人教版（2024）矩形优秀同步测试题

这是一份人教版（2024）矩形优秀同步测试题，文件包含专题02矩形的性质与判定知识串讲+9大考点原卷版docx、专题02矩形的性质与判定知识串讲+9大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共90页， 欢迎下载使用。

知识一遍过
（一）矩形的性质
（二）矩形的判定
（三）斜边中线的性质
在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半
如图：OB=12AB
考点一遍过
考点1：矩形的性质——求角度
典例1：（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB=AC，连接DE，若∠BAC=α，则∠E的度数是（ ）
A．α2B．45°−α2C．α−45°D．30°+α2
【变式1】（2022·安徽安庆·安庆市第二中学校考三模）如图，O是矩形ABCD的对角线交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，∠AEO的度数为（ ）

A．10°B．15°C．25°D．30°
【变式2】（2023下·广东深圳·七年级校考期中）如图，已知在长方形ABCD中，点M是AD边上任意一点，点N是DC的中点，AN与MC交于点P．若∠MCB=∠NBC+33°，则∠MPA=( )

A．33°B．66°C．45°D．78°
【变式3】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠BAF=α，则∠EFC的度数为（ ）

A．αB．45°+α2C．45°−α2D．90°−α
考点2：矩形的性质——求线段
典例2：（2024上·全国·九年级专题练习）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．485B．325C．245D．125
【变式1】（2023上·全国·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠AOB:∠AOD=1:2，且BD=12，则DE的长度是（ ）
A．3B．6C．63D．33
【变式2】（2023上·四川达州·八年级校考期末）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为()
A．23B．323C．3D．6
【变式3】（2024上·山东烟台·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB=4，△AOE的面积为5，则DE的长为（ ）
A．2B．5C．6D．3
考点3：矩形的性质——求面积
典例3：（2023下·山东威海·八年级统考期末）如图，矩形ABCD，对角线AC,BD交于点O，过点O作EF分别交AB,CD于点E，点F．若AB=6,BC=8，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．6B．8C．12D．24
【变式1】（2023下·广东广州·八年级统考期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是线段AC上一点，连接EB，ED．若△BED的面积等于△BEC的面积，则△ABE和△CDE的面积比等于（ ）

A．2∶1B．3∶1C．3∶2D．9∶4
【变式2】（2022上·河南平顶山·九年级统考期末）如图，过矩形ABCD对角线AC上一点E作MN∥AD，分别交AB和CD于点M和N，连接BE,DE，已知CN=2,ME=6，则△END和△BEM的面积和等于（ ）
A．10B．12C．14D．16
【变式3】（2023下·江苏·八年级校联考期中）如图，矩形ABCD的周长为24cm，两条对角线相交于点O，过点O作BD的垂线EF，分别交BC、AD于点E、F，连接BF，且AF=3cm，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．24cm2B．28cm2C．32cm2D．36cm2
考点4：矩形的性质——证明题
典例4：（2024上·河北保定·九年级统考期末）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．
(1)求证：CD=CE．
(2)若∠E=60°，求∠DOC的度数．
【变式1】（2022下·重庆酉阳·八年级校考期末）如图1，在矩形ABCD中，过矩形ABCD对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交AB、DC于E、F点．
(1)求证：AE=CF；
(2)如图2，若G为AE的中点，且∠AOG=30∘，求证：DC=3OG．
【变式2】（2023上·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，过点D作DF⊥AE交AE于点F，连接CF．
(1)如图1，若DF=DC，求证：AF=BE．
(2)如图2，若E恰好是边BC的中点，求证：CF=CD．
(3)在（2）的条件下，当AF=EF，BC=2时，求AB的值．
考点5：矩形的性质——坐标问题
典例5：（2023下·山东济南·九年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，长方形ABCD如图所示，A(−6,2),B(2,2),C(2,−3)，则点D的坐标为（ ）
A．(−6,3)B．(3,−6)C．(−6,−3)D．(−3,−6)
【变式1】（2023下·浙江台州·八年级统考期中）如图，已知矩形OABC的周长为18，点B的坐标为（4，7），则矩形OABC的面积为（ ）
A．28B．16C．8D．4
【变式2】（2023·湖南株洲·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为10,8，则点E的坐标为（ ）
A．10,3B．10,5C．6,3D．4,3
【变式3】（2023·吉林·统考一模）如图，矩形OABC的顶点A在x轴上，点B的坐标为（1，2）．固定边OA，向左“推”矩形OABC，使点B落在y轴的点B'的位置，则点C的对应点C'的坐标为（ ）

