鲁教版（五四学制）（2024）数学七年级下册 11.6 角平分线（第2课时 三角形三条角平分线的性质）（课件）

第十一章 三角形的证明及其应用6 角平分线第2课时 三角形三条角平分线的性质 学习目标1.能够证明三角形的三条角平分线交于一点且这一点到三条边的距离相等。（重点）2.能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理。（难点）情境导入复习回顾之前我们学习了三角形三边上的垂直平分线的性质，你还记得它的内容吗？ 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。上节课我们学习了角平分线，三角形三个角的角平分线会有类似的性质吗？画一画，看一看。创设情境剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线。结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点。你能证明这个命题吗?观察这三条垂直平分线，你发现了什么?新知引入知识点 三角形三个角平分线的性质命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点。基本想法是这样的:我们知道，两条直线相交只有一个交点。要想证明三条直线相交于一点，只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可。这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理。∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB (或AB的中点)。同理，PB=PC。∴PA=PC。∴点P在线段AB的垂直平分线上。∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于一点。如图，在△ABC中，设AB，BC的垂直平分线相交于点P，连接AP，BP，CP。想一想:若作出∠P的角平分线，结论是否也可以得证?知识拓展 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三条角平分线，说说你的发现。这个点叫作三角形的内心。都是相交与三角形内部的一点。教材例题例1 已知：如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是D，E，F。求证： 点P在∠A的平分线上，且PD=PE=PF。 证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。同理，PE=PF，∴PD=PE=PF。∴点P在∠A的平分线上(在一个角内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上)。   （2）证明：在Rt△ACD和Rt△AED中，∵CD=DE，AD=AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)。∴AC=AE。∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD。随堂练习1.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(　　)A．点M B．点N C．点P D．点QA2.如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝(　　)A．30° B．35° C．45° D．60°B（易错题）3.如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？（ ）A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处l1l2l3D4.如图，已知BF与CE相交于点D，BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为F，E。求证：点D在∠BAC的平分线上。证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°。在△BDE和△CDF中，∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF， BD＝CD，∴△BDE≌△CDF(AAS)。∴DE＝DF。又∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴点D在∠BAC的平分线上。拓展提升1.如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是(　　)A．AF平分BC B．AF平分∠BACC．AF⊥BC D．以上结论都正确B2.如图，在△ABC中，P是BC上一点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，且PD＝PE，F是AC上一点，且∠APF＝∠PAF。下列结论中正确的是(　　)①AD＝AE；②PF∥AB；③△PEF≌△PEC。A．①②③ B．①②C．①③ D．①B3.如图，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，若BD＝CD，BE＝CF。 (1)求证：AD平分∠BAC；证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°。在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵BD＝CD，BE＝CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，故AD平分∠BAC。(2)猜想AB＋AC与AE之间的数量关系，并给予证明。解：AB＋AC＝2AE。证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD。在△AED和△AFD中，∵∠AED＝∠AFD＝90°，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴AE＝AF，∴AB＋AC＝AE－BE＋AF＋CF＝AE＋AE＝2AE。归纳小结定理:三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。