数学北师大版（2024）4 线段的垂直平分线公开课课件ppt

这是一份数学北师大版（2024）4 线段的垂直平分线公开课课件ppt，共26页。PPT课件主要包含了点P是码头的位置，线段垂直平分线的性质，你能证明这一结论吗，证明∵l⊥AB，线段垂直平分线的判定，∵PAPB，答案D等内容，欢迎下载使用。
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？
如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，… 是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么？请猜想点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系．
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
将△ABC 沿直线 l 对折，由于 l 是线段 AB 的垂直平分线，因此点 A 与点 B 重合. 从而线段 PA 与线段 PB 重合，于是 PA = PB.
猜想：点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离分别相等．
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB， 点 P 在 l 上.求证：PA = PB．
∴△PCA≌△PCB (SAS)．
又 AC = CB，PC = PC，
∴∠PCA =∠PCB．
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
练一练： 1. 如图所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
它是真命题吗？你能证明吗？
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
想一想：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论
① 当点 P 在线段 AB 上时，
∴ 点 P 为线段 AB 的中点，
显然此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上；
② 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示.
∴△PAB 是等腰三角形.
过顶点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C.
∴ 底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线.
即 PC⊥AB，且 AC = BC.
∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线，
此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：∵ PA = PB，∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
例2 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
证明：∵ AB = AC，
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条直线).
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 点A 在线段 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).
证明：延长 AO 交 BC 于点 D.∵ AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO (SSS).∴∠BAO ＝ ∠CAO.∵ AB＝AC，∴ AO⊥BC.∵ OB＝OC，OD＝OD，∴ Rt△DBO≌Rt△DCO (HL).∴ BD＝CD.∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC.
如图，AD⊥BC，AB＝AC，点C在线段AE的垂直平分线上且点B，C，E三点共线，若AB＝3，BC＝4，则线段DE的长度为(　　)A．4　 B．5 C．6　 D．7
[教材P29例1] 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点，O是AD上一点，且OB＝OC，若BC＝4，则BD的长为(　　)A．1 B．2 C．3 D．4
风筝又称“纸鸢”“风鸢”“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2 000多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知AB＝AD，BC＝CD，AC＝ 90 cm，BD＝60 cm，制作这个风筝需要的布料至少为________cm2.
如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分线段AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE.(1)若AB＝6，△DEC的周长为7，求△ABC的周长；
【解】∵BD垂直平分线段AE，∴BE＝BA＝6，DA＝DE.∵△DEC的周长为7，即DE＋CE＋CD＝7，∴AD＋EC＋DC＝AC＋EC＝7.∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝AB＋BE＋EC＋AC＝6＋6＋7＝19.
(2)若∠ABD＝15°，∠C＝45°，求∠CED的度数.
由题可知MN垂直平分线段AC，∴EA＝EC.∴∠EAC＝∠C.由题可知AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.∴∠BAE＝∠CAE＝∠C.∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠CAE＋∠BAE＝3∠C＝90°.∴∠C＝30°，故①正确．∵∠AFE＝90°，∠ABC＝90°，AE平分∠BAC，∴BE＝FE.又∵AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△AFE.∴AB＝AF.∴AP垂直平分线段BF，故②正确．