数学八年级下册（2024）2 一元一次不等式优质学案设计

这是一份数学八年级下册（2024）2 一元一次不等式优质学案设计，文件包含第2章第2节一元一次不等式2025-2026学年八年级下初中数学同步复习讲义北师大版2024原卷版docx、第2章第2节一元一次不等式2025-2026学年八年级下初中数学同步复习讲义北师大版2024解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共24页， 欢迎下载使用。

▉题型1 一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义：
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．
1．有下列不等式：①x≥0；②x+3≤1；③−12x＜1；④3x+y＞5；⑤x2＞1；⑥1+x3＞5−12(x−2)．其中一元一次不等式有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【解答】解：①x≥0；②x+3≤1；③−12x＜1；⑥1+x3＞5−12(x−2)都是一元一次不等式，共4个，
故选：B．
2．下列各式中，是一元一次不等式的有（ ）
①x＜5；②x（x﹣5）＜5；③1x＜5；④2x+y＜5+y；⑤a﹣2＜5，⑥x≤y3．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【解答】解：①x＜5满足“未知数的次数是1”的条件，所以是一元一次不等式，故选项符合题意；
②x（x﹣5）＜5不是一元一次不等式，故B选项不符合题意；
③1x＜5不满足“不等号左右两边为整式”的条件，所以不是一元一次不等式，故C选项不符合题意；
④2x+y＜5+y化简后2x＜5满足“只含有一个未知数”的条件，所以是一元一次不等式，故选项符合题意．
⑤a﹣2＜5满足“未知数的次数是1”的条件，所以是一元一次不等式，故选项符合题意；
⑥x≤y3不满足“只含有一个未知数”的条件，所以不是一元一次不等式，故选项不符合题意．
故选：B．
3．下列不等式，属于一元一次不等式的是（ ）
A．4＞1B．3x﹣24＜4C．x2＜2D．4x﹣3＜2y﹣1
【答案】B
【解答】解：由题意知，A中4＞1，没有未知数，不属于一元一次不等式，故不符合要求；
B中3x﹣24＜4，属于一元一次不等式，故不符合要求；
C中x2＜2，次数为2，不属于一元一次不等式，故不符合要求；
D中4x﹣3＜2y﹣1，有2个未知数，不属于一元一次不等式，故不符合要求；
故选：B．
4．如图，将两个关于x的一元一次不等式的解集表示在同一数轴上则这两个不等式的公共解集为（ ）
A．x≥﹣1B．x＞3C．﹣1≤x＜3D．x＜3
【答案】B
【解答】解：根据数轴得：不等式组的解集为x＞3，
故选：B．
5．若（m﹣2）x|m﹣1|﹣3＞6是关于x的一元一次不等式，则m＝ 0 ．
【答案】0
【解答】解：根据题意，得
|m﹣1|＝1且m﹣2≠0，
解得，m＝0．
故答案为：0．
▉题型2 解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
6．若关于x的一元一次不等式x−a2+1＞x+a的解集中每一个x的值都能使不等式1−2x2−1−5x6＞23成立，则a的取值范围是（ ）
A．a≤43B．a≥43C．a≤−43D．a≥−43
【答案】B
【解答】解：原不等式去分母可得：
x﹣a+2＞2x+2a，
﹣x＞3a﹣2，
x＜﹣3a+2；
1−2x2−1−5x6＞23，
3（1﹣2x）﹣（1﹣5x）＞4，
3﹣6x﹣1+5x＞4，
﹣x＞2，
x＜﹣2；
∵关于x的一元一次不等式的解集中每一个x的值都能使不等式1−2x2−1−5x6＞23成立，
∴﹣3a+2≤﹣2，
解得a≥43，
故选：B．
7．已知关于x，y的方程组x−3y=m−1x+y=−3m+7．若方程组的解满足x﹣y＜5，则m的最小整数值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．0D．1
【答案】A
【解答】解：x−3y=m−1①x+y=−3m+7②，
①+②得，2x﹣2y＝﹣2m+6，
∴x﹣y＝3﹣m，
∵x﹣y＜5，
∴3﹣m＜5，
解得：m＞﹣2，
∴m的最小整数值为﹣1，
故选：A．
8．不等式x﹣2＞0的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：x﹣2＞0，
