鲁教版（五四学制）（2024）数学七年级下册 11.3 等腰三角形（第3课时 等边三角形）（课件）

第十一章 三角形的证明及其应用3 等腰三角形第3课时 等边三角形 学习目标1.了解等边三角形的性质和判定方法，能灵活的运用他们进行论证。（重点）2.了解等腰三角形和等边三角形之间的关系，了解它们的性质定理和判定定理之间的关系；会用等边三角形得相关性质解决简单的实际问题。（难点）回顾复习等腰三角形的性质等边对等角注意是在同一个三角形中。注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质。而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质。三线合一等腰三角形两底角的平分线、两条腰上的中线、两条腰上的高相等。创设情境一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明你的结论，并与同伴进行交流。 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？分离拼接ACB新知引入知识点1 等边三角形的性质和判定已知：在△ABC 中，∠A=∠B=∠C。求证：△ABC是等边三角形。∵ ∠A= ∠ B,∴ AC=BC。∵ ∠ B=∠C,∴ AB=AC。∴AB=AC=BC。证明：符号语言：在△ABC 中， ∵∠A=∠B =∠C ， ∴△ABC 是等边三角形。　　等边三角形的判定定理1：　　三个角都相等的三角形是等边三角形。 　已知：在△ABC 中，AC =BC且∠A =60°。 求证： △ABC是等边三角形。证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °。∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°。∴∠A= ∠ B=∠C。∴AB=AC=BC。证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，∴∠A=60°(三角形内角和定理)。∴∠A=∠B =∠C=60°。 ∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)。已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°。求证:△ABC是等边三角形。第二种情况：有一个底角是60°。【验证】　　等边三角形的判定定理2： 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。 符号语言：在△ABC 中，∵　BC =AC，∠A =60°，∴　△ABC 是等边三角形。　　等边三角形的判定定理1： 三个角都相等的三角形是等边三角形。　　等边三角形的判定定理2： 有一个角为60°的等腰三角形。 　　判定等边三角形的方法：　　从边的角度：等边三角形的定义；　　从角的角度：等边三角形的两条判定定理。 尝试·思考（1）用两个完全相同的含 30°角的三角板，你能拼成怎样的三角形？能拼成一个等边三角形吗？新知引入由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？两个完全相同的含30°角的三角板，可以拼成一个等边三角形。知识点2 含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。还需要证明这个结论。（2）在上述拼接过程中，你得出了什么结论？请证明你的结论。证明：延长BC至点D，使CD=BC，连接AD。定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。通过上面的证明，我们可以得到以下定理。这个定理的条件有两个：（1）是在直角三角形中；（2）一个角是30°。例 3 教材例题典例示范如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F。(1)求证：AD＝CE；证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°。又∵BD＝AE，∴△BDA≌△AEC(SAS)。∴AD＝CE。(2)求∠DFC的度数。解：由(1)知△AEC≌△BDA，∴∠ACE＝∠BAD。∴∠DFC＝∠FAC＋∠ACE＝∠FAC＋∠BAD＝60°。随堂练习1. 已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm。92.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是______°。 1203.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ）A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个D4.如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数。解：∵ △ABC是等边三角形，∴∠CBA=60°。∵BD是AC边上的中线，∴∠BDA=90°, ∠DBA=30 °。∵ BD=BE，∴ ∠BDE=(180 °- ∠DBA) ÷2 =(180°-30°) ÷2=75°。∴ ∠EDA=90 °- ∠BDE=90°-75°=15°。拓展提升1.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为(　　)A．25° B．60° C．85° D．95°D2. 如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是(　　)A．180° B．220° C．240° D．300°C3.如图,已知D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点,∠EBC=∠DAC,CE∥AB。求证:△CDE是等边三角形。证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∴∠ABE+∠CBE=60°,∠CAD+∠ADC=60°。∵∠EBC=∠DAC,∴∠ABE=∠ADC。∵CE∥AB,∴∠BEC=∠ABE,∴∠BEC=∠ADC。∵BC=AC,∠EBC=∠DAC,∴△BCE≌△ACD(AAS)。∴CE=CD,∠BCE=∠ACD,即∠ECD=∠ACB=60°。∴△CDE是等边三角形。等边三角形定义底=腰性质边三边相等角三个角都等于60 °判定三边法三角法等腰三角形法归纳小结含30°角的直角三角形的性质：定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。