北师大版（2024）八年级下册（2024）1 分式及其基本性质第2课时教学设计

这是一份北师大版（2024）八年级下册（2024）1 分式及其基本性质第2课时教学设计，共4页。教案主要包含了教学与建议，方法指导，学生活动，教学说明等内容，欢迎下载使用。

教师备课 素材示例
●归纳导入 1.将下列各分数化成最简分数：
eq \f(5,25)＝__ eq \f(1,5)__； eq \f(20,100)＝__ eq \f(1,5)__； eq \f(60,12)＝__5__； eq \f(16,56)＝__ eq \f(2,7)__．
化简分数的方法：首先找到分子、分母的__最大公因数__，然后利用__分数的基本性质__就可将分数化简．
2．上题实质是分数的__约分__；它的依据是：__分数的基本性质__；分数的基本性质是：__分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外)，分数的大小不变__．
对于分式是否也具有相同的性质呢？如： eq \f(a,3a)与 eq \f(1,3)相等吗？ eq \f(x2,xy)与 eq \f(x,y)呢？与同桌举例交流，分式的基本性质是什么？
【归纳】分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．
【教学与建议】教学：采用归纳探究、启发引导的方法探究分式的基本性质．建议：问题可小组讨论、交流，归纳出分式的基本性质．
●类比导入 (1)请同学们考虑： eq \f(4,5)与 eq \f(16,20)相等吗？ eq \f(10,16)与 eq \f(5,8)相等吗？为什么？
eq \f(4,5)＝__ eq \f(4×4,5×4)__＝ eq \f(16,20) eq \f(10,16)＝__ eq \f(10÷2,16÷2)__＝ eq \f(5,8)
(2)说出 eq \f(4,5)与 eq \f(16,20)之间变形的过程， eq \f(10,16)与 eq \f(5,8)之间变形的过程，并说出变形依据．
(3)分数的基本性质是：__分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外)，分数的大小不变__．
思考：由于分式与分数有许多类似之处，你能利用上述分数的基本性质，类比出分式有什么性质吗？这节课我们就根据分数的基本性质来谈谈分式的基本性质．
【教学与建议】教学：导入类比分数与分式的相似之处，通过分数的变化进行引导，导入新课．建议：老师要一边复习一边切入正题，及时掌握学生学习效果．
命题角度1 利用分式的基本性质变形
考查分式的基本性质，分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变．
【例1】下列各式从左到右的变形正确的是(C)
A． eq \f(a,b)＝ eq \f(a＋m,b＋m) B． eq \f(a,b)＝ eq \f(ac,bc) C． eq \f(am,bm)＝ eq \f(a,b) D． eq \f(a,b)＝ eq \f(a2,b2)
【例2】如果把 eq \f(x＋y,2x)中的x与y都扩大为原来的3倍，那么这个代数式的值(A)
A．不变 B．扩大为原来的30倍
C．扩大为原来的3倍 D．缩小为原来的 eq \f(1,3)