x＞2，
在数轴上表示不等式的解集为：
，
故选：D．
9．数轴是认识数形结合的重要工具．如图，完整的数轴上有A、B两点，分别表示4−x2和1﹣x，且点A在点B左侧，则下列数值中符合x取值范围的是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
【答案】A
【解答】解：根据题意可知4−x2＜1−x，
解得：x＜﹣2，
∵﹣3＜﹣2
∴x的值可以是﹣3，
故选：A．
10．解不等式（组）：
（1）6x−12≤2x；
（2）2x+1＞32(x−2)≤1．
【答案】（1）x≤12；
（2）x≤12；
【解答】解：（1）6x−12≤2x，
去分母得6x﹣1≤4x，
移项得2x≤1，
系数化为1得x≤12；
（2）2x+1＞3①2(x−2)≤1②，
解不等式①得，x＞1，
解不等式②得，x≤52，
∴不等式组的解集为1＜x≤52．
▉题型3 一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
11．已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0只有一个负整数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．﹣5＜m＜﹣2B．﹣5＜m≤﹣2C．﹣5≤m＜﹣2D．﹣5≤m≤﹣2
【答案】C
【解答】解：3x﹣m+1＞0，
3x＞m﹣1，
x＞m−13，
∵只有一个负整数解，
∴﹣2≤m−13＜−1，
解得：﹣5≤m＜﹣2．
故选：C．
12．若x＝2是关于x的不等式3x﹣a+2＞0的一个解，则a可取的最大整数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【解答】解：∵x＝2是关于x的不等式3x﹣a+2＞0的一个解，
∴6﹣a+2＞0，
∴a＜8，
∴a是最大整数为7，
故选：B．
13．写出不等式﹣x﹣10＜2x的一个负整数解 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：﹣x﹣10＜2x，
﹣x﹣2x＜10，
﹣3x＜10，
x＞−103，
所以不等式的负整数解为﹣3、﹣2、﹣1，
故答案为：﹣1．
14．不等式﹣2x﹣2≤4的负整数解的个数为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：移项、合并同类项，得﹣2x≤6，
∴该不等式的解集为x≥﹣3，
故不等式﹣2x﹣2≤4的负整数解是：﹣3，﹣2，﹣1，共3个．
故答案为：3．
15．关于x的不等式2x﹣a＜1只有2个正整数解，则a的取值范围为 3＜a≤5 ．
【答案】3＜a≤5．
【解答】解：2x﹣a＜1，
2x＜a+1，
x＜a+12，
∵关于x的不等式2x﹣a＜1只有2个正整数解，
∴2＜a+12≤3，
4＜a+1≤6，
3＜a≤5，
∴a的取值范围是：3＜a≤5，
故答案为：3＜a≤5．
16．（1）解不等式：x+23≥x−2，并写出所有符合条件的正整数解．
（2）求不等式x−33−1−6x6＞−3的非正整数解．
【答案】（1）1，2，3，4；
（2）﹣1，0．
【解答】解：（1）x+23≥x−2，
x+2≥3x﹣6，
x﹣3x≥﹣6﹣2，
﹣2x≥﹣8，
x≤4，
∴不等式的正整数解为：1，2，3，4；
（2）x−33−1−6x6＞−3，
2（x﹣3）﹣（1﹣6x）＞﹣18，
2x﹣6﹣1+6x＞﹣18，
2x+6x＞﹣18+6+1，
8x＞﹣11，
x＞−118，
∴不等式的非正整数解为：﹣1，0．
▉题型4 由实际问题抽象出一元一次不等式
用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
17．某地政府计划用一块面积为50000m2的土地建造公租房小区，小区内每幢楼5层．要求只建90m2的两室两厅和60m2的一室两厅两种户型，共300套，且建楼的土地面积不超过30%．要想求出90m2的户型最多可以建多少套，则设90m2的户型可以建x套，可列不等式为（ ）
A．90x+60×（300﹣x）≤50000×30%
B．90x+60×（300﹣x）≥50000×30%
C．90×x5+60×(300−x)5≥50000×30%
D．90×x5+60×300−x5≤50000×30%
【答案】D
【解答】解：由题意得：90×x5+60×300−x5≤50000×30%．
