北师大版（2024）八年级下册（2024）第四章 因式分解3 公式法精品学案

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▉题型1 因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
1．若关于x的二次三项式x2﹣2ax+36能用完全平方公式分解因式，则a的值是（ ）
A．﹣3B．±3C．6D．±6
【答案】D
【解答】解：∵关于x的二次三项式x2﹣2ax+36能用完全平方公式分解因式，
∴2a＝±12，
解得：a＝±6，
故选：D．
2．下列多项式中，能用平方差公式分解的是（ ）
A．x2+4B．x2﹣4x+4C．x2﹣9D．x2+2x+1
【答案】C
【解答】解：根据平方差公式的结构特征逐项分析判断如下：
A、x2+4，无法分解因式，不符合题意；
B、x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
C、x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），能用平方差公式分解因式，符合题意；
D、x2+2x+1＝（x+1）2，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
故选：C．
3．已知m+n＝2，则m2﹣n2+4n的值是（ ）
A．2B．6C．4D．8
【答案】C
【解答】解：∵m+n＝2，
∴原式＝（m+n）（m﹣n）+4n
＝2（m﹣n）+4n
＝2m﹣2n+4n
＝2（m+n）
＝2×2
＝4．
故选：C．
4．下列各式能运用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．16x2﹣4xy+y2B．a2+ab+b2
C．x2+14x+14D．9p2﹣24pq+16q2
【答案】D
【解答】解：利用完全平方公式的结构特征判断如下：
A、16x2﹣4xy+y2，不符合完全平方公式的结构特征，不符合题意，本选项错误；
B、a2+ab+b2，不符合完全平方公式的结构特征，不符合题意，本选项错误；
C、x2+14x+14，不符合完全平方公式的结构特征，不符合题意，本选项错误；
D、9p2﹣24pq+16q2＝（3p﹣4q）2，符合题意，
故选：D．
5．下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．9x2﹣16y2B．4x2﹣4x+1C．x2+xy+y2D．9﹣3x+x2
【答案】B
【解答】解：A选项，没有积的2倍，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝（2x﹣1）2，故该选项符合题意；
C选项，第二项不是积的2倍，故该选项不符合题意；
D选项，第二项不是积的2倍，故该选项不符合题意；
故选：B．
6．下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+4B．x2﹣1C．x+9D．x2﹣6x
【答案】B
【解答】解：由平方差公式的结构特征可知，x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）可利用平方差公式，
故选：B．
7．若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值是（ ）
A．13B．13或﹣11C．﹣11D．无法确定
【答案】B
【解答】解：∵4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，4x2﹣（k﹣1）x+9＝（2x）2﹣（k﹣1）x+32，
∴k﹣1＝±2×2×3，
解得：k＝13或﹣11，
故选：B．
8．分解因式：x2﹣9＝ （x+3）（x﹣3） ．
【答案】（x+3）（x﹣3）
【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
9．分解因式：9﹣m2＝ （3+m）（3﹣m） ．
【答案】（3+m）（3﹣m）．
【解答】解：原式＝（3+m）（3﹣m）．
故答案为：（3+m）（3﹣m）．
10．分解因式：a2﹣1＝ （a+1）（a﹣1） ．
【答案】（a+1）（a﹣1）
【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．
故答案为：（a+1）（a﹣1）．
11．若多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，则m＝ 9或﹣7 ．
【答案】9或﹣7
【解答】解：∵多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，
∴m﹣1＝±8，
解得：m＝9或m＝﹣7，
故答案为：9或﹣7
12．分解因式：x2﹣16y2＝ （x+4y）（x﹣4y） ．
【答案】（x+4y）（x﹣4y）
【解答】解：x2﹣16y2
＝x2﹣（4y）2
＝（x+4y）（x﹣4y）．
故答案为：（x+4y）（x﹣4y）．
13．若关于x的二次三项式x2+2（m﹣3）x+16可用完全平方公式分解因式，则m的值为 7或﹣1 ．
【答案】7或﹣1
【解答】解：由题意得：
x2+2（m﹣3）x+16＝（x±4）2，
∴x2+2（m﹣3）x+16＝x2±8x+16，
∴2（m﹣3）＝±8，
∴m﹣3＝±4，
∴m＝7或m＝﹣1，
故答案为：7或﹣1．
14．分解因式：a2﹣49＝ （a+7）（a﹣7） ．