A．（﹣1，3）B．（3，﹣1）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）
考点6：矩形的性质——折叠问题
典例6：（2023上·江苏苏州·八年级校考期中）如图，长方形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折，A与点C重合，折叠后在其一面着色．
(1)求FG的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
【变式1】（2023上·山东东营·七年级校考阶段练习）如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交AD′于点E，AB=6cm，BC=8cm，求阴影部分的面积．
【变式2】（2022上·江西九江·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，将△ADE沿AE折叠，点D刚好落在对角线AC上的点F．
(1)若AB=8，BC=6，求DE的长．
(2)若AE=EC，求证：AC=2BC．
【变式3】（2023上·广东深圳·八年级校考期中）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．

(1)试判断△BDE的形状，并说明理由；
(2)若AB=3，AD=9，求线段BE的长度．
考点7：矩形的判定——证明题
典例7：（2023上·山西晋中·九年级统考期末）课本在线
我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．
定理 有三个角是直角的四边形是矩形．
定理证明
为了证明该定理，小丽同学画出了图形（如图），写出了“已知”，请你补出“求证”的内容，并根据她的思路补全证明过程．

已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．
求证：__________________．
证明：∵∠A=∠B=90°，
∴∠A+∠B=_______________°
∴AD∥BC（______________），
又∵∠B=∠C=90°，
∴______________．
∴AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形（______________）．
又∵∠B=90°，
∴▱ABCD是矩形（______________）．
【变式1】（2023下·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E是CD的中点，过点E作EF∥BD，交BC于点F．
(1)求证：四边形OEFB是矩形；
(2)若AD=4，DC=6，求四边形OEFB的面积．
【变式2】（2023上·湖南长沙·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABE中，点C是BE的中点，以AB、BC为边作平行四边形ABCD，连接AC、DE，回答以下问题．
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)如果AB=AE，求证：四边形ACED是矩形．
【变式3】（2023上·安徽宿州·九年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，DF∥AB交BC于点F,DE∥BC交AB于点E,AC=2BD，请判断四边形BEDF的形状，并说明理由．
考点8：矩形的判定与性质综合
典例8：（2023下·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其中AD∥BC，AB∥CD，AC=2OB，E为CD上一点，连接AE，OE．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若AE平分∠BAD，且BD=2AD，求∠DOE的度数．
【变式1】（2023上·广东深圳·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
(1)求证：四边形ADCE为矩形；
(2)若BD=6，DF=5，求AD的长．
【变式2】（2023上·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，在△ABC中，点O是AB边的中点，过点O作直线MN∥BC，∠ABC的平分线和外角∠ABD的平分线分别交MN于点E，F．
(1)求证：四边形AEBF是矩形：
(2)若∠ABC=60°，AB=6，求四边形AEBF的面积．
【变式3】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习） 如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，且AD=BC，AB=CD，∠BCD的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G.

(1)求证：AE=DF
(2)如图2，若∠ABC=90∘，BF、CE交于点G，写出图中所有等腰直角三角形.
考点9：直角三角形斜边中线性质
典例9：（2024上·上海虹口·八年级上外附中校考期末）已知：如图，在△ABC中，AB=CB，高AD与高BE相交于点F，G为BF的中点．
求证：
(1)DG=DE；
(2)∠DEG=∠DEC．
【变式1】（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，BC边上的高AD=6,BC=9，E、F分别AB、AC的中点．
(1)求四边形AEDF的面积；
(2)若BD=2DC，求四边形AEDF的周长．
【变式2】（2023上·吉林白山·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，且DM=12AC，E为BC延长线上一点，且CE=12BC．
(1)求ME的长；
(2)求证：△DBE是等腰三角形．
【变式3】（2023上·山西阳泉·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，点E在AD上，DE=DC，连接BE．M，N分别是BE,AC的中点，连接MN,ND,MD．
(1)求证：△BED≌△ACD；
(2)求证：△MND是等腰直角三角形；
(3)若DC=1,∠ABE=15°，求MN的长．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023上·河北保定·九年级统考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADB=25°，那么∠AOB的度数为（ ）