故选：D．
18．近日，教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并在今年9月份开学开始正式施行．某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地300m2．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完30m2，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地xm2，则x满足的不等关系为（ ）
A．30+（3﹣0.5）x≤300B．300﹣30x﹣0.5≤3
C．30+（3﹣0.5）x≥300D．0.5+300﹣30x≥3
【答案】C
【解答】解：依题意得：30+（3﹣0.5）x≥300．
故选：C．
19．“x的23与5的相反数的和是非负数”用不等式表示为（ ）
A．23x−5≥0B．23x−5＞0C．23x−5≤0D．23x−5＜0
【答案】A
【解答】解：23x−5≥0，
故选：A．
20．为落实《深圳市教育局关于义务教育阶段学校实行每天一节体育课的通知》文件要求，某学校决定开设篮球、足球两门选修课，需要购进一批篮球和足球，学校的预算经费是5400元，已知篮球的单价是120元，足球的单价是90元，购买30个篮球后，最多还能购买多少个足球？设还能购买x个足球，则下列不等式中正确的是（ ）
A．90×30+120x＜5400B．90×30+120x≤5400
C．120×30+90x＜5400D．120×30+90x≤5400
【答案】D
【解答】解：根据题意得，120×30+90x≤5400，
故选：D．
21．某弹簧测力计的测量范围是0至30N，小明未注意弹簧测力计的测量范围，用弹簧测力计测量一个物体，取下物体后，发现弹簧没有恢复原状，由此可判断这个物体所受的重力x（N）范围是（ ）
A．x＜30B．x≤30C．x＞30D．x≥30
【答案】C
【解答】解：根据题意得：x＞30．
故选：C．
22．某学校组织八年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是用不超过3小时的时间平整一块面积为360m2的土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了60m2土地．设他们在剩余时间内每小时平整土地xm2，根据题意可列不等式为（ ）
A．360﹣60x﹣0.5≤3B．0.5+360﹣60x≥3
C．（3﹣0.5）x≥360﹣60D．（3﹣0.5）x≤360﹣60
【答案】C
【解答】解：由题意得：60+（3﹣0.5）x≥360，
整理的：（3﹣0.5）x≥360﹣60，
故选：C．
23．某种商品的进价为90元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打几折？设将该商品打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（ ）
A．120x≥90×5%B．120x﹣90≥90×5%
C．120×x10≥90×5%D．120×x10−90≥90×5%
【答案】D
【解答】解：设将该商品打x折销售，则售价为120×x10，
则利润为120×x10−90，
根据题意可得：120×x10−90≥90×5%，
故选：D．
24．用不等式表示“x的3倍与2的差不大于0” 3x﹣2≤0 ．
【答案】3x﹣2≤0．
【解答】解：由题意得：3x﹣2≤0，
故答案为：3x﹣2≤0．
25．“x的7倍减去1是正数”用不等式表示为 7x﹣1＞0 ．
【答案】7x﹣1＞0
【解答】解：“x的7倍减去1是正数”用不等式表示为7x﹣1＞0，
故答案为：7x﹣1＞0．
▉题型5 一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
26．某种商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售．设商店在标价的基础上打x折出售商品，那么x满足的条件是（ ）
A．750⋅x10≥500×5%B．750⋅x10≥500×(1+5%)
C．750⋅x10≤500×5%D．750⋅x10≤500×(1+5%)
【答案】B
【解答】解：根据进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，得：
