初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）4 线段的垂直平分线优秀学案及答案

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▉题型1 线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．50°
2．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．AC、BC两边高线的交点处
B．AC、BC两边垂直平分线的交点处
C．AC、BC两边中线的交点处
D．∠A、∠B两内角平分线的交点处
3．如图所示，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE＝40°，则∠BAC＝（ ）
A．105°B．100°C．110°D．140°
4．如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，若BD=32，DE＝2，EC=52，则AC的长为（ ）
A．322B．332C．352D．3102
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE＝AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE＝∠C；④BC＝4AD，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，已知AB＝AC，BC＝6cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，△CBD的周长为14 cm，则△ACB的周长为（ ）
A．22cmB．16cmC．17cmD．20cm
7．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP，若∠A＝75°，∠ACP＝12°，则∠ABP的度数为 ．
8．如图，依据尺规作图的痕迹，若∠ABD＝25°，则∠BDC的度数为 ．
9．如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC．若∠A＝75°，则∠BPC的度数是 ．
10．如图，△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、N，若∠BAC＝70°，则∠EAN＝ °．
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是 ．
12．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
13．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．
（1）求∠DAF的度数；
（2）若△DAF的周长为20，求BC的长．
14．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
15．如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE．
（1）求证：DE∥AC；
（2）若∠BED＝60°，试判断△AEF的形状，并说明理由．
▉题型2 作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
16．如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
17．如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OP的过程中，弧①是（ ）
A．以C为圆心，以12CD长为半径的弧
B．以C为圆心，以大于12CD长为半径的弧
C．以D为圆心，以12CD长为半径的弧
D．以D为圆心，以大于12CD长为半径的弧
18．如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（ ）
A．ED＝CDB．AC＝AEC．∠EDB＝∠CABD．∠DAC＝∠B
19．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交该角的两边于A，B两点，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，连接OC，若∠MON＝60°，则∠ACO的度数是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
20．已知线段a，求作以线段a为底的等腰直角三角形．
21．如图，已知，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2．
（1）用尺规作∠A的平分线AD．
（2）角平分线AD交BC于点D，求BD的长．
22．有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：
（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；
（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；
（3）连接AD、BC相交于点E；
（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线．
你认为他这种作法对吗？试说明理由．
题型1 线段垂直平分线的性质
题型2 作图—基本作图