湘教版（2024）七年级下册（2024）一元一次不等式的解法优秀导学案

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▉题型1 不等式的解集
（1）不等式的解的定义：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的定义：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（4）不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
1．若不等式mx+n＞0的解集是x＜13，则关于x的不等式nx﹣m＜0的解集是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x＞﹣3D．x＜﹣3
【答案】D
【解答】解：由mx+n＞0得：mx＞﹣n，
由题意可得：−nm=13，且m＜0，
∴m＝﹣3n，n＞0，
由不等式nx﹣m＜0得：nx＜m，
即nx＜﹣3n，n＞0，
解得：x＜﹣3，
故选：D．
2．已知ax﹣b＞0的解集为x＜−25，则不等式bx+a＞0的解集为（ ）
A．x＞52B．x＜52C．x＞−52D．x＜−52
【答案】A
【解答】解：由题意可得：a＜0ba=−25
∴b＞0，ab=−52，
解bx+a＞0得，x＞−ab，即x＞52，
故选：A．
3．已知ax﹣b＞0的解集为x＞−25，则不等式bx+a＞0的解集为（ ）
A．x＞52B．x＜52C．x＞−52D．x＜−52
【答案】B
【解答】解：由题意可得：a＞0ba=−25，
∴b＜0，ab=−52，
解bx+a＞0得，x＜−ab，即x＜52，
故选：B．
4．已知关于x的不等式（a﹣b）x＞2a+b的解集是x＜3，则关于x的不等式bx+a＜0的解集是（ ）
A．x＞4B．x＜4C．x＞﹣4D．x＜﹣4
【答案】C
【解答】解：∵关于x的不等式（a﹣b）x＞2a+b的解集是x＜3，
∴a﹣b＜0，且2a+ba−b=3，
∴a＜b，2a+b＝3（a﹣b），
∴a＜b且a＝4b，
a＝4b代入a＜b，得：4b＜b，
∴b＜0，
∵bx+a＜0，
∴bx+4b＜0，
∴x＞﹣4．
故选：C．
5．若ax﹣b＞0的解集是x＜﹣2，则bx+a＞0的解集是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x＞12D．x＜12
【答案】C
【解答】解：由题意得x＜ba，
∴ba=−2，a＜0，b＞0，
不等式bx+a＞0移项，得bx＞﹣a，
系数化为1，得x＞−ab，
即x＞12，
故选：C．
6．已知A种菌群的生长温度是t1℃的取值范围是﹣4≤t1≤5，B种菌群的生长温度t2℃的范围是﹣5≤t2≤3，将两种菌群在一个实验室培育，实验室适合的温度t℃的取值范围是 ﹣4≤t≤3 ．
【答案】﹣4≤t≤3．
【解答】解：由题意可得：
将两种菌群在一个实验室培育，实验室适合的温度t℃的取值范围是﹣4≤t≤3，
故答案为：﹣4≤t≤3．
7．一元一次不等式组x＞2x＞m+1的解集是x＞2，则m的取值范围是 m≤1 ．
【答案】m≤1．
【解答】解：∵一元一次不等式组x＞2x＞m+1的解集是x＞2，
∴m+1≤2，
m≤2﹣1，
m≤1，
故答案为：m≤1．
▉题型2 在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
8．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（ ）
A．x＜1x＞−3B．x≥1x＞−3C．x≤1x＞−3D．x≤1x＜−3
【答案】C
【解答】解：由数轴上表示的是某不等式组的解集，可得这个不等式组可以是x≤1x＞−3．
故选：C．
9．在数轴上表示不等式x≤4的解集，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：不等式x≤4的解集可表示为：
故选：B．
10．如图中数轴上表示的是哪个不等式组的解集（ ）
A．x≤−1x≥2B．x＜−1x＜2C．x＞−1x＞2D．x≥−1x≤2
【答案】D
【解答】解：由数轴可知，满足题意的只有x≥−1x≤2；
故选：D．
11．先阅读绝对值不等式|x|＜6和|x|＞6的解法，再解答问题．
①因为|x|＜6，从数轴上（如图1）可以看出只有大于﹣6而小于6的数的绝对值小于6，所以|x|＜6的解集为﹣6＜x＜6．
②因为|x|＞6，从数轴上（如图2）可以看出只有小于﹣6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以|x|＞6的解集为x＜﹣6或x＞6．
（1）|x|＜2的解集为 ﹣2＜x＜2 ，|x﹣3|＞5的解集为x＞8或x＜﹣2 ；
（2）已知关于x，y的二元一次方程组2x−y=9m+4x+4y=−8m+2的解满足|x+y|≤3，其中m是正整数，求m的值；
（3）不论x取何值，都有|x﹣1|+|x+2|﹣2t＞4成立，请直接写出t的取值范围．
【答案】（1）﹣2＜x＜2，x＞8或x＜﹣2；
（2）1、2、3；
（3）t≤−12．
【解答】解：（1）|x|＜2的解集为﹣2＜x＜2，|x﹣3|＞5的解集为x﹣3＞5或x﹣3＜﹣5，即x＞8或x＜﹣2，
故答案为：﹣2＜x＜2，x＞8或x＜﹣2；
（2）将方程组2x−y=9m+4①x+4y=−8m+2②的①+②得，
3x+3y＝m+6，
所以x+y=13m+2，
不等式|x+y|≤3，即|13m+2|≤3，
所以﹣3≤13m+2≤3，
解得﹣15≤m≤3，
因为m是正整数，
所以m的值为1、2、3；
（3）不等式|x﹣1|+|x+2|﹣2t＞4，即|x﹣1|+|x+2|＞2t+4，
因为|x﹣1|+|x+2|的最小值为1﹣（﹣2）＝3，
不论x取何值，不等式|x﹣1|+|x+2|＞2t+4成立，
所以2t+4≤3，
解得t≤−12．
▉题型3 一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义：
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．
12．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A．x+y＞0B．3＞1C．7x﹣16＜4D．3x﹣1＜2x2
【答案】C
【解答】解：A、x+y＞0含有2个未知数，不属于一元一次不等式，故本选项符合题意；
B、3＞1中没有未知数，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意；
C、7x﹣16＜4含有一个未知数x，次数为1，不等式两边是整式，属于一元一次不等式，故本选项符合题意；
D、3x﹣1＜2x2中含有一个未知数x，但未知数x的最高次数是5，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意；
故选：C．
13．下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．1＞2B．x2＞8C．2x+y≤6D．x﹣3＜0
【答案】D
【解答】解：A、该选项不是一元一次不等式，不符合题意；
B、该选项不是一元一次不等式，不符合题意；
C、该选项不是一元一次不等式，不符合题意；
D、该选项是一元一次不等式，符合题意．
故选：D．
14．下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．1x+1＞0B．x2≥4C．x−52≤1D．2x+y＜﹣3
【答案】C
【解答】解：A中1x不是整式，不符合题意，
B中x的次数为2，不符合题意，
C符合一元一次不等式的定义，符合题意，
D中含有2个未知数，不符合题意，
故选：C．
15．下列各式中是一元一次不等式的是（ ）
A．4x﹣1＞0B．3＞﹣1C．2x﹣1＞y+1D．2a+1＜1a
【答案】A
【解答】解：A、4x﹣1＞0是一元一次不等式，故符合题意；
B、3＞﹣1中不含未知数，不符合一元一次不等式定义，故不符合题意；
C、2x﹣1＞y+1有两个未知数，不符合一元一次不等式定义，故不符合题意；
D、2a+1＜1a分母含有未知数，不符合一元一次不等式定义，故不符合题意；
故选：A．
16．下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．1x+1＞0B．x2≥4C．2x+y＜﹣3D．x+52≤1
【答案】D
【解答】解：A．不等式的左边是分式，不是整式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
B．不等式是一元二次不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
C．不等式是二元一次不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
D．不等式是一元一次不等式，故本选项符合题意；
故选：D．
17．若（m﹣2）x|m﹣1|﹣3＞6是关于x的一元一次不等式，则m＝ 0 ．
【答案】0
【解答】解：根据题意，得
|m﹣1|＝1且m﹣2≠0，
解得，m＝0．
故答案为：0．
▉题型4 解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
18．若关于x，y的二元一次方程组x−3y=4m+3，x+5y=5的解满足x+y≥0，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1B．m≤﹣1C．m≥﹣2D．m≤﹣2
【答案】C
【解答】解：两方程相加可得2x+2y＝4m+8，
∴x+y＝2m+4，
∵x+y≥0，
∴2m+4≥0，
解得m≥﹣2，
故选：C．
19．将不等式3x+7≤1的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：3x+7≤1，
3x≤﹣6，
x≤﹣2，
其解集在数轴上表示如下，
，
故选：B．
20．不等式x+1≤2x﹣1的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：解不等式x+1≤2x﹣1得：x≥2，
数轴表示如下所示：
故选：A．
