5.1 方程-5.1.1 从算式到方程-第1课时 方程-课件-2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

幻灯片 1：封面5.1.1 从算式到方程（第 1 课时）—— 方程学科：数学年级：六年级幻灯片 2：情境导入 —— 从算术到方程的思维转变实例 1：年龄问题小明今年 12 岁，爸爸的年龄比小明大 28 岁，爸爸今年多少岁？算术解法：已知小明年龄，求爸爸年龄，用加法：12 + 28 = 40（岁）；变式问题：小明今年 12 岁，爸爸今年 40 岁，爸爸比小明大多少岁？算术解法：40 - 12 = 28（岁）；逆向问题：小明今年 12 岁，爸爸比小明大 28 岁，几年后爸爸的年龄是小明的 2 倍？思考：用算术法较难直接列式，若设 “x 年后”，则可表示为 “40 + x = 2×(12 + x)”，这就是一个方程。实例 2：购物问题妈妈买了 3 千克苹果，每千克 x 元，共花了 15 元，每千克苹果多少元？算术解法：总价 ÷ 数量 = 单价，15 ÷ 3 = 5（元）；方程解法：设每千克苹果 x 元，根据 “总价 = 单价 × 数量”，列等式：3x = 15。引出课题：当问题中存在未知量，且数量关系较复杂时，用 “方程” 表示数量关系更直观。今天我们就来学习方程的定义、特征，以及如何根据实际问题列方程。幻灯片 3：学习目标理解方程的定义，能准确判断一个式子是否为方程（含未知数的等式）。掌握方程的核心要素（未知数、等式），明确方程与代数式、等式的区别与联系。能根据实际问题中的数量关系，列出简单的方程，培养用方程表示数量关系的意识。幻灯片 4：方程的定义与核心要素方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。核心要素（缺一不可）：要素 1：含有未知数（通常用字母 x、y、z 等表示，如 3x = 15 中的 x，40 + x = 2 (12 + x) 中的 x）；要素 2：是等式（含有等号 “=”，表示左右两边的数量相等，如 2x + 5 = 13 是等式，2x + 5 不是等式）。实例辨析（判断是否为方程）：是方程的：3x = 15（含未知数 x，是等式）；2y + 3 = 9（含未知数 y，是等式）；x - 5 = 2x + 1（含未知数 x，是等式）；不是方程的：2x + 5（不含等号，是代数式，不是等式）；3 + 6 = 9（是等式，但不含未知数）；x > 4（含未知数，但不是等式，是不等式）。学生练习：判断下列式子是否为方程：(1) 5x - 3 = 7；(2) 4 + 8 = 12；(3) y + 2；(4) 3z = 0。（答案：(1) 是；(2) 否；(3) 否；(4) 是）幻灯片 5：方程与代数式、等式的区别与联系三者关系梳理：代数式（不含等号，如2x、3y + 1）等式（含等号，分两类）├─ 不含未知数的等式（如3 + 5 = 8，不是方程）└─ 含未知数的等式（如2x = 6，是方程）区别：代数式 vs 方程：代数式无等号，仅表示数量关系；方程有等号，且含未知数，表述 “相等关系”；等式 vs 方程：方程是特殊的等式（含未知数的等式），等式包含方程，但并非所有等式都是方程（如 5 = 5 是等式，不是方程）。实例对比：代数式：2x + 3（表示 “x 的 2 倍与 3 的和”，无等号）；等式（非方程）：2 + 3 = 5（无未知数）；方程：2x + 3 = 9（含未知数 x，是等式）。幻灯片 6：根据实际问题列方程的步骤步骤一：“设”—— 设未知数（用字母表示问题中的未知量，明确字母的实际意义）示例：“某数的 3 倍等于 15”，设这个数为 x（x 表示所求的数）。步骤二：“找”—— 找出问题中的等量关系（关键：分析已知量与未知量之间的相等关系，常用 “等于、比…… 多、比…… 少、是…… 倍” 等关键词）示例：“某数的 3 倍等于 15”，等量关系是 “某数 ×3 = 15”。步骤三：“列”—— 根据等量关系列出方程（将已知量、未知量代入等量关系，用数学符号表示，确保左右两边意义一致、单位统一）示例：代入得 3x = 15（x 是某数，3x 表示某数的 3 倍，15 是结果，等式成立）。步骤四：“验”—— 验证方程的合理性（检查等量关系是否正确，未知数是否准确表示未知量）示例：3x = 15 中，x 表示 “某数”，3x 对应 “某数的 3 倍”，与 “15” 相等，方程合理。完整实例：问题：一个长方形的周长是 20 厘米，长是 6 厘米，宽是多少厘米？步骤 1：设宽为 x 厘米（x 表示长方形的宽）；步骤 2：等量关系：长方形周长 = 2×(长 + 宽)（周长公式）；步骤 3：列方程：2×(6 + x) = 20；步骤 4：验证：左边 2×(6 + x) 是周长，右边 20 是已知周长，等量关系正确，方程合理。幻灯片 7：不同类型实际问题列方程类型 1：倍数关系问题例 1：某数的 2 倍与 5 的和等于 13，求这个数。设这个数为 x；等量关系：某数 ×2 + 5 = 13；方程：2x + 5 = 13。类型 2：行程问题（路程 = 速度 × 时间）例 2：小明骑自行车以每小时 12 千米的速度行驶，经过 x 小时到达距离出发点 36 千米的目的地。设行驶时间为 x 小时；等量关系：速度 × 时间 = 路程；方程：12x = 36。