5.1.1.1方程（教学课件）2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

5.1.1.1 方程方程是代数知识体系中的重要概念，是解决实际问题的有力工具。从小学阶段的简易方程到中学阶段的复杂方程，方程的思想贯穿于数学学习的始终。理解方程的定义、构成要素以及方程解的概念，是学习后续解方程、列方程解应用题的基础。一、方程的定义核心概念：含有未知数的等式叫做方程。例如：\(2x + 3 = 7\)（含有未知数\(x\)的等式）、\(3y - 5 = 2y + 1\)（含有未知数\(y\)的等式）、\(x^2 - 4 = 0\)（含有未知数\(x\)的等式）都是方程；而\(2 + 3 = 5\)（不含未知数）、\(3x + 2\)（不是等式）不是方程。构成要素：方程必须同时满足两个条件：含有未知数：未知数是指在等式中需要求解的字母，通常用\(x\)、\(y\)、\(z\)等字母表示。例如：方程\(5x - 8 = 2\)中的未知数是\(x\)；方程\(2a + 3b = 10\)中的未知数是\(a\)和\(b\)。是等式：等式是表示左右两边相等关系的式子，用等号 “\(=\)” 连接。例如：\(x + 5 = 9\)中，左边 “\(x + 5\)” 与右边 “\(9\)” 通过等号连接，构成等式。与相关概念的区别：方程与代数式：代数式是由数和字母经有限次加、减、乘、除、乘方等运算得到的式子（如\(3x + 2\)、\(5y^2\)），不含等号；而方程是含有未知数的等式，必须包含等号和未知数。例如：\(2x + 5\)是代数式，\(2x + 5 = 11\)是方程。方程与等式：等式不一定是方程（如\(3 + 6 = 9\)是等式但不含未知数，不是方程）；方程一定是等式（方程必须满足等式的定义）。二者的关系可表示为：方程⊂等式。二、方程的解定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。例如：对于方程\(2x + 3 = 7\)，当\(x = 2\)时，左边\(= 2×2 + 3 = 7\)，右边\(= 7\)，左右两边相等，因此\(x = 2\)是该方程的解；对于方程\(x^2 - 4 = 0\)，当\(x = 2\)或\(x = -2\)时，左右两边相等，因此\(x = 2\)和\(x = -2\)都是该方程的解。方程的解与解方程的区别：方程的解：是一个具体的数值（或一组数值），表示未知数的取值能使方程左右两边相等。例如：\(x = 3\)是方程\(x - 1 = 2\)的解。解方程：是求方程的解的过程，是一系列变形和运算的步骤。例如：求解方程\(3x + 6 = 15\)的过程（移项、化简等）叫做解方程。检验方程的解：要检验一个未知数的值是否为方程的解，需将该值代入方程的左右两边，分别计算结果，若左右两边的值相等，则该值是方程的解；否则不是。示例：检验\(x = 5\)是否是方程\(4x - 7 = 13\)的解。解：将\(x = 5\)代入左边：\(4×5 - 7 = 20 - 7 = 13\)，右边\(= 13\)，因为左边\(=\)右边，所以\(x = 5\)是该方程的解。三、方程的分类（初步认识）根据方程中未知数的次数和个数，方程可分为不同类型，初中阶段常见的方程类型有：一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是\(1\)的方程。例如：\(3x + 5 = 14\)、\(2(y - 1) = 6\)。二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是\(1\)的方程。例如：\(x + y = 5\)、\(2a - 3b = 7\)。一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是\(2\)的方程。例如：\(x^2 - 5x + 6 = 0\)、\(2y^2 = 8\)。（注：后续章节将详细学习各类方程的解法，此处仅作初步了解）四、列方程的初步思路列方程是解决实际问题的关键步骤，其核心是将实际问题中的数量关系转化为含有未知数的等式。初步思路如下：设未知数：根据问题情境，选择一个适当的未知量用字母表示（通常设为\(x\)、\(y\)等）。找等量关系：分析问题中已知量与未知量之间的相等关系（如 “总和”“差”“倍数”“面积公式” 等）。