鲁教版（五四学制）（2024）数学七年级下册 11.3 等腰三角形（第2课时 等腰三角形的性质和判定的综合应用）（课件）

第十一章 三角形的证明及其应用3 等腰三角形第1课时 等腰三角形的性质及判定的综合应用 学习目标1.能够灵活运用公理和等腰三角形有关性质、判定定理进行相关题目的证明，进一步发展推理能力。（重点）2.熟悉文字命题证明的一般步骤及一些简单辅助线的添加。（难点）回顾复习等腰三角形的性质等边对等角注意是在同一个三角形中。注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质。而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质。三线合一情境导入 在等腰三角形中画出一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗? 能证明你的结论吗?角平分线中线高思考·交流通过作图观察，我们可以发现：等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等. 但是我们知道，观察或度量是不够的，需要以公理和已证明的定理为基础去证明它。 例1 证明:等腰三角形两底角的平分线相等。BD=CE。已知，如图, 在△ABC中, AB=AC, BD,CE 是△ABC的角平分线。教材例题∠2= ∠ACB(已知),∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)。证明：又∵∠1= ∠ABC，∴∠1=∠2(等式性质)。在△BDC和△CEB中，∵∠ABC=∠ ACB，BC=CB，∠1=∠2，∴△BDC≌△CEB（ASA）。∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)。ACBE12尝试·思考等腰三角形两条腰上的中线相等吗？两条腰上的高呢？请证明你的结论，并写同伴进行交流。又∵CM= ，BN=　 ， 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等。BM=CN。求证:已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN 是△ABC两腰上的中线。证明：∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.∴CM=BN。在△BMC和△CNB中，∵ BC=CB,∠MCB=∠NBC, CM=BN，∴△BMC≌△CNB（SAS）。∴BM=CN。 证明: 等腰三角形两腰上的高相等。BP=CQ。求证:已知：如图,在△ABC中，AB=AC，BP，CQ是△ABC两腰上的高。证明：∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB。在△BMC与△CNB中，∵ BC=CB,∠QBC=∠PCB, ∠BQC=∠CPB，∴△BQC≌△CPB（SAS）。∴BP=CQ。还有其他的结论吗?教材例题例2 如图①，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC。AD＝AE，求证：BD＝CE。解析：(1)过A作AG⊥BC于G，根据等腰三角形的性质得出BG＝CG，DG＝EG即可证明。图①ABDGEC证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G。∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE。图①ABDGEC随堂练习1.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是(　　)A． AD＝AE B．DB＝ECC．∠ADE＝∠C D2.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，CE是AB边上的高，它们相交于点O，则图中除△ABC外一定是等腰三角形的是(　　)A．△ABD B．△ACE C．△OBC D．△OCDC拓展提升1.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为(　　)A．6 B．7 C．8 D．9D2. 已知在△ABC中，AB＝AC，点D，点E在边BC上，BD＝CE，连接AD，AE。(1)如图①，求证：AD＝AE；证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C。又∵AB＝AC，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD＝AE。2. 已知在△ABC中，AB＝AC，点D，点E在边BC上，BD＝CE，连接AD，AE。(2)如图②，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°。解：满足条件的等腰三角形有△ABE，△ACD，△DAE，△DBF。归纳小结等腰三角形两底角的平分线、两条腰上的中线、两条腰上的高相等。