北师大版（2024）八年级下册（2024）4 线段的垂直平分线第1课时教案

这是一份北师大版（2024）八年级下册（2024）4 线段的垂直平分线第1课时教案，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时

一、教学目标
1.证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力.
2.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题.
3.能用尺规做出已知线段的垂直平分线.
4.经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.

二、教学重难点
重点：证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力．
难点：能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题，能用尺规做出已知线段的垂直平分线.

三、教学过程
复习回顾
教师活动：教师提出问题，引导学生思考回答.
问题1：线段的垂直平分线具有什么特征？
预设答案：垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线.
如图，MN是线段AB的垂直平分线，交AB于点O，则MN⊥AB，且AO=OB.
问题2：等腰三角形顶角的平分线有哪些性质？
预设答案：由等腰三角形三线合一的性质可得等腰三角形的顶角平分线垂直底边，并且平分底边．
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD所在的直线即线段BC的垂直平分线 ．
设计意图：通过复习前面学习过的线段的垂直平分线相关知识，为新课
的探究学习打下基础.
探究新知
活动一：线段垂直平分线的性质定理
拿出准备好的纸，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和EB′，FB和FB′的关系.可以发现折痕EB=EB′，FB=FB′.
我们曾经用上面折纸的办法得到：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.你能证明这一结论吗？试一试.
设计意图：先让学生通过回忆折纸得出线段垂直平分线性质定理的过程，了解线段垂直平分线的特征，然后自主思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程.
教师活动：引导学生回忆之前学习的轴对称图形中关于线段平分线的知识内容.并带领学生梳理证明思路，注意强调“要证明一个图形上每一点都具有某种性质，只需在图形上任取一点作代表”.让学生写出已知、求证，并自主证明，最后再进行总结.
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是点C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA = PB.
分析：要证明PA=PB，只需证明△PCA≌△PCB.
注意：如果点P与点C重合，那么结论显然成立，因此证明过程中的点P与点C不重合.
证明：∵MN⊥AB，∴ ∠PCA=∠PCB=90 °.
∵ AC=BC，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）.
∴ PA=PB(全等三角形的对应边相等).
总结：线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
几何语言：如图，直线MN⊥AB，垂足是点C，且AC=BC，P是MN上的点，则PA=PB.
应用：经常用来证明两条线段相等.
设计意图：让学生从定理内容、几何语言、应用几个方面进行归纳总结线段垂直平分线的性质定理.
活动二：线段垂直平分线的判定定理
尝试·思考 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？请证明自己结论的正确性.
设计意图：引导学生对性质定理进行逆向思考，提出猜想，然后加以证明.这是获得新的几何结论的一种常用方法.
教师活动：引导学生运用转化的思想，先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果……那么……”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理.
预设答案：逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题.
已知：如图，线段AB，PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：∵过点P作直线MN⊥AB，垂足为点C，则PC是△PAB的高.
∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.
∴ PC是△PAB的中线(三线合一).
∴ AC=BC.
∴直线MN是线段AB的垂直平分线.
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
总结：线段垂直平分线的判定定理：
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
几何语言：如图，线段AB，PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上(即PC⊥AB且AC=CB)．
应用：经常用来证明点在直线上或直线经过某一点.
设计意图：让学生从定理内容、几何语言、定理应用几个方面进行归纳总结线段垂直平分线的判定定理.
应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【教材例题】
例1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
分析：由已知AB=AC，OB=OC，结合线段垂直平分线的判定定理，可以分别证出点A和点O为线段BC垂直平分线上的点，从而证出结论.
证明：∵AB = AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).
同理，点O在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线).
教师活动：进一步提出思考，你还有其他的证明方法吗？
方法2：
分析：可以用全等三角形证明：设AO交BC于点D，先依据基本事实SSS证明△ABO≌△ACO得到∠BAO=∠CAO，再证明△ABD≌△ACD，从而使问题得证.
证明：延长AO交BC于点D，
∵AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO(SSS).
∴∠BAO=∠CAO，
∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴BD＝CD，∠ADB=∠ADC=90°.
即直线AO垂直平分线段BC.
教师活动：引导学生对比两种证明方法，会发现使用垂直平分线的判定定理证明更加简便.
设计意图：通过解决例题让学生理解线段垂直平分线的性质定理及判定定理，注意引导学生阅读、理解题意，一题多解，培养学生的发散思维.
课堂练习
【教材练习】
教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1. 还记得用尺规作线段垂直平分线的方法吗？试用本节所学的定理解释其中的道理.
解：用尺规做出线段AB的垂直平分线.
已知：线段AB，如图.
求作：线段AB的垂直平分线.
作法：(1)分别以点A和B为圆心，以大于线段AB长度的一半为半径作弧，两弧交于点C和点D.
(2)作直线CD.则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
证明：∵AC=BC，∴点 C 在线段 AB 的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).
同理，点 D 在线段 AB 的垂直平分线上.
∴直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线(两点确定一条直线).
教师活动：进行总结说明，并提示CD与线段AB的交点就是AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点.
【自选练习】
2.如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED=_____cm；如果∠ECD=60°，那么∠EDC= °.
答案：7，60
3.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．以上都不正确
答案：A
4.如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于点E，D.
(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；
(2)若BC＝4，求△BCD的周长．
解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.
∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.
(1)∵△BCD的周长为8，∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.
(2)∵BC＝4，∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝4＋5＝9.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.