数学八年级下册（2024）第二章 不等式与不等式组3 一元一次不等式与一次函数精品导学案

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▉题型1 一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（−bk，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞−bk，不等式kx+b＜0的解为：x＜−bk；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜−bk，不等式kx+b＜0的解为：x＞−bk．
1．如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（ ）
A．x≥4B．x≤4C．x≥1D．x≤1
【答案】D
【解答】解：因为一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），
所以不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1，
故选：D．
2．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，且与x轴交于点（﹣2，0），则不等式kx+b＜0的解集是（ ）
A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞0D．x＜0
【答案】A
【解答】解：由图象可得，
当x＝﹣2时，y＝0，y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b＜0的解集为x＞﹣2，
故选：A．
3．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x＞1D．x＜1
【答案】C
【解答】解：根据图象得，当x＞1时，y1＞y2，
即：关于x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
故选：C．
4．已知一次函数y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：根据函数图象可知，当x＜﹣1时，一次函数y＝﹣x+2的图象在y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象的下方，
∴当x＜﹣1时，﹣x+2＞mx+n，即不等式﹣x+2＞mx+n的解集为x＜﹣1，
在数轴上表示为：
．
故选：C．
5．已知直线y1＝2x与直线y2＝﹣2x+4相交于点A．有以下结论：①点A的坐标为A（1，2）；②当x＝1时，两个函数值相等；③当x＜1时，y1＜y2；④直线y1＝2x与直线y2＝2x﹣4在平面直角坐标系中的位置关系是平行．其中正确的是（ ）
A．①③④B．②③C．①②③④D．①②③
【答案】C
【解答】解：联立y1＝2x，y2＝﹣2x+4得y=2xy=−2x+4，
解得：x=1y=2，
∴点A的坐标为（1，2），故①正确；
当x＝1时，y1＝2，y2＝2，故②正确；
如图：当x＜1时，y1＜y2故③正确；
直线y1＝2x与直线y2＝2x﹣4平行，故④正确；
故选：C．
6．若（﹣3，m），（2，n）为一次函数y＝kx+b图象上两点，且m＞n，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1B．k＞1C．k＞0D．k＜0
【答案】D
【解答】解：∵（﹣3，m），（2，n）为一次函数y＝kx+b图象上两点，且m＞n，﹣3＜2，
∴y随着x的增大而减小，
∴k＜0；
故选：D．
7．一次函数y＝﹣3x+6的图象与x轴交于点（2，0），与y轴交于点（0，6），根据图象可知0＜﹣3x+6＜6的解集为（ ）
A．x＜0B．0＜x＜2C．2＜xD．x＜0，x＞2
【答案】B
【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+6的图象与x轴交于点（2，0），与y轴交于点（0，6），
∴根据图象可知0＜﹣3x+6＜6的解集为0＜x＜2，
故选：B．
8．如图，直线y＝﹣2x+2与直线y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点A（m，4），则关于x的不等式﹣2x+2＜kx+b的解集为（ ）
A．x＞﹣1B．x＜﹣2C．x＜﹣1D．x＞﹣2
【答案】A
【解答】解：把A（m，4）代入y＝﹣2x+2得﹣2m+2＝4，解得m＝﹣1，
当x＞﹣1时，﹣2x+2＜kx+b．
故选：A．
9．如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当kx+b＜13x时，x的取值范围为（ ）
A．x＜0B．x＜3C．x＞3D．x＜1
【答案】C
【解答】解：由条件可知直线y=13x经过点A（3，1），
∵直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），
∴点A（3，1）为直线y＝kx+b（k＜0）和直线y=13x的交点，
由图象可知：当kx+b＜13x时，x的取值范围为x＞3；
故选：C．
10．如图，已知一次函数y1＝x+b与正比例函数y2＝kx的图象交于点P．四个结论：①k＞0；②b＞0；③当x＜0时，y2＞0；④当x＜﹣2时，kx＜x+b．其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．③④D．①④
【答案】B
【解答】解：∵直线y2＝kx经过第二、四象限，
∴k＜0，故①错误；
∵y1＝x+b与y轴交点在正半轴，
∴b＞0，故②正确；
∵正比例函数y2＝kx经过原点，且y随x的增大而减小，
∴当x＜0时，y2＞0；故③正确；
当x＜﹣2时，正比例函数y2＝kx在一次函数y1＝x+b图象的上方，即kx＞x+b，故④错误．
故选：B．
11．要使函数y＝（2m﹣3）x+（3n+1）的图象经过x、y轴的正半轴，则m与n的取值应为（ ）
A．m＞32，n＞−13B．m＞3，n＞﹣3
