第1章第5节 角平分线 2025-2026学年八年级下初中数学同步复习讲义（北师大版2024）

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第1章第5节 角平分线▉题型1 角平分线的定义（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．1．下列说法中正确的是（　　）A．单项式xy2z的系数为1，次数是4B．若AP＝BP，则点P是线段AB的中点C．若|a|＝﹣a，则a一定是负数D．若∠AOC=12∠AOB，则射线OC是∠AOB的平分线【答案】A【解答】解：A．单项式xy2z的系数为1，次数是4，该选项正确，符合题意；B．如图：若AP＝BP，则点不是线段AB的中点，故该选项错误，不符合题意；C．若|a|＝﹣a，则a≤0，a为0或负数，故该选项错误，不符合题意；D．如图，若∠AOC=12∠AOB，则射线OC不是∠AOB的平分线，故该选项错误，不符合题意；故选：A．2．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，则∠BOC的大小是（　　）A．60°B．40°C．35°D．30°【答案】D【解答】解：∵OC平分∠AOB，∴∠BOC=12∠AOB，∵∠AOB＝60°，∴∠BOC=12×60°＝30°．故选：D．3．如图，一艘轮船行驶在B处，小岛A在B处的北偏西50°，点M在正西方向上，已知BM平分∠ABC，则∠ABC的度数是（　　）A．80°B．60°C．100°D．120°【答案】A【解答】解：一艘轮船行驶在B处，小岛A在B处的北偏西50°，点M在正西方向上，∵小岛A在B处的北偏西50°，∴∠ABM＝40°，又∵BM平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABM＝80°；故选：A．4．下列说法正确的是（　　）A．两点之间直线最短B．用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大C．将一个角分成两个角的射线叫角的平分线D．直线l经过点A，那么点A在直线l上【答案】D【解答】解：（1）对于A选项，直线没长度，故A错误．（2）放大镜能够把一个图形放大，不能够把一个角的度数放大，故B错误．（3）对于C选项，没有提到所分角的相等，故C错误．（4）直线过A点，则A一定在直线上．综上可得只有D正确．故选：D．5．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为（　　）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】C【解答】解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∴∠COD=12∠COE，∠BOC=12∠AOC，又∵∠AOB＝40°，∠COE＝60°，∴∠BOC＝40°，∠COD＝30°，∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°+30°＝70°．故选：C．6．如图，∠AOD＝75°，∠COD＝30°，若OB平分∠AOC，则∠AOB＝（　　）A．22.5°B．25°C．30°D．3.5°【答案】A【解答】解：∵∠COD＝30°，∠AOD＝75°，∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝45°，∵OB平分∠AOC，∴∠AOB=12∠AOC=22.5°，故选：A．7．如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC．若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　）A．76°B．74°C．64°D．52°【答案】A【解答】解：∵OD平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠1＝2×52°＝104°，∴∠2＝180°﹣∠AOC＝76°．故选：A．8．下列说法正确的有（　　）①多项式﹣a2b+2a2b2+ab﹣2是三次四项式；②数轴上表示+a的点一定在原点的右边；③连接两点之间的线段，叫做两点间的距离；④如果线段AB＝BC，则点B是线段AC的中点；⑤38°15′＝38.25°；⑥若∠AOB＝2∠AOC，则OC是∠AOB的平分线．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解答】解：①多项式﹣a2b+2a2b2+ab﹣2中最高次项2a2b2的次数为4，则该多项式是四次四项式，①错误，不符合题意；②当a＜0时，+a表示负数，点在原点左边，②错误，不符合题意；③两点间的距离是线段的长度，不是线段本身，③错误，不符合题意；④当A，B，C三点不共线时，即使AB＝BC，点B也不是线段AC的中点，④错误，不符合题意；⑤15′＝（15÷60）°＝0.25°，则38°15′＝38.25°，⑤正确，符合题意；⑥若OC不在∠AOB内部，则即使∠AOB＝2∠AOC，OC也不是角平分线，⑥错误，不符合题意；故选：B．9．将一副含30°和45°的直角三角尺按如图所示的方式放置，若CM平分∠ACD，CN平分∠BCE，则∠MCN的度数是（　　）A．15°B．