x + 2x = 16 - 5\)，合并得\(7x = 11\)，系数化为 1 得\(x = \frac{11}{7}\)。分子为多项式的分数方程：例：解方程\(\frac{(x + 1)}{2} - \frac{(2x - 1)}{3} = 1\)。解：最简公分母是 6，去分母得\(3(x + 1) - 2(2x - 1) = 6\)，去括号得\(3x + 3 - 4x + 2 = 6\)，合并同侧得\(-x + 5 = 6\)，移项得\(-x = 1\)，系数化为 1 得\(x = -1\)。六、常见错误与规避方法去分母时漏乘不含分母的项：常见错误：解方程\(\frac{x}{2} + 1 = 3\)时，去分母仅乘含分母的项，得\(x + 1 = 6\)（漏乘常数项 1），正确应为\(x + 2 = 6\)。规避方法：去分母前标记方程中的每一项（包括常数项和含未知数的项），确保每一项都与最简公分母相乘，可在草稿纸上逐项标注 “× 公分母”。分子是多项式时未加括号：常见错误：解方程\(\frac{x - 1}{2} - \frac{x + 2}{3} = 1\)时，去分母得\(3x - 1 - 2x + 2 = 6\)（分子未加括号，导致符号错误），正确应为\(3(x - 1) - 2(x + 2) = 6\)。规避方法：当分子是多项式时，去分母后需给分子加括号，再按去括号法则处理符号，避免直接去掉分母后分子项符号错误。最简公分母选择错误：常见错误：解方程\(\frac{x}{4} + \frac{x}{6} = 1\)时，误将公分母选为 24（正确应为 12），增加计算量；或选为 2（无法消除分母）。规避方法：通过分解质因数法确定最小公倍数，例如：4=2²，6=2×3，最简公分母为 2²×3=12，确保公分母是各分母的最小公倍数。去分母后未及时化简或符号错误：常见错误：解方程\(\frac{1 - x}{3} = \frac{x}{2}\)时，去分母得\(2(1 - x) = 3x\)，去括号误得\(2 - x = 3x\)（漏乘系数 2），正确应为\(2 - 2x = 3x\)。规避方法：去分母后，先检查分子是否加括号，再严格按照去括号法则（分配律）展开，确保每一项都乘括号外的系数，符号准确。七、方法总结与拓展利用去分母解一元一次方程的核心是通过乘最简公分母消除分数系数，将方程转化为整数系数方程。在实际解题中，需注意以下几点：去分母前先明确所有分母，计算最简公分母，避免因公分母错误导致后续步骤出错；去分母时坚持 “每一项都乘公分母” 的原则，特别注意不含分母的常数项，防止漏乘；分子是多项式时必须加括号，去括号时严格处理符号和系数，确保分配律正确应用；去分母后按 “去括号→移项→合并同类项→化系数为 1” 的顺序求解，每一步都检查符号和计算准确性。去分母是解含分数系数一元一次方程的 “转化” 步骤，它体现了 “化难为易” 的数学思想。通过大量练习不同分母类型的方程，可熟练掌握去分母的技巧，为解决更复杂的实际问题中的方程模型奠定基础。2024人教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.会通过去分母解一元一次方程.2.归纳解一元一次方程的一般步骤， 体会解方程中的化归思想.解：设丢番图去世时的年龄为x岁，得出方程 你能解出这道方程吗？把你的解法与其他同学交流一下，看谁的解法好.像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计算更方便些.新课导入解：设丢番图去世时的年龄为x岁，得出方程 思考：所列方程与已学方程有什么区别？你能否把它转化为已学方程的形式？新知探索 问题 4 如图，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山 50 km，距绿水 70 km. 某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如表所示. 王家庄距翠湖的路程有多远？设王家庄距翠湖的路程为 x km，则王家庄距青山的路程为 (x - 50) km，王家庄距绿水的路程为 (x + 70) km. 由表可知，汽车从王家庄到青山的行驶时间为 3 h，从王家庄到绿水的行驶时间为 5 h.根据汽车在各段的行驶速度相等，列得方程这个方程中未知数的系数不是整数，该怎么办呢？提示一提示二你还能列得其他方程吗？用解形式为“ax + bx = c”的解法解该方程.