【答案】（a+7）（a﹣7）
【解答】解：a2﹣49＝（a+7）（a﹣7）．
故答案为：（a+7）（a﹣7）．
15．阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解的解题思路：
将“x2﹣2x”看成一个整体，设x2﹣2x＝m，
则：原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2，
再将“m”还原为“x2﹣2x”即可．
解题过程如下：
解：设x2﹣2x＝m，
则：原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2＝（x2﹣2x+1）2．
问题：（1）以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果没有彻底，请写出完整的解答过程；
（2）请你模仿以上方法，将多项式（x2+6x）（x2+6x+18）+81进行因式分解．
【答案】（1）不完整，正确的解答过程见解析；
（2）（x+3）4．
【解答】解：（1）不完整，
正确的解答过程：
设x2﹣2x＝m，
则原式＝m（m+2）+1
＝m2+2m+1
＝（m+1）2
＝（x2﹣2x+1）2
＝[（x﹣1）2]2
＝（x﹣1）4；
（2）设x2+6x＝m，
则原式＝m（m+18）+81
＝m2+18m+81
＝（m+9）2
＝（x2+6x+9）2
＝[（x+3）2]2
＝（x+3）4．
▉题型2 提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
16．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）B．4a2﹣8a＝a（4a﹣8）
C．a2+2a+2＝（a+1）2+1D．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2
【答案】D
【解答】解：A、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合题意；
B、原式＝4a（a﹣2），不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式＝（x﹣1）2，符合题意．
故选：D．
17．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣1B．4x2+4x+4C．x2+2x+1D．x2﹣2x﹣1
【答案】C
【解答】解：A．可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意；
B．可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意；
C．可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意；
D．不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意；
故选：C．
18．一次课堂练习，一位同学做了4道因式分解题，你认为这位同学做得不够完整的题是（ ）
A．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2B．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）
C．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）D．x3﹣x＝x（x2﹣1）
【答案】D
【解答】解：A、x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，正确，不合题意；
B、x2y﹣xy2＝xy（x﹣y），正确，不合题意；
C、x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），正确，不合题意；
D、x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故此选项错误，符合题意．
故选：D．
19．分解因式：a2（x﹣y）+9（y﹣x）＝ （x﹣y）（a+3）（a﹣3） ．
【答案】（x﹣y）（a+3）（a﹣3）．
【解答】解：a2（x﹣y）+9（y﹣x）
＝（x﹣y）（a2﹣9）
＝（x﹣y）（a+3）（a﹣3），
故答案为：（x﹣y）（a+3）（a﹣3），
20．分解因式：a3﹣6a2b+9ab2＝a（a﹣3b）2 ．
【答案】a（a﹣3b）2．
【解答】解：原式＝a（a2﹣6ab+9b2）＝a（a﹣3b）2．
故答案为：a（a﹣3b）2．
21．分解因式：3a2﹣27＝ 3（a+3）（a﹣3） ．
【答案】3（a+3）（a﹣3）
【解答】解：3a2﹣27
＝3（a2﹣9）
＝3（a+3）（a﹣3）．
故答案为：3（a+3）（a﹣3）．
22．因式分解：﹣3m2n+6mn﹣3n＝ ﹣3n（m﹣1）2 ．
【答案】﹣3n（m﹣1）2．
【解答】解：﹣3m2n+6mn﹣3n＝﹣3n（m2﹣2m+1）＝﹣3n（m﹣1）2，
故答案为：﹣3n（m﹣1）2．
23．因式分解：x2y﹣6xy+9y＝y（x﹣3）2 ．
【答案】y（x﹣3）2．
【解答】解：x2y﹣6xy+9y
＝y（x2﹣6x+9）
＝y（x﹣3）2，
故答案为：y（x﹣3）2．
题型1 因式分解-运用公式法
题型2 提公因式法与公式法的综合运用