鲁教版（五四学制）（2024）数学七年级下册 11.6 角平分线（第1课时 角平分线的性质定理、判定定理）（课件）

第十一章 三角形的证明及其应用6 角平分线第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理 学习目标1.探究并掌握角平分线的性质定理。（重点）2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题。（难点）回顾复习角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。创设情境思考： 要在S区建一个集贸市场（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？（2）它到公路，铁路距离相等且离公路,铁路的交叉处400米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）新知引入知识点 角平分线的性质已知:如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。求证：PD=PE。∴△PDO≌△PEO(AAS)。∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）。证明:∵∠1=∠2， OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等。你能写出这个定理的逆命题吗?逆命题 在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。它是真命题吗?如果是，请你证明它。已知:如图，P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE。求证:OP平分∠AOB。∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，∴∠ODP=∠ OEP=90°。∵PD=PE，OP=OP，　　　∴Rt△DOP ≌ Rt△EOP(HL)。∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等) 。∴OP平分∠AOB。思考·交流教材例题例 已知:如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE=DF，求DE的长。  随堂练习1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(　　)A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边的距离相等A2.如图，BD是△ABC的角平分线，DE是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CD的长为(　　)A． 7 B．6 C．5 D．4B3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点，并证明AP＝AQ (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)。解：如图，BQ就是∠ABC的平分线。证明如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°。∴∠BPD＋∠PBD＝90°。∵∠BAC＝90°，∴∠AQP＋∠ABQ＝90°。∵BQ是∠ABC的平分线，∴∠ABQ＝∠PBD，∴∠BPD＝∠AQP。又∵∠BPD＝∠APQ，∴∠APQ＝∠AQP。∴AP＝AQ。拓展提升1.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(　　)A． PC＝PD B．∠CPO＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPO D．OC＝ODB2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，则BE的长为　　　　。43.如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC。求证： (1) AM⊥DM；证明：∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°。∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°。∴∠MAD＋∠ADM＝90°。∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM。(2) M为BC的中点。解：如图，作MN⊥AD交AD于点N。∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD。∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM＝MN，MN＝CM，∴BM＝CM，即M为BC的中点。归纳小结角平分线尺规作图属于基本作图，必须熟练掌握性质定理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等辅助线添加过角平分线上一点向两边作垂线段