750⋅x10≥500×(1+5%)，
故选：B．
27．某市的出租车收费标准是：起步价为6元（即行驶距离不超过3千米应付车费6元），超过3千米后，每增加1千米加收1.4元（不足1千米按1千米收费）．某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为17.2元，则x为（ ）千米．
A．11B．10＜x≤11C．10D．10≤x＜11
【答案】B
【解答】解：根据题意，得6+1.4（x﹣3）≤17.2，
∴x≤11，
∴10＜x≤11，
故选：B．
28．为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍．已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍．那么最省钱的购买方案是（ ）
A．买22副A种球拍和8副B种球拍
B．买21副A种球拍和9副B种球拍
C．买20副A种球拍和10副B种球拍
D．买19副A种球拍和11副B种球拍
【答案】C
【解答】解：设购买x副A型羽毛球拍，（30﹣x）副B型羽毛球拍，总费用为y元，
根据题意得：y＝40x+32（30﹣x）＝8x+960，
∵8＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵购买A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，
∴x≥2（30﹣x），
解得：x≥20，
∴当x＝20时，y取得最小值，此时30﹣x＝30﹣20＝10（副），
∴最省钱的购买方案是：购买20副A型羽毛球拍和10副B型羽毛球拍．
故选：C．
29．为了开展好“招远市城市卫生专项”行动，某单位需要购买分类垃圾桶8个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶50元/个，B型分类垃圾桶55元/个，总费用不超过415元，则不同的购买方式有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【答案】C
【解答】解：设购买x个A型分类垃圾桶，则购买（8﹣x）个B型分类垃圾桶，
依题意得：50x+55（8﹣x）≤415，
解得：x≥5，
又∵x，（8﹣x）均为非负整数，
∴x可以为5，6，7，8，
∴共有4种购买方式．
故选：C．
30．两条纸带，较长的一条为23cm，较短的一条为15cm．把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是（ ）cm．
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【解答】解：又题意可设剪下的长度为x，
则23﹣x≥2（15﹣x）
从而x≥7．
故选：B．
31．两条纸带，较长的一条长23cm，较短的一条长15cm．把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
【答案】B
【解答】解：设剪下的长度是xcm，
根据题意得：23﹣x≥2（15﹣x），
解得：x≥7，
∴x的最小值为7，
∴剪下的长度至少是7cm．
故选：B．
32．某种商品进价为700元，标价为1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于10%，则至多可以打 7 折．
【答案】7
【解答】解：设该商品打x折出售，
由题意得，1100×x10−700≥700×10，
解得x≥7，
∴至多可以打7折，
故答案为：7．
33．某商店以单价260元购进一件商品，出售时标价329元，由于销售不好，商店准备降价出售，但要保证利润率不低于10%，那么最多可降价 43 元．
【答案】43．
【解答】解：设降价x元出售该商品，
则329﹣x﹣260≥260×10%，
解得x≤43．
故该店最多降价43元出售该商品．
故答案为：43．
34．一家游泳馆开展冬季促销活动，方案有两种：
设小明计划这个冬季去游泳x次（其中x为正整数）．
（1）若x＞30时，选择方案①的总费用为 （20x+280） 元，选择方案②的总费用为 （18x+360） 元；
（2）请根据x的范围讨论小明选择哪种方案更优惠？
（3）方案一比方案二最多优惠 20 元．
【答案】（1）20x+280；18x+360；
（2）当1≤x＜28时，选方案②；当x＝28或x＝40时两方案相同；当28＜x＜40时，选方案①，当x＞40时选方案②；