提示一返回（1）这个方程中各分母的最小公倍数是多少？（2）你认为方程两边应该同时乘以多少？（3）方程两边同乘上这个数以后分别变成了什么？依据是什么？提示二返回解：方程两边都乘 15，得 5(x - 50) = 3(x + 70).去括号，得 5x - 250 = 3x + 210.移项，得 5x–3x = 210 +250.合并同类项，得 2x = 460.系数化为 1，得 x = 230.因此，王家庄距翠湖的路程为 230 km.根据汽车在各段的行驶速度相等，列得方程 一元一次方程中如果有分母，利用等式的性质 2，在方程的两边乘各分母的最小公倍数，从而约去分母.特别提醒：（1）去分母是为了将分数系数化为整数；（2）乘“各分母的最小公倍数”既能约去分母，又能使所乘的数最小.试一试5(3x + 1) - 10×2 = (3x - 2)- 2(2x + 3)15x + 5 - 20 = 3x - 2- 4x - 615x - 3x + 4x = - 2–6 - 5 + 2016x = 7去分母去括号移项合并同类项系数化为 1分数线有括号作用，去掉分母后，若分子式一个多项式，要加括号，视多项式为一个整体.解一元一次方程的一般步骤：在方程两边乘各分母的最小公倍数，去掉分母等式的性质 21.不要漏乘不含分母的项2.分数线当括号用，去分母，则要加括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号分配律分配律要满足分配到每一项，不要弄错符号把含未知数的项移到等号的一边，常数项移到等号的另一边等式的性质 1移项变号把方程化为 ax = b（a ≠ 0，a，b为常数）的形式分配律注意符号方程两边同除以未知数系数a等式的性质 2不要将分子与分母颠倒位置例 题【教材P128】例 7 解下列方程：解：去分母(方程两边乘4)，得2(x + 1)– 4 = 8 +(2 – x).去括号，得 2x + 2 – 4 = 8 + 2 – x. 移项，得 2x + x = 8 + 2 – 2 + 4 . 合并同类项，得 3x = 12. 系数化为1，得 x = 4. 对于 2x + 2 – 4 = 8 + 2 – x，也可以先合并同类项，再移项. 去分母（方程两边乘 6），得18x + 3（x – 1）= 18 – 2（2x – 1）去括号，得 18x + 3x – 3 = 18 – 4x + 2 移项，得 18x + 3x +4x = 18 + 2 + 3 合并同类项，得 25x = 23 系数化为1，得（2） ；解：去分母，得14x+7x+12x+420+42x+336=84x.移项，合并同类项，得9x=756.两边同除以9，得x=84.【选自教材教材P129 练习 第1题】1. 解下列方程：（1） ；解：去分母（方程两边乘 100），得19x = 21(x – 2).去括号，得 19x = 21x – 42. 移项，得 19x – 21x = – 42. 合并同类项，得 – 2x = – 42. 系数化为 1，得 x = 21.去分母（方程两边乘 4），得2（x + 1）– 8 = x .去括号，得 2x + 2 – 8 = x . 移项，得 2x – x = 8 – 2 . 合并同类项，得 x = 6 . （2） ；去分母（方程两边乘 12），得3（5x – 1） = 6（3x + 1）– 4（2 – x）去括号，得 15x – 3 = 18x + 6 – 8 + 4x 移项，得 15x – 18x – 4x = 6 – 8 + 3合并同类项，得 – 7x = 1系数化为1，得（3） ；（4） .去分母（方程两边乘20），得10（3x + 2）– 20 = 5（2x – 1）– 4（2x + 1）去括号，得 30x +20 – 20 = 10x – 5 – 8x – 4 移项，得 30x – 10x + 8x = – 5 – 4 – 20+20 合并同类项，得 28x = – 9 系数化为1，得2. 伦敦的不列颠博物馆保存着一件极其珍贵的文物——莱茵德纸草书. 这是古埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作. 书中记载了许多数学问题，其中有一道著名的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是 33. 这个数是多少？请你用方程解决这个问题.【选自教材教材P129 练习 第2题】解：设这个数是 x .根据题意，得 .