鲁教版（五四学制）（2024）数学七年级下册 11.5 线段的垂直平分线（第1课时 线段垂直平分线的性质定理、判定定理）（课件）

5 线段的垂直平分线第1课时 线段垂直平分线的性质及其逆定理第十一章 三角形的证明及其应用学习目标1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法。（重点）2.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题。（难点）回顾复习我们曾经利用折纸的方法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等。你能证明这一结论吗？创设情境已知：如图，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点。求证：PA=PB。新知引入知识点1 线段垂直平分线的性质分析:(1)要证明PA=PB，只需要证△PCA≌△PCB。证明：∵MN⊥AB，∴∠ PCA=∠ PCB=90°。∵AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)。∴PA=PB。你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?如果是，请你证明它。逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。尝试·思考教材例题例 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC。求证：直线AO垂直平分线段BC。证明：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。同理，点O在线段BC的垂直平分线上。∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）。利用三角形的全等证明新知引入知识点2 线段垂直平分线的画法已知:线段AB，如图。求作:线段AB的垂直平分线。作法:用尺规作线段的垂直平分线。1.分别以点A和B为圆心，以大于AB/2长为半径作弧，两弧交于点C和点D。2. 作直线CD。则直线CD就是线段AB的垂直平分线。请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，并与同伴进行交流。温馨提示:因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点。例题示范例 如图，A，B，C为某公园的三个景点，景点A和景点B之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭P，使景点B、景点C到凉亭P的距离之和等于景点B到景点A的距离，请用直尺和圆规在所给的图中作出点P(写出作法，不写证明，保留作图痕迹) 。解:如图，连接AC，作线段AC的垂直平分线MN，直线MN交AB于点P，点P即为所求的点。随堂练习1.下列关于线段的垂直平分线的说法中，正确的有(　　)①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。A．1个 B．2个 C．3个 D．0个C2.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线DE交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为(　　)A．25°　 B．30°　 C．35°　 D．40°B3.如图，AF平分∠BAC，P是AF上任意一点，过点P向AB，AC作垂线PD，PE，垂足分别为点D，E，连接DE。求证：AF垂直平分DE。证明：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC。∵AC＋AD＋DC＝14 cm，∴AC＋AD＋BD＝14 cm，即 AC＋AB＝14 cm。又∵AB－AC＝2 cm，设AB＝x cm，AC＝y cm。则x＋y＝14，x－y＝2，解得x＝8，y＝6。∴AB的长为8 cm，AC的长为6 cm。拓展提升1.如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线。下列说法正确的是(　　)A． l是线段EH的垂直平分线B．l是线段EQ的垂直平分线C．l是线段FH的垂直平分线D．EH是l的垂直平分线A2.如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段(　　) 的垂直平分线上。A．AB B．AC C．BC D．不确定B3.如图，MP和NQ分别垂直平分AB和AC。(1)若△APQ的周长为12，求BC的长；解：（1）因为MP和NQ分别垂直平分AB和AC，所以AP＝BP，AQ＝CQ。所以△APQ的周长为AP＋PQ＋AQ＝BP＋PQ＋CQ＝BC。因为△APQ的周长为12，所以BC＝12。解：由(1)知，AP＝BP，AQ＝CQ，所以∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ。因为∠BAC＝105°，所以∠BAP＋∠CAQ＝∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝180°－105°＝75°。所以∠PAQ＝∠BAC－(∠BAP＋∠CAQ)＝105°－75°＝30°。(2)若∠BAC＝105°，求∠PAQ的度数。归纳小结线段垂直平分线的性质和判定性质判定内容作用内容作用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等见垂直平分线，得线段相等到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上判断一个点是否在线段的垂直平分线上