列方程：根据等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，列出等式（即方程）。示例：一个数的\(3\)倍与\(5\)的和等于\(20\)，设这个数为\(x\)，列出方程。解：设这个数为\(x\)，等量关系：这个数的\(3\)倍 + \(5 = 20\)，列方程：\(3x + 5 = 20\)。五、常见错误与规避方法方程定义理解错误：常见错误：认为 “含有未知数的式子就是方程”（如误将\(2x + 3\)当作方程）；忽略方程必须是等式的条件。规避方法：牢记方程的两个核心要素 ——“含有未知数” 和 “是等式”，缺一不可。判断一个式子是否为方程时，需同时验证这两个条件。方程的解与解方程概念混淆：常见错误：将 “解方程” 说成 “求方程的解”，或将 “方程的解” 描述为 “解方程的过程”。规避方法：明确 “解” 是结果（数值），“解方程” 是过程（步骤），通过具体例子对比二者的区别。检验方程的解时计算错误：常见错误：代入未知数的值后计算左边或右边时出错，导致误判。例如：检验\(x = 3\)是否是方程\(2x - 1 = 5\)的解时，误算左边为\(2×3 + 1 = 7\)（符号错误）。规避方法：检验时严格按照代数式的运算规则计算，代入后先写清楚 “左边\(=\)” 和 “右边\(=\)”，再分步计算，避免跳步。六、典型例题解析判断是否为方程：例：下列各式中，哪些是方程？（1）\(3x - 2\) （2）\(5 + 6 = 11\) （3）\(2x + 3 = 7\) （4）\(x + y = 9\) （5）\(x^2 > 4\)解：（3）（4）是方程。（1）是代数式，不含等号；（2）是等式，但不含未知数；（5）是不等式，不是等式。检验方程的解：例：检验下列各数是否是方程\(2x - 5 = 3x - 10\)的解：（1）\(x = 5\) （2）\(x = 3\)解：（1）将\(x = 5\)代入左边：\(2×5 - 5 = 5\)，右边：\(3×5 - 10 = 5\)，左边\(=\)右边，因此\(x = 5\)是方程的解；（2）将\(x = 3\)代入左边：\(2×3 - 5 = 1\)，右边：\(3×3 - 10 = -1\)，左边\(≠\)右边，因此\(x = 3\)不是方程的解。根据题意列方程：例：根据下列语句列出方程：（1）\(x\)的\(2\)倍与\(7\)的差等于\(15\)；（2）一个数的\(\frac{1}{3}\)比它本身小\(6\)，设这个数为\(x\)。解：（1）\(2x - 7 = 15\)；（2）\(x - \frac{1}{3}x = 6\)（或\(\frac{1}{3}x = x - 6\)）。方程是描述等量关系的数学模型，其核心定义 “含有未知数的等式” 需深刻理解。通过明确方程的构成要素、区分方程的解与解方程的概念、掌握检验方程解的方法，可为后续学习方程的解法和应用奠定基础。在实际应用中，要学会从问题情境中提取等量关系，将文字语言转化为方程，初步体会方程思想在解决问题中的作用。2024人教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 掌握方程的概念2. 会列方程.新课导入 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发. 甲队从距大本营 1 km 的一号营地出发，每小时行进 1.2 km；乙队从距大本营 3 km 的二号营地出发，每小时行进 0.8 km，多长时间后，甲队在途中追上乙队？新知探索V甲= 1.2 km/hV乙= 0.8 km/h甲出发点乙出发点上述问题中涉及到了哪些量？路程速度时间 如果设两队行进的时间为 x h，用含 x 的式子表示上面关系：V甲= 1.2 km/hV乙= 0.8 km/h甲出发点乙出发点甲队行进的路程为：1.2x km乙队行进的路程为：0.8x km甲队距大本营的路程为：(1.2x + 1) km乙队距大本营的路程为：(0.8x + 3) kmV甲= 1.2 km/hV乙= 0.8 km/h甲出发点乙出发点V甲= 1.2 km/hV乙= 0.8 km/h甲出发点乙出发点甲队距大本营的路程 = 乙队距大本营的路程1.2x + 1 = 0.8x + 3 问题 1 用买 3 个大水杯的钱，可以买 4 个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多 5 元，两种水杯的单价各是多少元？