解得答：这个数是 .3. 一辆客车和一辆卡车同时从 A 地出发沿同一公路同方向匀速行驶，客车的行驶速度是 70 km/h，卡车的行驶速度是 60 km/h，客车比卡车早 1 h 经过 B 地. 求 A，B 两地相距的路程.【选自教材教材P129 练习 第3题】习题5.21. 解下列方程：（1）x + 3x = -16；（2）16y - 2.5y - 7.5y = 5；x = -4（3）3x + 5 = 4x + 1；（4）9-3y = 5y + 5.x = 4y = 0.52. 解下列方程：（1）5c + (2 - 4c) = 0；（2）25b - (b - 5) = 29；（3）7x + 2(3x - 3) = 20；（4）8y - 3(3y + 2) = 6.c = -2b = 1x = 2y = -123. 解下列方程：（1） ； （2） ；（3） ； （4） .4. 用方程解答下列问题：（1）x 的 5 倍与 2 的和等于 x 的 3倍与 4 的差，求 x；（2）y 与 -5 的积等于 y 与 5 的和，求 y；解：根据题意，得 5x + 2 = 3x - 4.解得 x = -3.根据题意，得 -5y = y + 5.（3）x 与 4 的和的 1.2 倍等于 x 与 14 的差的 3.6 倍，求 x；（4）y 的 3 倍与 1.5 的和的 等于 y 与 1 的差的 ，求 y；根据题意，得 1.2(x + 4) = 3.6(x–14).解得 x = 23.5. 用一根 60 m 长的绳子围出一个长方形，使它的长是宽 的 1.5 倍.长方形的长和宽各应是多少米？解：设宽是 x m，则长是1.5x m.根据题意，得 2x + 2×1.5x = 60.解得 x = 12. 所以 1.5x = 18.答：长是 18 m，宽是 12 m.6. 几个人共同种一批树苗，如果每人种 10 棵，则剩下 6 棵 树苗未种；如果每人种 12 棵，则缺 6 棵树苗. 求参加种 树的人数.解：设参加种树的有 x 人.根据题意，得 10x + 6 = 12x - 6.解得 x = 6.答：参加种树的有 6 人.7. 买两种布料共 64 m，花了 550 元，其中蓝布料每米 8元， 黑布料每米 9 元. 两种布料各买了多少米？解：设蓝布料买了 x m，则黑布料买了(64-x) m.根据题意，得 8x + 9(64-x) = 550.解得 x = 26. 所以 64-x = 38.答：蓝布料买了 26 m，黑布料买了 38 m.综合运用8. 一个两位数的个位上数字的 3 倍加 1 是十位上的数字， 个位上的数字与十位上数字的和等于 9. 这个两位数是 多少？解：设个位上的数字是 x，则十位上的数字是 3x + 1.根据题意，得 x + 3x + 1 = 9.解得 x = 2. 所以 3x + 1 = 7.答：这个两位数是 72.9. 随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广. 喷灌和滴灌是比漫灌节水的灌溉方式. 灌溉三块同样大的田地，第一块用漫灌方式，第二块用喷灌方式，第三块用滴灌方式. 后两种方式的用水量分别是漫灌的 25% 和 15%.（1）设第一块田地用水 x t，则另两块田地的用水量各如何表示?（2）如果三块田地共用水 420 t，三块田地各用水多少吨?解:（1）第二块田地的用水量为25%x t，第三块田地的用水量为 15%x t.（2）根据题意，得 x + 25%x + 15%x = 420.解得 x = 300. 所以 25%x = 75，15%x =45.答：第一块田地用水300 t，第二块田地用水75 t，第三块田地用水45 t.10.某造纸厂为节约木材，大力扩大再生纸的生产，去年10月该厂生产再生纸 2050 t，比前年 10 月再生纸产量的 2 倍还多150 t. 前年 10 月该造纸厂生产再生纸多少吨？解：设前年 10 月该造纸厂生产再生纸 x t，则去年 10 月该造纸厂生产再生纸 (2x + 150) t.根据题意，得 2x + 150 = 2050.解得 x = 950.答: 前年 10 月该造纸厂生产再生纸 950 t.11. 张华和李明登一座山. 张华平均每分钟登高 10 m，并且先出发 30 min，李明平均每分钟登高 15 m，两人同时登上山顶，设张华登山用了 x min. （1）如何用含 x 的代数式表示李明登山所用时间？解：李明登山所用时间为 (x－30) min.11. 张华和李明登一座山. 