类型 3：几何问题（面积、周长公式）例 3：一个正方形的面积是 25 平方厘米，边长是 x 厘米。设边长为 x 厘米；等量关系：边长 × 边长 = 面积；方程：x² = 25。类型 4：购物问题（总价 = 单价 × 数量）例 4：妈妈买了 5 本笔记本，每本 y 元，共支付 30 元。设每本笔记本 y 元；等量关系：单价 × 数量 = 总价；方程：5y = 30。学生练习：问题：小红有 20 元，买了一支钢笔花了 x 元，还剩 12 元。列方程表示这个关系。（答案：20 - x = 12）幻灯片 8：互动游戏 ——“找等量关系列方程”游戏准备：制作卡片，正面写实际问题（如 “某数的 5 倍减去 3 等于 12”“长方形长 8 厘米，宽 x 厘米，面积 40 平方厘米”），反面写对应的方程；准备两个抽奖箱，分别放入 “问题卡片” 和 “答案卡片”。游戏规则：全班分为 4 组，每组派 1 名代表轮流抽 “问题卡片”；代表需在 1 分钟内完成 “设未知数→找等量关系→列方程”，并说出方程；正确列出方程得 2 分，能准确说出等量关系额外加 1 分，错误由小组其他成员补充，补充正确得 1 分；游戏结束后，得分最高的小组获 “方程小能手” 称号。幻灯片 9：易错点提醒易错点 1：漏设未知数或未知数意义不明确示例：列 “长方形周长 20 厘米，长 6 厘米，求宽” 的方程时，未设宽为 x，直接写 2×(6 + x) = 20（虽方程正确，但未知数意义未明确，需先设 “宽为 x 厘米”）；应对策略：列方程前先明确写出 “设…… 为 x（单位）”，标注未知数的实际意义。易错点 2：等量关系错误，导致方程列错示例：“某数比它的 2 倍少 3”，错列方程为 x - 2x = 3（正确等量关系：2x - x = 3，方程应为 2x - x = 3）；应对策略：分析关键词 “比…… 少”，明确 “较大的量 - 较小的量 = 差值”，避免颠倒数量关系。易错点 3：单位不统一，导致方程意义错误示例：“小明以每小时 5 千米的速度跑了 x 分钟，跑了 1 千米”，错列方程为 5x = 1（速度单位是 “千米 / 小时”，时间单位是 “分钟”，需统一为 “小时”，方程应为 5×(x/60) = 1）；应对策略：列方程前检查所有量的单位，统一单位后再代入等量关系。易错点 4：混淆代数式与方程，漏写等号示例：“x 的 3 倍与 4 的和”，错列方程为 3x + 4（这是代数式，不是方程，需补充等量关系，如 “x 的 3 倍与 4 的和等于 10”，方程为 3x + 4 = 10）；应对策略：牢记方程必须含等号，列方程前先确认是否存在 “相等关系”，再构建等式。幻灯片 10：课堂总结方程的核心：含未知数的等式（两个要素：未知数、等号）；方程与相关概念的关系：方程是特殊的等式，代数式不含等号，与方程本质不同；列方程步骤：设未知数→找等量关系→列方程→验合理性；核心价值：用方程表示复杂数量关系更直观，是解决实际问题的重要工具，为后续解方程奠定基础。幻灯片 11：课后作业基础题：（1）判断下列式子是否为方程：①3x + 2 = 7；（是） ②6 - 2 = 4；（否） ③y - 5；（否） ④2z = z + 1。（是）（2）根据下列语句列方程：①某数 x 的 4 倍等于 20；（4x = 20）②比 x 大 3 的数是 8；（x + 3 = 8）③长方形长 5 厘米，宽 x 厘米，周长 18 厘米；（2×(5 + x) = 18）④小明有 x 元，花了 8 元，还剩 15 元。（x - 8 = 15）应用题：（1）一个三角形的底是 8 厘米，高是 h 厘米，面积是 24 平方厘米（三角形面积公式：S = \(\frac{1}{2}\)× 底 × 高），列方程表示这个关系。（\(\frac{1}{2}\)×8×h = 24）（2）学校买来 x 本图书，分给 6 个班，每个班分 15 本，正好分完，列方程求 x 的值（先列方程，暂不解）。（x ÷ 6 = 15 或 6×15 = x）拓展题：根据 “甲数比乙数的 3 倍多 2，甲数是 17”，设乙数为 y，列方程表示甲、乙两数的关系。（3y + 2 = 17）【2024新教材】人教版数学 七年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.通过对现实情境中数量关系的分析，感受方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，初步形成模型观念.2.理解方程的意义，会根据实际情境列方程.学习目标 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km 的一号营地出发，每小时行进1.2 km；乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km.多长时间后，甲队在途中追上乙队?(3-1)÷(1.2-0.8)=5 (时)思考 如果用方程解决本题，什么是已知的，什么是未知的呢？知识点1 方程的定义 在这个问题中，甲、乙两队的行进速度是已知的，甲、乙两队到大本营的距离也是已知的，行进的时间和路程是未知的. 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km 的一号营地出发，每小时行进1.2 km；乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km.