初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）实际问题与一元一次方程精品课堂检测

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1．对于有理数a、b定义新运算“*”：a∗b=23ab−12b．例如：2∗1=23×2×1−12×1=56，则方程2x−4∗4=14的解为（ ）
A．x=3B．x=4C．x=5D．x=6
2．若定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．若关于x的方程3x+m=0与方程4x−2=x+10是“美好方程”，则m的值是（ ）
A．9B．−9C．12D．−12
3．定义：对于一个有理数x，我们把x称作x的伴随数：若x≥0，则x=x−1；若x0，yb，例如：−2☆1=−2+2×1=0，3☆−1=3−2×−1=5．若−2☆b=16，则b的值是（ ）
A．9B．-9C．9或-9D．无法确定
7．将四个数a，b，c，d排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成 abcd．若定义 abcd=ad−bc，则 33x+122x−1=2x−15中x的值为（ ）
A．10B．8C．6D．5
8．如图表示3×3的数表，数表每个位置所对应的数都是1，2或3．定义a∗b为数表中第a行第b列的数，例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以3∗1=2．若2∗3=2x+1∗3∗3，则x的值为（ ）
A．1或2B．1或3C．0或2D．1或0
9．用“△”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，x△y=ax−2ay+1（a为常数，且a≠0）．例如：2△3=a×2−2a×3+1=−4a+1．若1△2=4，则5△8的值为（ ）
A．12B．16C．18D．20
10．若定义一种新运算m♥n=m−nm≤nm+n−2m>n，例如：1♥2=1−2=−1,4♥3=4+3−2=5，
下列说法：
①−7♥9=−16；
②若1♥2x−3=2，则x=1或3.5；
③若−2♥1+x=−2，则x=±1或x=±3；
④若关于x的方程−x=−m+2x♥3m+x与x+12−16=x+34+112（m为常数）有相同的解，则m=−3或1．
其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题
11．对任意四个有理数a,b,c,d，定义新运算：abcd=ad−bc，若−2x−x+1−54=18，则x= ．
12．定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解，则称这个方程为妙解方程．例如：方程2x+4=0中，2−4=−2，方程的解为x=−2，则方程2x+4=0为妙解方程．请根据上述定义解答下列问题：
（1）方程2x+3=0 妙解方程（填“是”或“不是”）
（2）已知关于x的一元一次方程3x+m=0是妙解方程．则m= ．
13．观察下列两个等式：2−13=2×13+1，5−23=5×23+1，给出定义如下：我们称使等式a−b=ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为a,b．如数对2,13，5,23都是“共生有理数对”
（1）若a,3是“共生有理数对”，则a的值为 ；
（2）若m,n是“共生有理数对”，则−n,−m （填写“是”或“不是”）“共生有理数对”．
14．（1）已知单项式2amb2与−12a4bn−1的和仍是单项式，那么mn= ．
（2）定义运算法则：a⊕b=a2+ab，例如3⊕2=32+3×2=15．若2⊕x=10，则x的值为 ．
15．观察下列式子，定义一种新运算：
1⊗3=4×1−3=1；
5⊗2=4×5−2=18；
3⊗−1=4×3+1=13；
−2⊗−3=4×−2+3=−5．
（1）−3⊗2= ；
（2）请你想一想：a⊗b= （用含a,b的式子表示）；
（3）如果a⊗−5=−3⊗a，则a= ．
16．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，有x※y=xy+a(x+y)+1（a为常数），例如：2※1=2×1+a(2+1)+1=3a+3．若−3※4的值为−10，则a的值为 ．
17．现定义一种新运算，对于任意有理数a，b，c，d满足abcd=ad−bc，若对于含未知数x的式子满足32x−1−2x+1=−11，则x= ．
18．定义：若a+b=1，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）a=3x2+2x2−x,b=2x−5x2+1，判断a与b是否是关于1的平衡数? （填“是”或“否”）
（2）−2与 是关于1的平衡数．
19．定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程3x+9=0中，3−9=−6，方程的解为x=−3，则方程3x+9=0为妙解方程．请根据上述定义解答：关于x的一元一次方程3x+a−b=0是妙解方程，则b−a= ．
20．我们来定义一种运算：abcd=ad−bc，例如2345=2×5−3×4=−2，按照这种定义，当2x2−12x=−4x−1112成立时，则x的值是 ．
三、解答题
21．对于整数a，b，c，d，定义abdc=ac−bd，如：1423=1×3−4×2=−5；
(1)计算：234−5的值；
(2)当3x54−2=3−2x时，求x的值．
22．阅读下列材料，并完成相应的任务．
定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．
例如：方程4x=8与方程y+1=0为“美好方程”．
(1)请判断方程4x−x+5=1与方程−2y−y=3是否为“美好方程”，并说明理由；
(2)若关于x的方程3x+m=0与方程4y−2=y+10是“美好方程”，求m的值．
23．对于有理数a，b，定义了一种新运算“※”为a※b=2a−b
如：5※3=2×5−3=7．
(1)计算：①2※−1=__________，②−4※−3=___________；
(2)若3※m=−1+3x是关于x的一元一次方程，且方程的解为x=2，求m的值；
(3)若A=−x3+3x2−x+1，B=−x3+6x2−x+2，且A※B=−3，求2x3+2x的值．
24．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．
例如：方程2x=4和x+2=0为“和谐方程”．
(1)若关于x的方程3x+m=0与方程4x−2=x+10是“和谐方程”，求m的值；
(2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为n，求n的值；
(3)若无论m取任何有理数，关于x的方程2x+ma3=b2+m（a，b为常数）与关于y的方程y+1=2y−2都是“和谐方程”，求a与b的值．
25．新定义：若任意两数a、b，按规定W=7a−b，通过运算得到一个新数W，则称所得新数W是数a、b的“快乐学习数”．
(1)若a=1，b=−2，求a、b的“快乐学习数”W．
(2)若b=5，数a、b的“快乐学习数”W为16，求a的值．
26．定义：若一个关于x的一元一次方程：ax+b=0（a≠0）的解为x=a+b2，则称此方程为“中点方程”，如方程2x−1=0的解为x=12，而12=2+−12，所以方程2x−1=0为“中点方程”.