张华平均每分钟登高 10 m，并且先出发 30 min，李明平均每分钟登高 15 m，两人同时登上山顶，设张华登山用了 x min. （2）试用方程求 x 的值. 由 x 的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？根据题意，得 10x = 15(x - 30).解得 x = 90. 所以 10x = 900.因此，由 x 的值能求出山高，山高为 900 m.12. 两辆汽车从相距 84 km 的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快 20 km/h，半小时后两车相遇，两车的速度各是多少？解:设甲车的速度是 x km/h，则乙车的速度是(x-20) km/h.根据题意，得 .解得 x = 94. 所以 x -20 = 74.答:甲车的速度是 94 km/h，乙车的速度是 74 km/h.13. 在风速为 24 km/h 的条件下，一架飞机顺风从 A 机场飞到 B 机场要用 2.8 h，它逆风飞行同一航线要用 3 h.求：（1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速；（2）两机场之间的航程.解:（1）设无风时这架飞机在这一航线的平均航速为 x km/h.根据题意，得 2.8(x + 24) = 3(x-24).解得 x ＝ 696.答:无风时这架飞机在这一航线的平均航速为 696 km/h.13. 在风速为 24 km/h 的条件下，一架飞机顺风从 A 机场飞到 B 机场要用 2.8 h，它逆风飞行同一航线要用 3 h.求：（1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速；（2）两机场之间的航程.（2）由（1）知，3(x-24) = 3×(696-24) = 2016.答:两机场之间的航程为 2016 km.14. 如图，在一张普通的月历中，相邻三行里同一列得三个日期数之和能否为 30？如果能，这三个日期数分别是多少？解:假设能.设第二行的日期数是 x，则第一行的日期数是 x－7，第三行的日期数是 x＋7.根据题意，得 x－7＋ x ＋ x＋7 ＝ 30.解得 x＝ 10. 所以 x－7 ＝ 3，x＋7 ＝ 17.答:这三个日期数分别是 3，10，17.拓广探索15.有一些相同的房间需要粉刷墙面. 一天 3 名一级技工去粉刷 8 个房间，结果有 50m2 墙面没来得及粉刷；同样时间内 5 名二级技工除了粉刷了 10 个房间，还多粉刷了另外的 40 m2 墙面. 每名一级技工比二级技工每天多粉刷 10 m2 墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积.解：设每个房间需要粉刷的墙面面积是 x m2，则每名一级技工每天可粉刷 m2 墙面，每名二级技工每天可粉刷 m2 墙面.根据题意，得解得 x = 52.答:每个房间需要粉刷的墙面面积是 52 m2.16. 李明骑自行车从 A 地到 B 地，刘伟骑自行车从 B 地到 A 地，两人沿同一公路匀速前进，已知两人在上午 8 时同时出发，到上午 8 时半，两人相距 9 km，到上午 9 时，两人又相距 9 km. 求 A，B 两地相距的路程.解:设 A，B 两地相距的路程为 x km.根据题意，得 即 2(x - 9) = x + 9解得 x ＝ 27.答: A，B 两地相距的路程为 27 km.17. 一列火车匀速行驶，经过一条长 300 m 的隧道需要 20 s 的时间. 隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是 10 s.（1）设火车长 x m，用含 x 的代数式表示：从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程和这段时间内火车的速度.（2）设火车长 x m，用含 x 的代数式表示：从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程和这段时间内火车的速度.（3）求这列火车的长度.解一元一次方程的步骤去分母的注意事项数学思想去括号去分母移项合并同类项系数化为1体现了转化以及整体的思想方法利用去分母解一元一次方程必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！