A．50°B．45°C．40°D．35°
2．（2023下·四川绵阳·八年级期末）如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形的四个角是直角
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
3．（2023上·四川·八年级统考期末）将长方形纸片按如图折叠，若DC=3B′E，则∠DAE度数为（ ）
A．15∘B．22.5∘C．30∘D．A，B，D
4．（2023上·四川成都·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为( )
A．4B．3C．2D．1
5．（2023上·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=43，点E是BC边上的动点，现将△ECD沿直线ED折叠，使点C落在点F处，则点B到点F的最短距离为（ ）
A．5B．4C．3D．2
6．（2023下·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
A．12B．14C．15D．20
7．（2023下·重庆·八年级重庆八中校考期中）如图，在矩形ABCD中，AD=9cm,AB=3cm,将其折叠，使点D与点B重合， 则重叠部分ΔBEF的面积为（ ）cm2
A．15B．152C．6D．5
8．（2022下·江苏南通·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．2
9．（2023上·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在等腰直角△ABC中，AB=BC，点D是△ABC内部一点， DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，若CE=3DE， 5DF=3AF，DE=2.5，则AF=（ ）
A．8B．10C．12.5D．15
10．（2023下·八年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，CE⊥AD，点F在AB上，连接EF，EF＝CE，若BC＝6，CD＝5，则线段BF的长为( )
A．185B．215C．165D．245
二、填空题
11．（2023下·上海·八年级上外附中校考阶段练习）矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，已知AC=10，∠ACB=30°，则△COD的周长是
12．（2023下·八年级单元测试）已知平面直角坐标系内有三点A2，22，B5，22，C5，2，请确定一个点D，使四边形ABCD为矩形，则点D的坐标是 ．
13．（2023上·八年级课时练习）在Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB=2,BC=3，则AC上的中线长为 ．
14．（2023上·陕西咸阳·九年级校考期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC,BD相交于点 O，且OA=3，若要使▱ABCD为矩形，则OB的长度为 ．
15．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作，垂足为，若，，则的长为 .
16．（2023下·江苏苏州·八年级苏州草桥中学校考期末）如图，在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当2NF=AN+FD时，ABBC的值等于 ．

三、解答题
17．（2023下·八年级单元测试）如图，在△ABC中，点D，E分别是线段AB,AC的中点，且CD⊥AB，延长DE至点F使得EF=DE，连结CF和AE．
(1)求证：四边形ADCF是矩形．
(2)若BC=5，CF=3，求CD的长．
18．（2023下·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知矩形ABCD，延长CB至点E，使得BE=BC，对角线AC，BD交于点F，连结EF．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）若BC=4，CD=8，求EF的长．
19．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF、AC．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）若AD=AF，AB=3，BC=5，求四边形ABFC的面积．
20．（2023上·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，M、N分别为对角线BD、AC的中点，连接MN，判定MN与AC的位置关系并证明．
21．（2022上·八年级课时练习）如图，长方形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，A与原点O重合．B、D分别在x轴和y轴上，AB=8，AD=6．
(1)直接写出C点坐标；
(2)如图①折叠△CEB使B落在线段AC的B1处，折痕为CE，求E点坐标；
(3)如图②点P在线段DC上，若△PAB为等腰三角形，试求满足条件的所有P点坐标．
22．（2023下·八年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=12BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E．
(1)若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明；
(2)若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的长．
23．（2023上·广东湛江·八年级校考期末）如图,在▱ABCD 中,DE⊥AB，BF⊥CD,垂足分别为E，F．
(1)求证：AE=CF．
(2)求证：四边形BFDE为矩形．
24．（2023·河南郑州·统考二模）如图①，在RtΔABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，P为边AB 上一动点（不与点A,B重合），过点P作PD ⊥BC于点D，连接PC，取PC 的中点E，连接AE，DE.
（1）填空：AE与DE的数量关系为 ，∠AED的度数为 ；
（2）将ΔPDB绕点B逆时针旋转，旋转角为β 0°