C．m＜32，n＜−13D．m＜32，n＞−13
【答案】D
【解答】解：∵函数y＝（2m﹣3）x+（3n+1）的图象经过x、y轴的正半轴，
∴得到2m−3＜03n+1＞0，
解得：m＜32，n＞−13．
故选：D．
12．如图，已知一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）．现有下列四个结论：①a＞0；②mn＞0；③方程ax+2＝mx+n的解是x＝﹣2；④若mx+n＜ax+2＜0，则﹣2＜x＜−23．其中正确的结论个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解答】解：∵一次函数y＝ax+2的图象经过第一、三象限，
∴a＞0，所以①正确；
∵一次函数y＝mx+n的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交，
∴m＞0，n＜0，
∴mn＜0，所以②错误；
∵一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4），
∴x＝﹣2时，ax+2＝mx+n，所以③正确；
把（﹣2，﹣4）代入y＝ax+2得﹣4＝﹣2a+2，
解得a＝3，
∴一次函数y＝ax+2的解析式为y＝3x+2，
当y＝0时，3x+2＝0，
解得x=−23，
∴一次函数y＝ax+2与x轴的交点坐标为（−23，0），
∴当x＜−23时，ax+2＜0，
∴当﹣2＜x＜−23时，mx+n＜ax+2＜0，所以④正确．
故选：B．
13．如图是函数y＝ax+1的图象，则不等式ax+1＜0的解集是（ ）
A．x＜﹣2B．x＞﹣2C．x＜﹣1D．x＞﹣1
【答案】A
【解答】解：由函数图象可知，一次函数y＝ax+1的图象经过点（﹣2，0），
∴不等式ax+1＜0的解集是x＜﹣2．
故选：A．
14．如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式2x+m＜﹣x﹣2的解集为（ ）
A．x＞﹣4B．x＜﹣4C．x＜2D．x＞2
【答案】C
【解答】解：把P（n，﹣4）代入y＝﹣x﹣2得：﹣n﹣2＝﹣4，
解得n＝2，
根据图象可得2x+m＜﹣x﹣2的解集为x＜2，
故选：C．
15．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y=13x都经过点A（3，1），当kx+b＜13x时，x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x＜1D．x＞1
【答案】A
【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y=13x都经过点A（3，1），
∴当x＞3时，kx+b＜13x．
故选：A．
16．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x＜3D．x＞3
【答案】B
【解答】解：根据图象可得：不等式2x﹣1＞x+b的解集为：x＞2，
故选：B．
17．如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，2）则关于x的不等式kx+b＜2解集为（ ）
A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x＞2D．x＜2
【答案】A
【解答】解：由图中可以看出，当x＞﹣3时，kx+b＜2，
故选：A．
18．已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（3，0），且y随自变量x的增大而增大，则关于x的不等式kx+b≥0的解集是（ ）
A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3
【答案】A
【解答】解：∵y随自变量x的增大而增大，
∴当x≥3时，y≥0，
即关于x的不等式kx+b≥0的解集是x≥3．
故选：A．
19．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝2x的图象过点A，则不等式2x≤kx+b的解集为（ ）
A．x≤﹣1B．x≤﹣2C．x≥1D．﹣2≤x＜﹣1
【答案】A
【解答】解：由图象可知：正比例函数y＝2x和一次函数y＝kx+b（k≠0）的图的交点是A（﹣1，﹣2），
∴不等式2x≤kx+b的解集是x≤﹣1．
故选：A．
20．在平面直角坐标系中，一次函数y1＝mx+2m﹣1（m≠0）的图象为直线l，在下列结论中：
①无论m取何值，直线l一定经过某个定点；
②过点O作OH⊥l，垂足为H，则OH的最大值是5；
③若l与x轴交于点A，与y轴交于点B，△AOB为等腰三角形，则m＝1；
④对于一次函数y2＝a（x﹣3）+1（a≠0），无论x取何值，始终有y1＞y2，则m＞25．
其中正确的是 ①②④ （填写所有正确结论的序号）．
【答案】①②④．
【解答】解：①y1＝mx+2m﹣1＝m（x+2）﹣1，
当x＝﹣2时，y1＝﹣1，
∴直线l过定点（﹣2，﹣1），
∴①正确．
②∵OH⊥l，垂足为H，
∴当点H与点（﹣2，﹣1）重合时，OH最大．
此时OH=5，
∴②正确．
③在y1＝mx+2m﹣1中，当x＝0时，y＝2m﹣1，
当y＝0时，x=1m−2，
∴A（1m−2，0），B（0，2m﹣1）．
∵∠AOB＝90°，△AOB是等腰三角形，
∴OA＝OB．
∴1m−2＝2m﹣1或1m−2＝1﹣2m，
∴m＝±1或12（舍去），
∴③错误．
④一次函数y1＝m（x+2）﹣1（m≠0）的图象过定点（﹣2，﹣1），
一次函数y2＝a（x﹣3）+1（a≠0）过定点（3，1），
∵无论x取何值，始终有y1＞y2，
∴当m＜0时，若a＝m，两直线平行时，则y2＞ y1，不符合题意．
当m＞0时，经过点（﹣2，﹣1），（3，1）的直线为y3=25x−15，
∵一次函数y1＝m（x+2）﹣1（m≠0）的图象过定点（﹣2，﹣1），
∴当m＞25，若m＝a时，直线y1∥y2，不论x取何值，始终有y1＞y2，
符合题意．
∴m＞25．
∴④正确．
故答案为：①②④．
题型1 一次函数与一元一次不等式