初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）1 分式及其基本性质第1课时教案及反思

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）1 分式及其基本性质第1课时教案及反思，共4页。教案主要包含了教学与建议，方法指导，学生活动，教学说明等内容，欢迎下载使用。
1 分式及其基本性质
第1课时 分式的有关概念
教师备课 素材示例
●归纳导入 问题1：
两名运动员跳伞，从350 m的高度跳下：
(1)若一名运动员到落地时用了28 s，则他的平均降落速度列式是__ eq \f(350,28)__m/s.
(2)若另一名运动员到落地时用了x s，则他的平均降落速度列式是__ eq \f(350,x)__m/s.
问题2：
一个长方形的面积为50 m2，长12 m，宽列式是__ eq \f(50,12)__ m，若长为y m，则宽列式是__ eq \f(50,y)__m.
问题3：
一名篮球运动员在一个赛季中参加了x场比赛，罚球进a个，2分球投进b个，3分球投进c个，那么他平均每场得分是__ eq \f(a＋2b＋3c,x)__，2分球占进球数的__ eq \f(b,a＋b＋c)__．
从以上三个问题所列的代数式中，我们发现它们是否都含有分母？其分母与我们过去学过的分数的分母有什么区别？
【归纳】一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成 eq \f(A,B)的形式．如果B中含有字母，那么称 eq \f(A,B)为分式．
【教学与建议】教学：由具体的数过渡到字母的过程，体会字母代表数的意义．建议：从问题的解决入手，通过列式，然后与分数比较，从其分母中归纳分式的特性．
●复习导入 问题1：在小学数学中，我们学习了哪些数？
问题2：在七年级数学中，我们已学习了代数式中的哪些主要概念？
问题3：下列式子中哪些是整式？
a，－2x2y3，3x－2，x2＋2xy＋y2， eq \f(1,m－n)， eq \f(xy,y)， eq \f(a,3a－1)， eq \f(m,2)， eq \f(c,ab).
【教学与建议】教学：把学生对“式”的认识由整式扩充到有理式．比较分式与整式的区别从而获得分式的概念．建议：问题1、问题2口答后让学生相互补充；问题3让学生通过观察，找出整式．
命题角度1 识别分式
分式必须同时满足以下三个条件：(1)含有分子、分母；(2)分母含有字母；(3)分母不等于0.(注意不是常数，如：π)

【例1】下列判断正确的是(C)
A． eq \f(3x,π)是分式 B．分式的分子中一定含有字母
C．分母中含有字母的式子是分式 D．分数一定是分式
【例2】下列式子中是分式的是(C)
A． eq \f(3,π) B． eq \f(x,2) C． eq \f(1,x－1) D． eq \f(3,10)
命题角度2 分式有意义的条件
分式有意义的条件是分母不等于0，解这类题先找出分母，然后利用“分母≠0”建立关系式．
【例3】若分式 eq \f(1,x－7)有意义，则x的取值范围是__x≠7__．
【例4】代数式 eq \f(1,|x|－4)有意义时，x应满足的条件为__x≠±4__．
命题角度3 分式的值为零的条件
分式的值为零同时满足两个条件：(1)分子为0，建立等式；(2)分母不为0，建立不等式．
【例5】若分式 eq \f(x2－4,x－4)的值为零，则x的值为(D)
A．0 B．2 C．－2 D．±2
【例6】若分式 eq \f(|x|－1,x＋1)的值等于0，则x的值是__1__．
命题角度4 根据条件求分式的值
直接将未知数的值代入分式中，通过计算，便可得分式的值．
【例7】若 eq \f(y,x)＝ eq \f(3,7)，则 eq \f(x－y,x)＝__ eq \f(4,7)__．
【例8】若 eq \f(2,x)＝ eq \f(3,y)，则 eq \f(2x＋y,x－y)＝__－7__．
高效课堂 教学设计
1．理解分式的概念，明确分式和整式的区别．
2．在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感．
▲重点
理解分式的概念，分式有意义的条件．
▲难点
能熟练地求出分式有意义无意义，分值为零的条件的理解．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
1．下列式子中，整式有__4__个．
a，－3x2y3，4x＋2，x2＋xy＋y2， eq \f(2,m－n)， eq \f(y2＋y＋1,y)， eq \f(a,9a－1)
2．(1)面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林2 400 hm2，实际每月固沙造林的面积比原计划多30 hm2，结果提前完成原计划的任务．