（3）20．
【解答】解：（1）方案①：会员证280元+每次20元，
∴x次数，总费用为（20x+280）元；
方案②：前30次费用30×30＝900元+超过30次部分（x﹣30次），每次30×0.6＝18元，
∴总费用为[900+18（x﹣30）]＝（18x+360）元；
故答案为：（20x+280）；（18x+360）；
（2）①当x≤30时，方案①费用：20x+280；
方案②费用：30x．
令20x+280＝30x，
∴x＝28．
当1≤x＜28时，20x+280＞30x，方案②更优惠；
当x＝28时，20x+280＝30x，两种方案费用相同；
当28＜x≤30时，20x+280＜30x，方案①更优惠；
②当x＞30时，方案①费用：20x+280；方案②费用：18x+360；
令20x+280＝18x+360，
∴x＝40．
当30＜x＜40时，20x+280＜18x+360，方案①更优惠；
当x＝40时，20x+280＝18x+360，两种方案费用相同；
当x＞40时，20x+280＞18x+360，方案②更优惠；
（3）方案一比方案二最多优惠的金额优惠额＝方案②费用﹣方案①费用，需找优惠额的最大值：
当x≤28时，方案②更便宜，优惠额为负（无优惠）；
当28＜x≤30时，优惠额＝30x﹣（20x+280）＝10x﹣280（随x增大而增大），x＝30时，优惠额＝10×30﹣280＝20元；
当x＞30时，优惠额＝（18x+360）﹣（20x+280）＝﹣2x+80（随x增大而减小），最大值小于20元．
综上，方案一比方案二最多优惠20元．
故答案为：20．
35．某商店购进一批红茶和绿茶，红茶的进价为70元/盒，绿茶的进价为90元/盒．一盒红茶的售价比一盒绿茶的售价低20元．小明从商店购买1盒红茶与4盒绿茶共花费580元．
（1）求红茶和绿茶每盒的售价分别是多少元；
（2）春节期间红茶按售价的八折销售，小颖欲购买红茶、绿茶共10盒，若要商店的获利不低于240元，小颖最多可购买多少盒红茶？
【答案】（1）红茶每盒的售价是100元，绿茶每盒的售价是120元；
（2）小颖最多可购买3盒红茶．
【解答】解：（1）设红茶每盒的售价是x元，绿茶每盒的售价是y元，
根据题意得：y−x=20x+4y=580，
解得：x=100y=120．
答：红茶每盒的售价是100元，绿茶每盒的售价是120元；
（2）设小颖购买m盒红茶，则购买（10﹣m）盒绿茶，
根据题意得：（100×0.8﹣70）m+（120﹣90）（10﹣m）≥240，
解得：m≤3，
∴m的最大值为3．
答：小颖最多可购买3盒红茶．
36．排球是中考体育的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”．学校现决定购买A、B两种品牌的排球．据了解，购买2个A种品牌的排球和1个B种品牌的排球需210元，购买1个A种品牌的排球和2个B种品牌的排球需180元．
（1）求A、B两种品牌排球的单价分别为多少元？
（2）学校决定购买A，B两种品牌的排球共50个，且购买A种品牌排球的数量不少于购买B种品牌的排球数量的一半，问学校购买A种和B种品牌排球各多少个时花费最少？
【答案】（1）A单价80元，B单价50元；
（2）买17个A、33个B时花费最少．
【解答】解：（1）由题意，设A种品牌排球的单价为x元，B种品牌排球的单价为y元，
∴2x+y=210x+2y=180．
∴x=80y=50．
答：设A种品牌排球的单价为80元，B种品牌排球的单价为50元；
（2）由题意，设购买A种品牌排球m个，则购买B种品牌排球（50﹣m）个，
∴m≥12(50−m)．
∴m≥503≈16.67．
∵m为排球个数是正整数，
∴m的最小值为17，且m≤50．
设购买排球的总花费为W元，
∴W＝80m+50（50﹣m）＝30m+2500．
∵30＞0，
∴W随m的增大而增大．
∴要使总花费最少，需取m的最小整数值17，此时购买B种排球数量：50﹣17＝33（个）最少花费：W＝30×17+2500＝3010（元）．
∴购买A种品牌排球17个，B种品牌排球33个时，花费最少．
题型1 一元一次不等式的定义
题型2 解一元一次不等式
题型3 一元一次不等式的整数解
题型4 由实际问题抽象出一元一次不等式
题型5 一元一次不等式的应用
方案
优惠方案
方案①
办会员证，每张280元，只限本人使用，凭会员证购买入场券每张20元
方案②
前30次按照每次原价30元收费，超过30次后每次按原价的六折收费