(1)方程4x−83=0是“中点方程”吗？请说明理由；
(2)若关于x的方程为5x+m−1=0是“中点方程”，求m的值.
27．给出定义如下：我们称使等式a−b=ab+1成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为a，b．如：3−12=3×12+1，5−23=5×23+1，所以数对3，12，5，23都是“相伴有理数对”．
(1)数对−2，13，−12，−3中，是“相伴有理数对”的是 ___________；
(2)若x+1,5是“相伴有理数对”，则x的值是 ___________；
28．定义：对于形如a(x−b)2+c的多项式(a，b，c为常数，其中a≠0)，若x取两个不相等的数值m，n时，该多项式的值相等，则称数值m和n为多项式a(x−b)2+c的一组“等值元”，记作m,n．例如多项式(x−2)2+1，当x取0和4时，多项式(x−2)2+1的值均为5，则称0和4为多项式的一组“等值无“，记作0,4．
(1)下列各组数值中，是多项式−2(x+3)2+5的“等值元“的有 ．（填写序号）
①−5和−1；②1和−3；③−0.5和−5.5．
(2)若−2,3是3(x−b)2−7 的一组“等值元”求b的值．
29．定义：关于x的方程ax−b=0与方程bx−a=0（a、b均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程2x−1=0与方程x−2=0互为“伴生方程”．
(1)若关于x的方程2x−3=0与方程3x−c=0互为“伴生方程”，则c=_________；
(2)若关于x的方程4x+3m+1=0与方程5x−n+2=0互为“伴生方程”，求m、n的值；
(3)若关于x的方程5x−b=0与其“伴生方程”的解都是整数，求整数b的值．
30．定义，若整数k的值使关于x的方程x+42+1=kx的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”．
(1)判断k1=0，k2=1是不是方程x+42+1=kx的“友好系数”，并写出判断过程．
(2)若方程x+42+1=kx有“友好系数”，请求出此方程的所有“友好系数”．
31．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程4x=8和x+1=0为“集团方程”．
(1)若关于x的方程3x+m=0与方程4x−1=x+8是“集团方程”，求m的值；
(2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值；
32．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“兄弟方程”．如方程3x=9和2x+6=0为“兄弟方程”．
(1)若关于x的方程2x−m=0与方程3x−4=x−2是“兄弟方程”，求m的值；
(2)若关于x的方程x=m−2和方程3x+5m−12=0是“兄弟方程”，求这两个方程．
33．定义：关于x的方程ax−b=0与方程bx−a=0（a、b均为不等于0的常数）称互为“错位方程”，例如：方程2x−1=0与方程x−2=0互为“错位方程”．
(1)若关于x的方程2x−3=0与方程3x−c=0互为“错位方程”，则c＝__________；
(2)若关于x的方程4x+3m+1=0与方程5x−n+2=0互为“错位方程”，求m、n的值；
(3)若关于x的方程3x−b=0与其“错位方程”的解都是整数，求整数b的值．
34．把y=ax+b（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当y=x时，“雅系二元一次方程y=ax+b”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当y=x时，“雅系二元一次方程”y=3x−4化为x=3x−4，其“完美值”为x=2．
(1)x=3是“雅系二元一次方程”y=3x+m的“完美值”，求m的值；
(2)类比“雅系二元一次方程”y=kx+1（k≠0，k是常数）的定义，对于一个“雅系二元一次不等式”y>kx+1（k≠0，k是常数）的“完美解集”为x>2，请求出k的值．
35．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如： 方程4x=8和x+1=0为“美好方程”．
(1)请判断方程4x−x+5=1与方程−2y−y=3是否互为“美好方程”；
(2)若关于x的方程3x+m=0与方程4x−2=x+10是“美好方程”， 求m的值；
(3)若关于x的一元一次方程12022x+3=2x+k和 12022x+1=0是“美好方程”，求关于y的一次方程：12022y+1+3=2y+1+k的解．
36．（1）解方程2x+5=4
（2）在解形如3x−2=x−2+4这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分x