22.5°C．30°D．45°【答案】C【解答】解：设∠ACM＝α，∵CM平分∠ACD，∴∠ACD＝2α，∵∠ECD＝90°，∠BCA＝30°，∴∠BCE＝∠ECD+∠ACD+∠BCA＝90°+2α+30°＝120°+2α，∵CN平分∠BCE，∴∠BCN＝∠BCE＝（120°+2α）＝60°+α，∴∠MCN＝∠BCN﹣∠ACM﹣∠BCA＝60°+α﹣α﹣30°＝30°．故选：C．10．如图OB是∠AOC内部的一条射线，把三角尺的角的顶点放在点O处，转动三角尺，当三角尺的边OD平分∠AOB，三角尺的另一边OE也正好平分∠BOC，则∠AOC的度数为（　　）A．115°B．120°C．130°D．135°【答案】B【解答】解：由已知条件可知：∠EOB+∠BOD＝60°，∵OD平分∠AOB，OE也正好平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠EOB，∠AOB＝2∠BOD，∵∠AOC＝∠BOC+∠AOB，∴∠AOC＝2∠EOB+2∠BOD＝2（∠EOB+∠BOD）＝2×60°＝120°，故选：B．11．下列说法：其中正确的说法是（　　）①单项式5πx2y33的次数是6；②如果AC＝BC，那么C是线段AB的中点；③已知∠AOB为锐角，如果∠AOP=12∠AOB，那么射线OP是∠AOB的平分线；④从一个锐角的顶点出发，在它的内部引5条射线后，一共可得21个锐角；⑤2时40分，时针与分针的夹角为160°．A．①②B．②③C．④⑤D．③⑤【答案】C【解答】解：单项式5πx2y33的次数是2+3＝5，故①不符合题意；如果A，B，C在一条直线上，AC＝BC，那么C是线段AB的中点，故②不符合题意；∵∠AOB为锐角，∴∠AOP=12∠AOB=12×40°=20°，∠AOQ=12∠AOC=12×60°=30°，且OP在∠AOB的内部，∴射线OP是∠AOB的平分线，故③不符合题意；从一个锐角的顶点出发，在它的内部引5条射线后，一共可得：1+2+3+4+5+6＝21（个）锐角，故④符合题意；2时4（0分），时针与分针的夹角为：30°×5+13×30°=160°，故⑤符合题意；综上所述，正确的说法是④⑤．故选：C．12．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠EOC＝90°．下列结论错误的是（　　）A．若∠BOC＝47°40'，则∠AOC＝132°20'B．若∠BOC＝47°40'，则∠AOE＝42°20'C．若∠EOD＝25°则∠AOE＝50°D．若∠EOD＝25°，则∠BOC＝50°【答案】C【解答】解：若∠BOC＝47°40'，则∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣47°40'＝132°20'，故A选项正确，不符合题意；若∠BOC＝47°40'，∴∠AOC＝132°20'，∵∠EOC＝90°，则∠AOE＝∠AOC﹣∠EOC＝42°20'，故B选项正确，不符合题意；若∠EOD＝25°，∵∠EOC＝90°，∴∠COD＝∠EOC﹣∠EOD＝65°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠COD＝130°，∴∠AOE＝∠AOC﹣∠EOC＝130°﹣90°＝40°，故C选项错误，符合题意；若∠EOD＝25°，∴∠COD＝90°﹣∠EOD＝65°，∴∠AOC＝2∠COD＝130°，则∠BOC＝180°﹣∠AOC＝50°，故D选项正确，不符合题意，故选：C．13．如图，点O为线段AD外一点，M，C，B，N为AD上任意四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论：①以O为顶点的角有15个；②若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD＝5∠COB，则∠MON=32(∠MOC+∠BON)；③若M为AB的中点，N为CD的中点，则MN=12(AD−CB)；④若MC＝CB，MN＝ND，则CD＝2CN．正确的是 　①②③　 ．【答案】①②③【解答】解：在①中，以OA为边的角有5个，以OM为边的角右边有4个，左边有1个，以OC为边的角右边有3个，左边有2个，所以以OA、OM、OC、OB、ON、OD为边的角各有5个，一共有5×6÷2＝15个，故①正确．在②中，如图，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，可设∠1＝∠2＝α，∠3＝∠4＝β，∠5＝m，∵∠AOD＝5∠COB，∴2α+2β+m＝5m，∴α+β＝2m．∵∠MON＝∠2+∠5+∠4＝α+β+m＝3m，32（∠MOC+∠BON）=32（∠2+∠4）=32（α+β）＝3m，∴∠MON=32(∠MOC+∠BON)，故②正确．在③中，∵M为AB的中点，N为CD的中点，∴AM=12AB，ND=12CD，∴MN＝AD﹣AM﹣ND＝AD−12（AB+CD）＝AD−12（AC+CB+CD）＝AD−12（AD+BC）=12（AD﹣BC），故③正确．在④中，∵MC＝CB，∴设MC＝CB＝x，设BN＝y，∴MN＝ND＝2x+y，∵CD＝CB+BN+ND＝3x+2y，2CN＝2（x+y）＝2x+2y，∴CD≠2CN，故④错误．综上所述，正确的①②③，故答案为：①②③．14．若∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，则∠AOC＝　60　 °．【答案】60．【解答】解：∵OC平分∠AOB，∠AOB＝120°，∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=12×120°=60°，故答案为：60．15．在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段中点的概念与角平分线的概念相似，甚至它们在题目设计上有类似之处，解题思路可以互相借鉴．（1）如图1，已知线段AB＝6，C是线段AB上的一点，M是AC的中点，N是BC的中点．①若AC＝2，则MN的长度为　3　 ；②若AC＝b，则MN的长度为　3　 ；“创新”小组的同学类比问题（1）想到了一道有关角的问题，如下：（2）如图2，已知∠AOB＝70°，在角的内部作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OM、ON．①若∠AOC＝20°，则∠MON的度数为　35°　 ；②若∠AOC＝m°，则∠MON＝　35°　 ．“领航”小组在“创新”小组的基础上提出以下两个问题：（3）①若C是直线AB上的一点，M是AC的中点，N是BC的中点，AB＝a，AC＝b，求MN的长度；②若∠AOB＝m°，∠AOC＝n°，且射线OC在∠AOB的外部，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OM、ON，求∠MON的度数？【答案】（1）①3；②3；（2）①35°；②35°；（3）①MN的长度为a2；②∠MON的度数为m°2．【解答】解：（1）①∵AB＝6，AC＝2，∴BC＝AB﹣AC＝6﹣2＝4．由条件可知MC=12AC=12×2=1，CN=12BC=12×4=2，∴MN＝MC+CN＝1+2＝3；故答案为：3．②∵AC＝b，AB＝6，∴BC＝AB﹣AC＝6﹣b．由条件可知MC=12AC=b2，CN=12BC=6−b2，∴MN=MC+CN=b2+6−b2=b+6−b2=3；故答案为：3．（2）①∵∠AOB＝70°，∠AOC＝20°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝70°﹣20°＝50°．由条件可知∠MOC=12∠AOC=12×20°=10°，∠NOC=12∠BOC=12×50°=25°，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝10°+25°＝35°；故答案为：35°；②∵∠AOC＝m°，∠AOB＝70°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝（70﹣m）°．由条件可知∠MOC=12∠AOC=m°2，∠NOC=12∠BOC=(70−m)°2，∴∠MON=∠MOC+∠NOC=m°2+(70−m)°2=m+70−m2°=35°；故答案为：35°；（3）①分三种情况讨论：如图1，当点C在线段AB上时，BC＝AB﹣AC＝a﹣b，由条件可知MC=12AC=b2，CN=12BC=a−b2，∴MN=MC+CN=b2+a−b2=a2；如图2，当点C在线段AB的延长线上时，BC＝AC﹣AB＝b﹣a，由条件可知MC=12AC=b2，CN=12BC=b−a2，∴MN=MC−CN=b2−b−a2=a2；如图3，当点C在线段BA的延长线上时，BC＝AB+AC＝a+b，由条件可知MC=12AC=b2，CN=12BC=a+b2，∴MN=CN−MC=a+b2−b2=a2；综上，MN的长度为a2．②如图，∵∠AOB＝m°，∠AOC＝n°，且OC在∠AOB外部，∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝（m+n）°．由条件可知∠MOC=12∠AOC=n°2，∠NOC=12∠BOC=(m+n)°2，∴∠MON=∠NOC−∠MOC=(m+n)°2−n°2=m°2，故∠MON的度数为m°2．16．如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF．（1）若∠BOE＝37°，则∠BOD＝　53　 °．（2）若∠BOE＝50°，①求∠AOC的度数；②求∠EOF的度数．【答案】（1）53；（2）①40°；②130°．【解答】解：（1）∵∠BOE＝37°，∠DOE＝180°﹣∠COE＝90°，∴∠BOD＝∠DOE﹣∠BOE＝53°；故答案为：53；（2）①∵∠BOE＝50°，∠DOE＝90°，∴∠BOD＝∠DOE﹣∠BOE＝40°，∴∠AOC＝∠BOD＝40°；②∵OD平分∠BOF，∴∠BOF＝2∠BOD＝80°，∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝130°．17．【问题背景】已知OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB＝3∠AOC．【问题再现】（1）如图1，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数；【问题推广】（2）如图2，∠AOB＝90°，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC﹣∠AOC＝∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM的度数；【拓展提升】（3）如图3，在∠AOC的内部作射线OP，在∠BOC的内部作射线OQ．