鲁教版（五四学制）（2024）数学七年级下册 11.3 等腰三角形（第4课时 反证法）（课件）

第十一章 三角形的证明及其应用3 等腰三角形第4课时 反证法 学习目标1.了解反证法的概念及其基本步骤，并会用反证法证明简单的命题。（重点）2.结合实例体会反证法的含义。（难点）情境导入1.等边三角形是怎样定义的？复习回顾三条边相等的三角形,叫作等边三角形。2.等腰三角形有哪些性质和推论？（1）等边三角形的三边都相等；（2）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；（3）各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等；（4）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的高（中线、对应的角平分线）所在的直线。新知引入知识点 反证法已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E。求证：△AED是等腰三角形。证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS),∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,∴AE=DE(等角对等边）,∴ △AED是等腰三角形。小明说,在一个三角形中，如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等。你认为这个结论成立吗?如果成立,你能证明它吗?即在△ABC中,如果∠B≠∠C,那么AB≠AC。尝试·思考 如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时, AB与AC要么相等,要么不相等。 假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”定理可得∠B=∠C, 但已知条件是 ∠B≠∠C.“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.小明是这样想的:你能理解他的推理过程吗? 小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法(reduction to absurdity)。反证法是一种重要的数学证明方法。在解决某些问题时，它常常会有出人意料的作用。思考·交流 例题示范例 用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设(　　)A．一个三角形中至少有两个钝角B．一个三角形中至多有两个钝角C．一个三角形中至少有一个钝角D．一个三角形中没有钝角A随堂练习1.如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =10，则BC 的长为 。52.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = 。13.下列命题中，宜用反证法证明的是(　　)A．等腰三角形两腰上的高相等B．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形C．两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行D．全等三角形的面积相等C4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AM的长为15 cm，求BC的长。 拓展提升1.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC = 。52.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则AB=______。83.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F。(1)求∠F的度数；解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°。∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°。∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°。∴∠F＝90°－∠EDC＝30°。(2)若CD＝2，求DF的长。解：∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴ED＝CD＝2。∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4。归纳小结1.提出假设:先假设命题的结论不成立;即结论的反面成立；2.推出矛盾:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；3.肯定结论:由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。反证法的一般步骤: