初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）3 分式方程第1课时教案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）3 分式方程第1课时教案设计，共3页。教案主要包含了教学与建议，方法指导，学生活动，教学说明等内容，欢迎下载使用。
师备课 素材示例
●情景导入 甲、乙两名同学同时从学校出发，去15 km外的景区游玩，甲比乙每小时多行1 km，结果比乙早到半小时，甲、乙两名同学每小时各行多少千米？设甲同学每小时行x km，你能列出相应的方程吗？这个方程是我们以前学过的方程吗？如果不是，你能给它取个名字吗？你能解这个方程吗？
学生论回答：列方程： eq \f(15,x－1)－ eq \f(15,x)＝ eq \f(1,2).
这个方程与以前学过的方程不一样，这节课我们来学习这类方程．
【教学与建议】教学：让学生经历从实际问题中抽象、概括得出分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型在解决实际问题中的作用．建议：要给学生一定的思考时间，让学生积极投入问题情景中．
●归纳导入 探究：某动车平均提速a km/h.用相同的时间，动车提速前行驶b km，提速后比提速前多行驶80 km，提速前列车的平均速度是多少？
(1)行程问题的基本关系式是__路程＝速度×时间__；
(2)设提速前动车的平均速度为x km/h，那么动车提速后的平均速度为(x＋a) km/h；
(3)用相同时间，动车提速前行驶b km，提速后比提速前多行驶80 km，那么动车提速后行驶的路程为__(b＋80)__km；
(4)“相同时间”是什么意思？
(5)动车提速前的时间是__ eq \f(b,x)__h，动车提速后的时间是__ eq \f(b＋80,x＋a)__h；
(6)根据“相同时间”这一等量关系，可列方程为__ eq \f(b,x)＝ eq \f(b＋80,x＋a)__．
像 eq \f(b,x)＝ eq \f(b＋80,x＋a)这样的分母中含有未知数的方程叫作分式方程．
【教学与建议】教学：通过对比提速前后动车的图片吸引学生的注意力，提出问题，使其迅速进入解决问题状态．建议：问题由浅入深，逐步展示．
命题角度1 分式方程的定义
判断分式方程，主要是看分母中是否含有未知数，必须是表示未知数的字母．

【例1】下列不是分式方程的是(B)
A． eq \f(x－1,2x)＋5＝ eq \f(7－x,6x) B． eq \f(3x,2π)＋1＝ eq \f(2x－5,3)
C． eq \f(1,x－1)＝ eq \f(4,x) D． eq \f(x2,x)＝1
【例2】下列方程：① eq \f(1,x－3)＝1；② eq \f(x,3)＋1＝ eq \f(x,2)；③ eq \f(x－8,π－7)－ eq \f(1,7－π)＝8；④ eq \f(2,y)－ eq \f(1,x－1)＝1.是分式方程的是__①④__．(填序号)
命题角度2 由实际问题抽象出分式方程
理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，抽象出分式方程．
【例3】随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得(B)
A． eq \f(400,x－30)＝ eq \f(500,x) B． eq \f(400,x)＝ eq \f(500,x＋30)
C． eq \f(400,x)＝ eq \f(500,x－30) D． eq \f(400,x＋30)＝ eq \f(500,x)
【例4】甲、乙两船从相距300 km的A，B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180 km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6 km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h.根据题意可列方程为__ eq \f(180,x＋6)＝ eq \f(300－180,x－6)__．
高效课堂 教学设计
1．理解分式方程的概念．
2．能够根据实际问题的分析列出分式方程．
▲重点
分式方程的概念．
▲难点
根据实际问题列分式方程．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林2 400 hm2，实际每月固沙造林的面积比原计划多30 hm2，结果提前4个月完成原计划的任务．那么原计划每月固沙造林多少公顷呢？
当时，我们设原计划每月固沙造林x hm2，那么原计划完成任务需要 eq \f(2 400,x)个月，实际完成任务用了 eq \f(2 400,x＋30)个月．根据题意，可得方程 eq \f(2 400,x)－ eq \f(2 400,x＋30)＝4.