若∠COP：∠BOQ＝1：2，求∠AOP和∠COQ的数量关系．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠AOB＝3∠AOC，∠AOB＝120°，∴∠AOC=13×120°＝40°．又∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，∴∠AOM=12∠AOC，∠AON=12∠AOB，∴∠AOM＝40°÷2＝20°；∠AON＝120°÷2＝60°，∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝60°﹣20°＝40°．（2）∵∠AOB＝90°，∠AOB＝3∠AOC，∴∠AOC＝90°÷3＝30°；∠BOC＝90°﹣30°＝60°．∴∠COD＝∠BOC﹣∠AOC＝60°﹣30°＝30°．又∵OM平分∠COD，∴∠COM=12∠COD=12×30°＝15°，∴∠BOM＝∠BOC﹣∠COM＝60°﹣15°＝45°．（3）设∠COP＝α，则∠BOQ＝2α．∵∠AOB＝3∠AOC，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝3∠AOC﹣∠BOC，∴2∠AOC＝∠BOC．∴2（∠AOP+∠COP）＝∠COQ+∠BOQ，∴2（∠AOP+α）＝∠COQ+2α，∴2∠AOP＝∠COQ．18．综合与探究问题情境：如图，将一把含30°角的直角三角板和一把含45°角的直角三角板的直角顶点叠放在点C处，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，∠CDE＝∠CED＝45°．两三角板可绕点C旋转．计算与观察：（1）①若∠BCD＝120°，则∠ACE的度数为　60°　 ；②若∠ACE＝30°，则∠BCD的度数为　150°　 ．猜想与证明：（2）猜想∠BCD与∠ACE有何数量关系？请说明理由．拓展与运用：（3）若射线CM平分∠BCD，且∠BCD：∠ACE＝4：1，直接写出∠ACM的度数．【答案】（1）①60°；②150°；（2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由：∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD，∴∠BCD+∠ACE＝180°；（3）18°．【解答】解：（1）①∵∠BCD＝120°，∠BCA＝∠ECD＝90°，∴∠DCA＝∠BCD﹣∠BCA＝120°﹣90°＝30°，∴∠ACE＝∠ECD﹣∠DCA＝90°﹣30°＝60°，故答案为：60°；②∵∠ACE＝30°，∠BCA＝∠ECD＝90°，∴∠DCA＝∠ECD﹣∠ACE＝90°﹣30°＝60°，∴∠BCD＝∠ACB+∠DCA＝90°+60°＝150°；故答案为：150°；（2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD，∴∠BCD+∠ACE＝180°；（3）∵∠BCD：∠ACE＝4：1，设∠ACE＝x°，则∠BCD＝4x°，由（2）知x+4x＝180，∴x＝36，∠BCD＝4x＝144°，∵射线CM平分∠BCD，∴∠DCM=∠BCM=12×144°=72°，∴∠ACM＝∠ACB﹣∠BCM＝90°﹣72°＝18°．19．如图①，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC＝30°时，则∠DOE的度数为　15°　 ；（2）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；（3）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变．直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系：　∠AOC＝360°﹣2∠DOE ．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由已知得∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，又∠COD是直角，OE平分∠BOC，∴∠DOE＝∠COD−12∠BOC＝90°−12×150°＝15°；（2）∠AOC＝2∠DOE；理由：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOE＝90°﹣∠DOE， 则得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠COE＝180°﹣2（90°﹣∠DOE），所以得：∠AOC＝2∠DOE； （3）∠AOC＝360°﹣2∠DOE；理由：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝2∠COE， 则得∠AOC＝180°﹣∠BOE＝180°﹣2∠COE＝180°﹣2（∠DOE﹣90°），所以得：∠AOC＝360°﹣2∠DOE； 故答案为：（1）15°；（3）∠AOC＝360°﹣2∠DOE．题型1 角平分线的定义