实际问题单价：x 元单价：(x-5) 元因为用买 3 个大水杯的钱，可以买 4 个小水杯，所以3x = 4( x-5 ) 问题 2 如图，一枚长方形的庆祝中国共产党成立 100 周年纪念币，其面积是 4000 mm2，长和宽的比为 8 : 5（即宽是长的 ）. 这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？设这枚纪念币的长为 x mm. 像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程.方 程比较：列算式和列方程列算式：列出的算式表示解题的计算过程，只能用已知数，对于较复杂的问题，列算式比较困难.列方程：方程是根据题中的等量关系列出的等式.既可用已知数，又可用未知数，解决问题比较方便.从算式到方程是数学的进步！溯 源 汉语中“方程”一词源于讨论含多个未知数的等式的问题。我国古代数学著作《九章算术》中有专门的“方程”章，其中以一些实际应用问题为例，给出了由几个一次方程组成的方程组的解法，称为“方程术”. 19 世纪 50 年代，清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将equation (指含有未知数的等式)一词译为“方程”.及时巩固下列式子中，是方程的有___________.①7-1 = 6；②3x + y = 10；③x-1； ④ ；⑤x > 3； ⑥x = 1； ⑦a2-1 = 0；⑧b2 ≠ -1.②④⑥⑦一个式子是方程必须同时满足两个条件:（1）含有未知数(未知数都是用字母表示)；（2）必须是等式(标志就是含有“＝”).例 题【教材P113】 例 1 根据下列问题，设未知数并列出方程： （1）某校女生占全体学生数的 52%，比男生多 80人，这所学校有多少名学生？解：设这所学校有 x 名学生 .女生数为 0.52x .男生数为 (1-0.52)x .0.52x -(1-0.52)x = 80 （2）如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽 5 m，扩大后的绿地面积是 500 m2，求正方形绿地的边长.设正方形绿地的边长为 x m.扩大后的绿地面积为(x2+5x) m2.列得方程x2 + 5x = 500归 纳请同学们思考：1. 怎样将一个实际问题转化为方程问题？2. 列方程的依据是什么？ 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.【选自教材P113 练习 第1题】根据下列问题，设未知数并列出方程：1. 甲种铅笔每支 1.4 元，乙种铅笔每支 1.8 元，用 23 元钱买这两种铅笔，一共买了 15 支，两种铅笔各买了多少支？解：设甲种铅笔买了 x 支，则乙种铅笔买了(15-x)支.列得方程 1.4x + 1.8(15-x) = 23.2. 有两条电线，第一条长 90 m，第二条长 40 m. 要从第一条截下一段接在第二条上，使两条电线长度相等. 求截下的那段电线的长度(两条电线接头部分的长度忽略不计).解：设截下的那段电线的长度为 x m.列得方程 90-x = 40 + x .【选自教材P113 练习 第2题】3. 某圆环形状的工件如图所示，它的面积是 200 cm2，外沿大圆的半径是 10 cm，内沿小圆的半径是多少厘米？解：设内沿小圆的半径是 r cm.列得方程 π×102 - πr2 = 200.【选自教材P113 练习 第3题】1. 下列各式中，不是方程的是( )D  返回 C  返回3.只列方程，不解方程:（1）某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班女生有多少人？ （2）小明买苹果和梨共5千克，用去21元，其中苹果每千克5元，梨每千克4元，问小明苹果买了多少千克？  返回 BA. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 返回 A  返回含有未知数的等式叫作方程.列方程的一般步骤：（1）审：审清题意，找出相等关系；（2）设：根据题意，设出未知数；（3）列：根据相等关系列出方程.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！