思考：1.以上所得的分式间存在怎样的数量关系？
2．根据这个数量关系得到的等式与我们之前所学习的方程有何区别？
今天我们来学习类似这样的方程——分式方程．
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】
甲、乙两地相距1 400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．
问题1：你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
问题2：如果设特快列车的平均速度为x km/h，那么x满足怎样的方程？
问题3：如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需y h，那么y满足怎样的方程？
解：(1)等量关系：
乘高铁列车所用的时间＋9 h＝乘特快列车所用的时间．
高铁列车的速度＝特快列车的速度×2.8.
乘高铁列车所用的时间＝ eq \f(1 400,高铁列车的速度).
乘特快列车所用的时间＝ eq \f(1 400,特快列车的速度)；
(2)x满足方程： eq \f(1 400,x)－ eq \f(1 400,2.8x)＝9；
(3)y满足方程： eq \f(1 400,y)＝2.8× eq \f(1 400,y＋9).
【探究2】上面所列的方程有什么特点？请比较下面A，B两组的方程，有什么不同？
A组
1－2y＝3－ eq \f(y＋2,4)；
y－1＝2－ eq \f(y＋2,5)；
6x－2＝4x＋ eq \f(5,4). B组
eq \f(1 400,x)－ eq \f(1 400,2.8x)＝9；
eq \f(1 400,y)＝2.8× eq \f(1 400,y＋9)；
eq \f(480,x)＝ eq \f(600,2x)＋45.
总结：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．判断分式方程的条件：①方程；②分母中含有未知数．
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】下列各式哪些是分式方程？哪些是整式方程？
① eq \f(y－3,2)＝6－ eq \f(y－2,3)；②x＋ eq \f(1,x)＝2；③ eq \f(3y＋1,2y－2)＋4；④ eq \f(300,x)－ eq \f(480,2x)＝4；⑤x－1＝ eq \f(1,2)；⑥3x2－ eq \f(1,x)＝2.
【方法指导】根据分式方程的概念逐一判断即可．①⑤尽管是含有分母的方程，但它们的分母是常数，不含未知数，因此①⑤不是分式方程，而是整式方程；③不是方程，只是代数式；②④⑥满足分式方程的两个重要条件，所以②④⑥是分式方程．
解：②④⑥是分式方程，①⑤是整式方程．

【例2】为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为4 800元，八年级同学捐款总额为5 000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？
【方法指导】可以用下面表格表示：
解：根据题意，得 eq \f(4 800,x)＝ eq \f(5 000,x＋20).
◆活动4 随堂练习
1．下列各式中，是分式方程的是(D)
A．x＋y＝6 B． eq \f(x＋2,4)＝ eq \f(2y－z,5)
C． eq \f(1,x) D． eq \f(y,x＋2)＝0
2．甲队修路200 m与乙队修路180 m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修15 m．设甲队每天修路x m，依题意，下面所列方程正确的是(A)
A． eq \f(200,x)＝ eq \f(180,x－15) B． eq \f(200,x)＝ eq \f(180,x＋15)
C． eq \f(200,x－15)＝ eq \f(180,x) D． eq \f(200,x＋15)＝ eq \f(180,x)
3．下列方程：① eq \f(1,x)＝1；② eq \f(x－1,4)＝ eq \f(x,3)；③ eq \f(y,a)＋ eq \f(y－1,b)＝1(a，b为已知数)；④ eq \f(x,x－1)＋ eq \f(4,1－x)＝5.其中分式方程有__①④__．(填序号)
4．课本P144随堂练习
◆活动5 课堂小结
【学生活动】这节课你有什么收获？什么是分式方程？你能根据具体情境列出分式方程吗？
【教学说明】让学生梳理本节的学习内容与方法，更有利于学生加深对所学知识的理解，有利于培养学生养成良好的数学学习习惯．
通过实际问题的提出，让学生感受到以前所学知识已不能解决现有的问题，提高学生学习的欲望．
在教学设计上，以探究任务启发引导学生自学自悟的方式，给学生提供了自主探究的舞台，营造了锻炼思维的空间，在知识的发现过程中，培养了学生探究、归纳的能力．捐款总额/元
捐款人数
人均捐款额
七年级
4 800
x
eq \f(4 800,x)
八年级
5 000
x＋20
eq \f(5 000,x＋20)