命题角度2 分式的符号法则
分式中的分子、分母、分式本身的符号，同时改变其中的两个，分式的值不变．
【例3】分式－ eq \f(1,1－x)可变形为(A)
A． eq \f(1,x－1) B． eq \f(1,1＋x) C．－ eq \f(1,1＋x) D．－ eq \f(1,x－1)
【例4】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号：
(1) eq \f(a,－2b)＝__－ eq \f(a,2b)__；(2)－ eq \f(－2x,3y)＝__ eq \f(2x,3y)__．
命题角度3 分式的约分
将分式进行约分的步骤：①将分式的分子与分母进行因式分解；②约去分子、分母的公因式．
【例5】化简 eq \f(5x,20xy)的结果是(C)
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,4x) C． eq \f(1,4y) D．4y
【例6】计算： eq \f(a2＋8a＋16,a2－16)＝__ eq \f(a＋4,a－4)__．
命题角度4 最简分式
最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分式的分子、分母分解因式．若没有公因式就是最简分式．
【例7】下列分式是最简分式的是(C)
A． eq \f(2ab,4a2b) B． eq \f(a,a2＋3a) C． eq \f(a－b,a2＋b2) D． eq \f(a2＋ab,a2－b2)
【例8】下列分式中，最简分式有(B)
① eq \f(x,6a)；② eq \f(3,3a－9)；③ eq \f(a＋b,a2－b2)；④ eq \f(x－y,x＋y)；⑤ eq \f((x＋y)2,xy＋y2).
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
命题角度5 分式的化简求值
先根据分式的基本性质对分式进行约分化简，最后代数求值．
【例9】若a＝2b≠0，则 eq \f(a2－b2,a2－ab)＝__ eq \f(3,2)__．
【例10】已知 eq \f(1,x)－ eq \f(1,y)＝3，则代数式 eq \f(2x＋3xy－2y,x－xy－y)的值是__ eq \f(3,4)__．
高效课堂 教学设计
1．熟练地掌握分式的基本性质．
2．理解分式的基本性质，并能利用性质进行分式的约分，掌握约分方法．
▲重点
理解分式的基本性质，并能利用性质进行分式的约分．
▲难点
准确、灵活地运用分式的基本性质化简分式．

◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
议一议：
1．下列分数是否相等？进行变形的依据是什么？
eq \f(2,3)， eq \f(4,6)， eq \f(8,12)， eq \f(16,24)， eq \f(32,48).
解：相等，依据是分数的基本性质．
2．分数的基本性质是__分数的分子和分母，同时乘或除以一个相同的数(零除外)，分数的大小不变__．
3．根据分数的基本性质，你认为 eq \f(a,2a)与 eq \f(1,2)相等吗？ eq \f(n2,mn)与 eq \f(n,m)呢？小组交流，你能猜想出分式有什么性质？今天我们一起来学习分式的基本性质．
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】分式的基本性质
问题1：对照分数的基本性质，改写成分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，即：
eq \f(b,a)＝ eq \f(b·m,a·m)， eq \f(b,a)＝ eq \f(b÷m,a÷m)(m≠0)，其中a，b，m是整式．
问题2：分式的基本性质(小组内议一议)．
分式中的a，b，m三个字母都表示整式，其中a必须含有字母，除b可等于零外，a，m都不能等于零．若a＝0，则分式无意义；若m＝0，则不论乘或除以，都将使分式无意义．
我们利用分数的基本性质可以对一个分数进行等值变形，那么我们同样可以利用分式的基本性质对分式进行等值变形．
练一练
下列等式的右边是如何从左边得到的？
(1) eq \f(b,2x)＝ eq \f(by,2xy)(y≠0)；
(2) eq \f(ax,bx)＝ eq \f(a,b).
解：(1)因为y≠0，所以 eq \f(b,2x)＝ eq \f(b·y,2x·y)＝ eq \f(by,2xy)；
(2)因为x≠0，所以 eq \f(ax,bx)＝ eq \f(ax÷x,bx÷x)＝ eq \f(a,b).
【探究2】分式的约分
化简下列分式：(1) eq \f(a2bc,ab)； (2) eq \f(x2－1,x2－2x＋1).
分析得出最简分式．具体如下：
(1)确定分子和分母的最大公因式，思考时参照提公因式的思考过程．
(2)约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式．
(3)约分前后分式的值相等．