21．关于x，y二元一次方程组3x+y=1+mx+y=3的解满足2x+y＜1，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣2B．m＞﹣2C．m＜2D．m＞2
【答案】A
【解答】解：3x+y=1+m①x+y=3②，
①+②得：4x+2y＝4+m，
∵2x+y＜1，
∴4x+2y＜2，
∴4+m＜2，
解得：m＜﹣2；
故选：A．
22．下列哪些实数是不等式﹣2x+9≤5的解（ ）
A．0B．1C．2D．2
【答案】D
【解答】解：﹣2x+9≤5，
﹣2x≤5﹣9，
﹣2x≤﹣4，
x≥2，
故选：D．
23．已知不等式6x﹣1＞2（x+m）﹣3的解都是不等式x−52+1＜x+3的解，则m的取值范围是m≥﹣17 ．
【答案】m≥﹣17．
【解答】解：6x﹣1＞2（x+m）﹣3，
6x﹣2x＞2m﹣3+1，
4x＞2m﹣2，
x＞m−12，
x−52+1＜x+3，
解得：x＞﹣9，
∵不等式6x﹣1＞2（x+m）﹣3的解都是不等式x−52+1＜x+3的解，
∴m−12≥−9，
解得m≥﹣17，
故答案为m≥﹣17．
24．若关于x，y的二元一次方程组2x+4y=a+75x+7y=2a−5的解x，y满足x+y＞1，则满足题意的最小整数a是 16 ．
【答案】16．
【解答】解：2x+4y=a+7①5x+7y=2a−5②
②﹣①得3x+3y＝a﹣12，
∵关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足x+y＞1，
∴3x+3y＞3，
∴a﹣12＞3，
∴a＞15，
∴满足题意的最小整数a是16，
故答案为：16．
25．解不等式：2x−13＜3x−22−1，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】x＞2．
【解答】解：∵2x−13＜3x−22−1，
去分母得：2（2x﹣1）＜3（3x﹣2）﹣6，
去括号得：4x﹣2＜9x﹣6﹣6，
移项得：4x﹣9x＜﹣6﹣6+2，
合并同类项得：﹣5x＜﹣10，
系数化为1得：x＞2．
在数轴上表示解集如下：
26．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1）x−16−1＜x2；
（2）2x−14≥3x+22−1．
【答案】（1）x＞−72，见解析；
（2）x≤−14，见解析．
【解答】解：（1）去分母，得x﹣1﹣6＜3x，
移项、合并同类项，得﹣2x＜7，
系数化为1，得x＞−72，
解集在数轴上表示如图．
（2）去分母，得2x﹣1≥2（3x+2）﹣4，
去括号，得2x﹣1≥6x+4﹣4，
移项、合并同类项，得﹣4x≥1，
系数化为1，得x≤−14，
解集在数轴上表示如图．
▉题型5 一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
27．满足不等式3x﹣5＞﹣1的最小整数是（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
【答案】C
【解答】解：解不等式3x﹣5＞﹣1，
移项得：3x＞﹣1+5，
则3x＞4，
∴x＞43，
则最小的整数是2，
故选：C．
28．已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为3，则实数m的取值范围是（ ）
A．7＜m＜10B．7≤m＜10C．7＜m≤10D．7≤m≤10
【答案】B
【解答】解：解不等式得：x＞m−13，
∵不等式有最小整数解3，
∴2≤m−13＜3，
解得：7≤m＜10，
故选：B．
29．已知实数x，y满足x+3y﹣6＝0，y＞3，x＞﹣5，下列正确的是（ ）
A．满足条件x的值有两个整数
B．y＞113
C．−2＜x+y＜23
D．−263＜x−y＜−6
【答案】D
【解答】解：由条件可知y=6−x3，
∵y＞3，
∴6−x3＞3，
解得：x＜﹣3，
∴﹣5＜x＜﹣3，
∴满足条件x的值有﹣4一个整数解，故A不正确；
由条件可知x＝6﹣3y＞﹣5，
∴y＜113，故B不正确；
由条件可知x+y＝6﹣2y，
∵3＜y＜113，
∴−43＜x+y＜0，
∴−2＜x+y＜23不符合题意，故C不正确；
∵x+3y﹣6＝0，
∴x﹣y＝6﹣4y，
∵3＜y＜113，
∴−263＜x−y＜−6，故D正确，
故选：D．
30．关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解，则a的取值范围为（ ）
A．﹣5＜a＜﹣3B．﹣5≤a＜﹣3C．﹣5＜a≤﹣3D．﹣5≤a≤﹣3
【答案】C
【解答】解：解不等式2x+a≤1得：x≤1−a2，
不等式有两个正整数解，一定是1和2，
根据题意得：2≤1−a2＜3，
解得：﹣5＜a≤﹣3．
故选：C．
31．已知关于x的不等式2（x﹣a）≤x+3的正整数解有3个，则a的取值范围是 0≤a＜12 ．
【答案】0≤a＜12．
【解答】解：原不等式去括号得2x﹣2a≤x+3，
解得：x≤2a+3，
由条件可知3≤2a+3＜4，
解得：0≤a＜12，
故答案为：0≤a＜12．
题型1 不等式的解集
题型2 在数轴上表示不等式的解集
题型3 一元一次不等式的定义
题型4 解一元一次不等式
题型5 一元一次不等式的整数解