多长时间后，甲队在途中追上乙队?甲 1.2 km/h乙0.8 km/h追上地点1.2x 用图展示更加直观.0.8x 甲队距大本营的路程：(1.2x+1) km乙队距大本营的路程：(0.8x+3) km知识点1 方程的定义 如果设两队行进的时间为x h，想一想，甲队追上乙队时，他们距大本营的路程之间有什么关系？甲队追上乙队时，他们距大本营的路程相等.知识点1 方程的定义 甲队距大本营的路程=乙队距大本营的路程.1.2x+1=0.8x+3.问题1 用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？设大水杯的单价为x元，那么小水杯的单价为(x-5)元.知识点1 方程的定义 3x=4(x-5).等量关系是什么呢?3个大水杯的总价= 4个小水杯的总价.根据“单价×数量=总价”，列得方程 由这个含有未知数 x 的等式可以求出大水杯的单价，进而可以求出小水杯的单价.问题1 用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？设小水杯的单价为x元，那么大水杯的单价为(x+5)元.知识点1 方程的定义 3(x+5)=4x. 若将小水杯的单价设为x元，你会列方程吗？3个大水杯的总价= 4个小水杯的总价. 由这个含有未知数 x 的等式可以求出小水杯的单价，进而可以求出大水杯的单价.  知识点1 方程的定义   由这个含有未知数x的等式可以求出这枚纪念币的长，进而可以求出纪念币的宽.知识点1 方程的定义 1.2x+1=0.8x+33x=4(x-5) 3(x+5)=4x观察 上面得到的这些等式有什么共同点呢？ 像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程.注意 方程必须具备两个条件：(1)是等式；(2)含有未知数. 两者缺一不可.知识点1 方程的定义   D知识点1 方程的定义  知识点1 方程的定义 溯源 汉语中“方程”一词源于讨论含多个未知数的等式的问题.我国古代数学著作《九章算术》中有专门的“方程”章，其中以一些实际应用问题为例，给出了由几个一次方程组成的方程组的解法，称为“方程术”.19世纪50年代，清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将equation(指含有未知数的等式)一词译为“方程”.知识点1 方程的定义 知识点1 方程的定义 用算术方法解题时，列出的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中只含有已知数，不含未知数；而方程是根据问题中的相等关系列出的等式，其中既含有已知数，也含有用字母表示的未知数，这为解决许多问题带来了方便通过今后的学习，你会逐步认识到：从算式到方程是数学的一大进步.知识点2 列方程 例2 根据下列问题，设未知数并列出方程：（1）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生？解：(1)设这所学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为(1-0.52)x.列得方程 0.52x-(1-0.52)x=80.相等关系是什么？女生人数-男生人数=80.知识点2 列方程 例2 根据下列问题，设未知数并列出方程：(2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5 m，扩大后的绿地面积是500 m2，求正方形绿地的边长.解： (2)设正方形绿地的边长为x m.列得方程 x(x+5)=500.x2+5x=500.相等关系是什么？x扩大后的绿地面积=长×宽.知识点2 列方程 跟踪训练 根据问题，设未知数并列出方程：甲种铅笔每支1.4元，乙种铅笔每支1.8元. 用23元钱买这两种铅笔，一共买了15支，两种铅笔各买了多少支？解：设买甲种铅笔x支，则买乙种铅笔(15-x)支. 由题意得， 1.4x+1.8(15-x)=23.甲种铅笔总价+乙种铅笔总价=23.甲种铅笔数量+乙种铅笔数量=15.准确找出相等关系是列方程的关键，一般可以从以下几个方面入手：(1) 根据周长、面积、体积等公式列方程；(2) 根据题目中的不变量确定相等关系；(3) 根据关键词确定相等关系，如和差关系通常用“一共有……”“比……多……”“比……少……”表示，倍数关系通常用“是……的几倍”表示.知识点2 列方程 知识点2 列方程 归纳 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法. 这个过程可以表示如下：知识点1 方程的概念1.［2025郑州期末］下列各式中，是方程的是( )A   ②③④⑤②④⑤知识点2 列方程 B 4.如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程为( )D       B    分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法. 方程的定义：含有未知数的等式叫作方程.方程必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！