如果设原计划每月固沙造林x hm2，那么
①原计划完成造林任务需要__ eq \f(2 400,x)__个月；
②实际完成造林任务用了__ eq \f(2 400,x＋30)__个月；
(2)2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者，某一时段内的统计结果显示，前a天日均参观人数35万人，后b天日均参观人数45万人，这(a＋b)天日均参观人数为__ eq \f(35a＋45b,a＋b)__万人．
(3)文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a元，现每册降价x元销售．当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b元．降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是__ eq \f(b,a－x)__．
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】分式的概念
思考：
(1) eq \f(2 400,x)， eq \f(2 400,x＋30)； (2) eq \f(35a＋45b,a＋b)； (3) eq \f(b,a－x).
对于前面出现的代数式，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？
一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成 eq \f(A,B)的形式．如果B中含有字母，那么称 eq \f(A,B)为分式．其中A称为分式的分子，B称为分式的分母．对于任意一个分式，分母都不能为零．
【探究2】分式与分数的联系与区别
形式：与分数一样，分式也是由分子、分母和分数线组成的．
内容：分数的分子、分母都是整数，分式的分子、分母都是整式．
要求：分式的分母中必须含有字母；分子中可以含字母，也可以不含字母．
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
x－4， eq \f(7,m)， eq \f(c,a－b)， eq \f(a＋6,2b)， eq \f(5,4)(x＋y)， eq \f(x2＋2x＋1,5)， eq \f(1,x)， eq \f(2m,π).
【方法指导】分母中含有字母的式子，如 eq \f(A,B)(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)是分式．
解：整式有x－4， eq \f(5,4)(x＋y)， eq \f(x2＋2x＋1,5)， eq \f(2m,π)，分式有 eq \f(7,m)， eq \f(c,a－b)， eq \f(a＋6,2b)， eq \f(1,x).
【例2】(1)当a＝1，2，－1时，分别求分式 eq \f(a＋1,2a－1)的值；
(2)当a取何值时，分式 eq \f(a＋1,2a－1)有意义？
【方法指导】(1)代入a值求分式的值；(2)当分母的值不等于0时，分式有意义．
解：(1)当a＝1时， eq \f(a＋1,2a－1)＝ eq \f(1＋1,2×1－1)＝2；
当a＝2时， eq \f(a＋1,2a－1)＝ eq \f(2＋1,2×2－1)＝1；

当a＝－1时， eq \f(a＋1,2a－1)＝ eq \f(－1＋1,2×(－1)－1)＝0；
(2)∵当分母2a－1≠0时，分式有意义，
∴a≠ eq \f(1,2).
【例3】当x取何值时，下列分式的值为0?
(1) eq \f(x2－16,x＋4)； (2) eq \f(|x|－1,x－1).
【方法指导】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，若它使分母的值不等于0，则这个值就是要求的字母的值．
解：(1)由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－16＝0，,x＋4≠0，))得x＝4，
所以，当x＝4时，分式 eq \f(x2－16,x＋4)的值为0；
(2)由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x|－1＝0，,x－1≠0，))得x＝－1，
所以，当x＝－1时，分式 eq \f(|x|－1,x－1)的值为0.
◆活动4 随堂练习
1．下列各式中，取值可能为零的是(B)
A． eq \f(n2＋1,n2－1) B． eq \f(n2－1,n＋1) C． eq \f(n＋1,n2－1) D． eq \f(n2＋2,n＋2)
2．下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是(D)
A． eq \f(1,3x＋1) B． eq \f(x,3x＋1) C． eq \f(3x＋1,x2) D． eq \f(x2,3x2＋1)
3．当x__＝ eq \f(5,2)__时，分式 eq \f(2x＋3,2x－5)无意义．
4．当x__＝－1__时，分式 eq \f(x2－1,x2＋x－2)的值为零．
5．课本P128随堂练习T1
6．课本P128随堂练习T2
7．课本P128随堂练习T3
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】这节课你有什么收获？还有哪些困惑？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对分式的意义、分式的值的理解．
【作业】课本P131习题5.1中的T1、T2、T3、T4.
本节采取的教学方法是引导学生独立思考、小组合作，完成对分式概念及意义的自主探索；通过“随堂练习”这一环节发展了学生思维，巩固了课堂知识，增强了学生实践应用能力，提出问题让学生解决，问题由易到难，层层深入，既复习了旧知识，又在类比过程中获得了解决新知识的途径．在这一环节提问应注意循序性，先易后难、由简到繁、层层递进，台阶式的提问使问题解决水到渠成．