北师大版（2024）八年级下册（2024）1 分式及其基本性质优秀导学案

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▉题型1 分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是AB的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x+1x+2是分式，如果形式都不是AB的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1=1y仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
1．在2a，23a，−b2，3a+12这四个代数式中，是分式的是（ ）
A．2aB．23aC．−b2D．3a+12
【答案】A
【解答】解：A．2a是分式，故本选项符合题意；
B．23a是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
C．−b2是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
D．3a+12是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．下列式子属于分式的是（ ）
A．a2bcB．xy3C．m+n21D．35
【答案】A
【解答】解：A、a2bc是分式，故此选项符合题意；
B、xy3是整式，不是分式，故此选项不符合题意；
C、m+n21是整式，不是分式，故此选项不符合题意；
D、35是整式，不是分式，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．下列各式中：x+y2，−3ba，1x+y，x+y2，3+yπ，分式的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【解答】解：分式有：−3ba，1x+y，共2个，
故选：D．
4．在a2，3x，5π，a+ba−b，2m−1m中，是分式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：分式有3x，a+ba−b，2m−1m，共3个，
故选：C．
5．在式子1a、2xyπ、3a2b3c4、56+x、x7+y8、9x+10y中，分式的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【解答】解：1a、56+x、9x+10y这3个式子的分母中含有字母，因此是分式．
其它式子分母中均不含有字母，是整式，不是分式．
故选：B．
6．下列各式：a−b2，x+3x，5+yπ，x24，a+ba−b，1m(x−y)中，是分式的共有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解答】解：a−b2，x24，5+yπ的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
x+3x，a+ba−b，1m(x−y)分母中含有字母，因此是分式．
故选：B．
▉题型2 分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
7．下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（ ）
A．15x2B．1x2+1C．1x3+1D．x+2x
【答案】B
【解答】解：A、x＝0时分式无意义，故A错误；
B、无论x取何值，分式总有意义，故B正确；
C、当x＝﹣1时，分式无意义，故C错误；
D、当x＝0时，分式无意义，故D错误；
故选：B．
8．分式xx+1有意义的条件是（ ）
A．x＝﹣1B．x≠﹣1C．x＝0D．x≠0
【答案】B
【解答】解：由题意可知：x+1≠0，
∴x≠﹣1，
故选：B．
9．要使分式1x−2有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x＝2B．x＜2C．x＞2D．x≠2
【答案】D
【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0，
∴x≠2，
故选：D．
10．当x ≠5 时，分式1x−5有意义．
【答案】≠5
【解答】解：根据题意得：x﹣5≠0，解得：x≠5．
故答案为：≠5．
▉题型3 分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
11．如果分式x2−1x+1的值为零，那么x应为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．0
【答案】A
【解答】解：由题意得：x2−1=0x+1≠0，
解得：x=±1x≠−1，
∴x＝1．
故选：A．
12．若分式x2−9x+3的值为0，则x的值为（ ）
A．3B．3或﹣3C．﹣3D．0
【答案】A
【解答】解：根据题意，得
x2−9=0x+3≠0，即(x+3)(x−3)=0x+3≠0，
解得x＝3．
故选：A．
13．若分式x2−4x+2的值为零，则x的值为（ ）
A．2或﹣2B．2C．﹣2D．0
【答案】B
【解答】解：依题意，得
x2﹣4＝0，且x+2≠0，
解得，x＝2．
故选：B．
14．若分式|x|−1x2−3x+2的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．±1
【答案】A
【解答】解：根据题意，得|x|﹣1＝0且x2﹣3x+2≠0，
所以|x|＝1且（x﹣1）（x﹣2）≠0．
解得x＝﹣1．
故选：A．
15．分式x2−16x+4的值为0，则x的值为 4 ．
【答案】4
【解答】解：∵分式x2−16x+4的值为0，
∴x2−16=0x+4≠0，
解得x＝4．
故答案为：4．
▉题型4 分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
16．已知分式2x+nx−m（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
A．n＝4B．m＝﹣4C．a＝12D．n＝﹣8
【答案】A
【解答】解：当x＝﹣4时，分式无意义，
即﹣4﹣m＝0，
∴m＝﹣4，
当x＝4时，分式的值为零，
即2×4+n＝0，
∴n＝﹣8，
∴该分式为2x−8x+4，
令2x−8x+4=1，
解得：x＝12，即a＝12，
故选：A．
17．已知a﹣b﹣1＝0，则代数式3(a−2b)+3ba2−2ab+b2的值为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
3(a−2b)+3ba2−2ab+b2
=3a−6b+3b(a−b)2
=3a−3b(a−b)2
=3(a−b)(a−b)2
=3a−b
=31
＝3．
故答案为：3．
18．已知a+b＝﹣3ab，则ab3a+3b−ab= −110 ．
【答案】−110
【解答】解：ab3a+3b−ab=ab3(a+b)−ab，
把a+b＝﹣3ab代入分式，得
ab3a+3b−ab
=ab3(a+b)−ab
=ab−9ab−ab
=ab−10ab
=−110．
故答案为：−110．
19．若a2﹣2a﹣4＝0，则aa2+3a−4的值为 15 ．
【答案】15．
【解答】解：∵a2﹣2a﹣4＝0，
∴a2﹣2a＝4，
∴aa2+3a−4=aa2−2a+5a−4=a4+5a−4=15，
故答案为：15．
20．若分式x−1x2的值为负数，则x的取值范围是x＜1且x≠0 ．
【答案】x＜1且x≠0
【解答】解：由题意得，x2≠0，
∴x≠0，
∵x−1x2的值为负数，
∴x﹣1＜0，
∴x＜1，
所以x＜1且x≠0．
21．阅读下列材料：
我们知道，分数可分为真分数和假分数，而假分数可以转化为带分数．如：83=6+23=2+23=223．我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．如x−1x+2，x2x+1这样的分式就是假分式；再如1x−1，2x−1x2+1这样的分式就是真分式．类似的假分式也可以化为带分式．如：x−1x+2=(x+2)−3x+2=1−3x+2．
解答下列问题：
（1）分式2x是 真分式 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式x2−1x+2可以化为带分式的形式；
（3）如果x为整数，且分式2x2+5x+1的值为整数，求所有符合条件的x的值．
【答案】（1）真分式；
（2）x−2+3x+2；
（3）0或6或﹣2或﹣8．
【解答】解：（1）分式2x是真分式，
故答案为：真分式；
（2）原式=x2−4+3x+2
=x2−4x+2+3x+2
=(x+2)(x−2)x+2+3x+2
=x−2+3x+2；
（3）2x2+5x+1
=2x2−2+7x+1
=2x2−2x+1+7x+1
=2(x+1)(x−1)x+1+7x+1
=2(x−1)+7x+1，
∵x为整数，分式2x2+5x+1的值为整数，
∴x+1＝±1或±7，
解得：x＝0或6或﹣2或﹣8．
▉题型5 分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
22．如果分式2x3y2中，x，y的值都变为原来的一半，则分式的值（ ）
A．不变B．变为原来的2倍
C．变为原来的12D．以上都不对
【答案】B
【解答】解：新分式为：2×x23×(y2)2=x34y2=4x3y2，
∴分式的值是原来的2倍．
故选：B．
23．如果把分式2xyx+y中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍B．缩小3倍C．缩小6倍D．不变
【答案】A
【解答】解：把原分式中的x换成3x，把y换成3y，那么
2⋅3x⋅3y3x+3y=6xyx+y=3×2xyx+y．
故选：A．
24．如果把分式2xx2−y2中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．缩小到原来的12B．扩大2倍
C．不变D．缩小到原来的14
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，2⋅2x(2x)2−(2y)2=4x4x2−4y2=xx2−y2，
∴分式的值缩小到原来的12．
故选：A．
25．若把分式a+b3ab中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．扩大为原来的9倍
C．缩小为原来的13D．不变
【答案】C
【解答】解：由题意得：
3a+3b3⋅3a⋅3b=a+b9ab，
∴若把分式a+b3ab中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值缩小为原来的13，
故选：C．
▉题型6 约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
26．下列约分结果正确的是（ ）
A．8x2yz212x2y2z=8z12y
B．x2−y2x−y=x﹣y
C．−m2+2m−1m−1=−m+1
D．a+mb+m=ab
【答案】C
【解答】解：A、8x2yz212x2y2z=2z3y，错误；
B、x2−y2x−y=(x+y)(x−y)x−y=x+y，错误；
C、−m2+2m−1m−1=−(m−1)2m−1=−m+1，正确；
D、分式a+mb+m的分子、分母都是两数和的形式，没有公因式，不能进行约分，错误．
故选：C．
27．下列运算正确的是（ ）
A．a+b2a+b=a+bB．−a−ba+b=−1
C．−a−ba−b=−1D．a2−b2a−b=a−b
【答案】B
【解答】解：A、不能再计算，故A错误；
B、−a−ba+b=−a+ba+b=−1，故B正确；
C、−a−ba−b=−a+ba−b，故C错误；
D、a2−b2a−b=(a+b)(a−b)a−b=a+b，故D错误；
故选：B．
28．下列各式约分正确的是（ ）
A．a2bab2=abB．b+xa+y=xy
C．b−aa−b=1D．m+nn−m=−1
【答案】A
【解答】解：A．a2bab2=ab⋅aab⋅b=ab，正确，符合题意；
B．b+xa+y的分子分母没有公因式，已经是最简分式，不用约分，错误，不符合题意；
C． b−aa−b=b−a−(b−a)=−1≠1，错误，不符合题意；
D． m+nn−m的分子分母没有公因式，已经是最简分式，不用约分，错误，不符合题意．
故选：A．
29．约分：
（1）−25a2bc315ab2c= −5ac23b ；
（2）6x2−12xy+6y23x−3y= 2x﹣2y ．
【答案】（1）−5ac23b；（2）2x﹣2y．
【解答】解：（1）原式=−5ac2⋅5abc3b⋅5abc=−5ac23b；
（2）原式=6(x−y)23(x−y)=2（x﹣y）＝2x﹣2y；
故答案为：−5ac23b；2x﹣2y；
30．约分：①5ab20a2b= 14a ，②x2−9x2−6x+9= x+3x−3 ．
【答案】14a；x+3x−3
【解答】解：①5ab20a2b=14a；
②x2−9x2−6x+9=(x+3)(x−3)(x−3)2=x+3x−3．
31．约分：−25a2bc315ab2c= −5ac23b ．
【答案】−5ac23b
【解答】解：−25a2bc315ab2c=5abc⋅(−5ac2)5abc⋅3b=−5ac23b．
故答案为−5ac23b．
▉题型7 最简分式
最简分式的定义：
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
32．下列说法正确的是（ ）
A．分式x+1x2+1是最简分式
B．若分式x2−4x−2的值为0，则x＝±2
C．根据分式的基本性质，等式mn=mx2nx2成立
D．将分式xy3x−2y中的x，y都扩大到原来的3倍，分式的值不变
【答案】A
【解答】解：根据分式的值为零的条件以及分式的基本性质，最简分式的定义逐项分析判断如下：
A，分式x+1x2+1是最简分式，正确；
B，分式x2−4x−2的值为零，则x的值为2，故此选项错误；
C，根据分式的基本性质，当x≠0时，等式mn=mx2nx2成立，故此选项错误；
D，将分式xy3x−2y中的x，y都扩大3倍，分式的值扩大为3倍，故此选项错误；
故选：A．
33．下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．x22xB．x2+2x+1x+1
C．x+1xD．x−1x2−1
【答案】C
【解答】解：A、原式=x2，不符合题意；
B、原式=(x+1)2x+1=x+1，不符合题意；
C、原式为最简分式，符合题意；
D、原式=x−1(x+1)(x−1)=1x+1，不符合题意．
故选：C．
34．下列说法正确的是（ ）
A．代数式x+42π是分式
B．分式xy3x−2y中x，y都扩大3倍，分式的值不变
C．分式x2−9x−3的值为0，则x的值为±3
D．分式x+1x2+1是最简分式
【答案】D
【解答】解：A、代数式x+42π是整式，不是分式，故本选项说法错误，不符合题意；
B、分式xy3x−2y中x，y都扩大3倍后的值为3x⋅3y3⋅3x−2⋅3y=3×xy3x−2y，即分式的值扩大3倍，故本选项说法错误，不符合题意；
C、分式x2−9x−3的值为0时，x2﹣9＝0且x﹣3≠0，解得x＝﹣3，故本选项说法不正确，C不符合题意；
D、分式x+1x2+1是最简分式，故本选项说法正确，符合题意．
故选：D．
35．下列分式为最简分式的是（ ）
A．3x2xyB．1−xx2−x
C．x2+y2x+yD．1−x2x+1
【答案】C
【解答】解：根据最简分式的定义逐项化简分析判断如下：
A、3x2xy=32y，故此选项不是最简分式，不符合题意；
B、1−xx2−x=−(x−1)x(x−1)=−1x，故此选项不是最简分式，不符合题意；
C、x2+y2x+y是最简分式，符合题意；
D、1−x2x+1=(1−x)(1+x)x+1=1−x，故此选项不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
题型1 分式的定义
题型2 分式有意义的条件
题型3 分式的值为零的条件
题型4 分式的值
题型5 分式的基本性质
题型6 约分
题型7 最简分式
x的取值
﹣4
4
a
分式的值
无意义
0
1