解：(1) eq \f(a2bc,ab)＝ eq \f(ab·ac,ab)＝ac；
(2) eq \f(x2－1,x2－2x＋1)＝ eq \f((x－1)(x＋1),(x－1)2)＝ eq \f(x＋1,x－1).
【归纳】把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
议一议：(1) eq \f(5xy,20x2y)＝ eq \f(5x,20x2)；(2) eq \f(5xy,20x2y)＝ eq \f(1,4x).哪个式子更为简洁？
(2)式更为简洁．
【归纳】分子和分母没有公因式，这样的分式称为最简分式．注意：化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式．
【探究3】探究符号关系
(1) eq \f(－x,y)与 eq \f(x,－y)有什么关系？ eq \f(－x,－y)与 eq \f(x,y)有什么关系？
(2) eq \f(－x,y)与－ eq \f(x,y)有什么关系？ eq \f(x,－y)与－ eq \f(x,y)有什么关系？
有理数乘除法法则，是如何确定积(商)的符号的？
解：(1) eq \f(－x,y)＝ eq \f(x,－y)， eq \f(－x,－y)＝ eq \f(x,y)；
(2) eq \f(－x,y)＝－ eq \f(x,y)， eq \f(x,－y)＝－ eq \f(x,y).
利用同号为正、异号为负来确定积(商)的符号．
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】利用分式的基本性质，在不改变分式的值的前提下，把下列各式的分子、分母中各项的系数都变为整数．
(1) eq \f(\f(5,6)x＋y,\f(3,2)x－\f(7,4)y)； (2) eq \f(0.02x＋0.7y,3x－0.5y).
【方法指导】(1)根据分式的基本性质，分子、分母都乘以最小公倍数12，分式的值不变；(2)根据分式的基本性质，分子、分母都乘以最小公倍数50，分式的值不变．
解：(1)原式＝ eq \f(12(\f(5,6)x＋y),12(\f(3,2)x－\f(7,4)y))＝ eq \f(10x＋12y,18x－21y)；
(2)原式＝ eq \f(50(0.02x＋0.7y),50(3x－0.5y))＝ eq \f(x＋35y,150x－25y).
【例2】下列分式中，最简分式是( )
A． eq \f(4b,ba) B． eq \f(2(b－a)2,a－b) C． eq \f(x2＋y2,x＋y) D． eq \f(x2－y2,x－y)
【方法指导】4b与ba有公因式b，(b－a)2与a－b有公因式a－b，x2－y2与x－y有公因式x－y，所以A，B，D都可以排除，只有C选项中分子与分母不含公因式．
答案：C
【例3】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号．
(1) eq \f(－3b,2a)； (2) eq \f(5y,－7x2)； (3) eq \f(－a－2b,2a＋b).

【方法指导】在分子的符号，分母的符号，分式本身的符号三者当中，同时改变其中的两个，分式的值不变．
解：(1)原式＝－ eq \f(3b,2a)；
(2)原式＝－ eq \f(5y,7x2)；
(3)原式＝－ eq \f(a＋2b,2a＋b).
◆活动4 随堂练习
1．如果把分式 eq \f(2x－y,3x)中的正数x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值(A)
A．不变 B．扩大到原来的5倍
C．缩小到原来的 eq \f(1,5) D．缩小到原来的 eq \f(1,4)
2．下列各式变形正确的有(B)
① eq \f(－m＋n,m)＝ eq \f(m－n,m)；② eq \f(－m＋n,m)＝－ eq \f(m＋n,m)；③ eq \f(－m－n,－m)＝ eq \f(m－n,m)；④ eq \f(－m－n,m)＝－ eq \f(m＋n,m).
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．先化简，再求值： eq \f(25a2－b2,5a2b＋ab2)，其中a＝0.2，b＝10.
解：原式＝ eq \f((5a＋b)(5a－b),ab(5a＋b))＝ eq \f(5a－b,ab).
当a＝0.2，b＝10时，原式＝－ eq \f(9,2).
4．课本P130随堂练习T1
5．课本P130随堂练习T2
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】
1．这节课你的主要收获是什么？
2．在探究分式的基本性质时，我们运用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对分式基本性质的理解和运用．
【作业】课本P131习题5.1中的T5、T6、T8、T10.
本节课在让学生小组讨论之前应给学生一定的时间独立思考，不要让一些思维活跃的同学的回答代替了其他学生的思考，从而掩盖了其他学生的疑问和错误．教师应对学生的讨论给予引导，对学习困难的学生给予及时的帮助，使小组合作学习更具实效性．找公因式是约分的关键，应设计一些找公因式的练习，作为铺垫，这样学生可能对约分掌握得更好．