北师大版（2024）八年级下册（2024）3 分式方程第3课时教案设计

这是一份北师大版（2024）八年级下册（2024）3 分式方程第3课时教案设计，共4页。教案主要包含了教学与建议，方法指导，学生活动，教学说明等内容，欢迎下载使用。

教师备课 素材示例
●类比导入 活动内容：请同学们完成下列问题．
问题1：小颖的爸爸今年47岁，比小颖年龄的3倍还大2岁．
(1)如果设小颖今年x岁，x所满足的关系式是__3x＋2＝47__．
(2)这个关系式我们叫作一元一次方程．
(3)列一元一次方程解应用题的一般步骤是__(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答__．
问题2：某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在每天生产多少台机器？(只列方程)
(1)设现在每天生产x台机器，得出关系式是__ eq \f(600,x)＝ eq \f(450,x－50)__．
(2)这个关系式叫作__分式方程__．
【教学与建议】教学：通过列出一元一次方程，回顾列一元一次方程解应用题的一般步骤，类比导入列分式方程解应用题．建议：问题1：让学生口答，问题2先思考再小组讨论导入课题．
●复习导入 活动内容：
1．解方程：(1) eq \f(x－2,x)－ eq \f(3,x－2)＝1；(2) eq \f(x－2,x＋3)－ eq \f(3,x－3)＝1.
2．解分式方程的一般步骤．
3．列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步？
【教学与建议】教学：回顾解分式方程的步骤和列一元一次方程解应用题的一般步骤．建议：问题1由两名学生在黑板上完成，完成后回答其余两个问题．
命题角度1 利用分式方程解决销售问题
解决销售问题的关键是注意调价前价格与调价后价格的差价，然后利用单价＝总价÷总量的关系式列出等式即可．
【例1】佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1 200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1 452元所购买的数量比第一次多20 kg，以每千克9元售出100 kg后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
(1)求第一次水果的进价是每千克多少元；
(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
解：(1)设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元．
根据题意，得 eq \f(1 452,1.1x)＝ eq \f(1 200,x)＋20，解得x＝6.
经检验，x＝6是所列方程的根，且符合题意．
答：第一次水果的进价是每千克6元；

(2)第一次购买水果1 200÷6＝200(kg)，
第二次购买水果200＋20＝220(kg).
第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，
第二次赚钱为100×(9－6.6)＋(220－100)×(9×0.5－6.6)＝－12(元).
所以两次共赚钱400－12＝388(元).
答：该果品店在这两次销售中，总体上是赚钱了，共赚了388元．
命题角度2 利用分式方程解决工程问题
工程问题常用等量关系：(1)工作量＝工作效率×工作时间；(2)各个工作者的工作量之和为1.可以多角度思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系．
【例2】某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m的污水排放管道，铺设120 m后，为加快工期，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．如果设原计划每天铺设x m管道，那么可得方程为：__ eq \f(120,x)＋ eq \f(300－120,(1＋20%)x)＝30__．
【例3】市政府欲将一块地建成湿地公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的 eq \f(1,3)，后又加一台乙型挖土机，两台挖土机同时工作，结果又用两天就挖完了整片地，那么乙型挖土机单独挖完这块地需要__4__天．
命题角度3 利用分式方程解决行程问题
方法：(1)当要求的未知量有两个时，可以用其中的一个表示另一个；(2)用列表的方法写出相关量的式子；(3)行程问题常用的等量关系是路程＝速度×时间．
【例4】八年级学生去距学校10 km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑自行车学生速度的2倍，求骑自行车学生的速度．若设骑自行车学生的速度为x km/h，则可列方程为(C)
A． eq \f(10,2x)－ eq \f(10,x)＝20 B． eq \f(10,x)－ eq \f(10,2x)＝20
C． eq \f(10,x)－ eq \f(10,2x)＝ eq \f(1,3) D． eq \f(10,2x)－ eq \f(10,x)＝ eq \f(1,3)
【例5】近年来，我市大力发展城市快速交通．小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25 km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30 km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6 min，求走路线B的平均速度．
解：设走路线A的平均速度为x km/h，则走路线B的平均速度为(1＋50%)x km/h.
根据题意，得 eq \f(25,x)－ eq \f(30,(1＋50%)x)＝ eq \f(6,60)，解得x＝50.
经检验，x＝50是所列方程的根，且符合题意，
∴(1＋50%)x＝(1＋50%)×50＝75.
答：走路线B的平均速度为75 km/h.
高效课堂 教学设计
1．能将实际问题中的等量关系用分式方程来表示．
2．体会“实际问题——分式方程模型——解分式方程——检验合理性”的过程．

▲重点
将日常生活中的实际问题转化成分式方程的应用．
▲难点
寻求实际问题中的等量关系和不同问题的解决办法．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
引导学生回顾列方程解应用题的一般步骤，学生积极思考，并交流、讨论总结出：
第一步，审清题意；
第二步，根据题意设未知数；
第三步，列式子并找出等量关系，建立方程；
第四步，列方程，并解出答案；
第五步，检查方程的解是否符合题意．
最后作答．
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】
某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元．
(1)你能找出这一情境中的等量关系吗？
(2)你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？
等量关系：①房屋的间数不变．
②每间房屋的租金第二年比第一年多500元．
③出租房屋的总租金＝每间房屋的租金×出租房屋的间数．主要等量关系是 eq \f(第一年租金总数,每间房屋的租金)＝ eq \f(第二年的租金总数,每间房屋的租金)，即房屋的间数不变．
解：设第一年每间房屋的租金为x元，则第二年每间房屋的租金为(x＋500)元，根据题意，得 eq \f(96 000,x)＝ eq \f(102 000,x＋500)，解这个方程，得x＝8 000.
经检验，x＝8 000是所列方程的根，且符合题意.8 000＋500＝8 500(元).
所以，第一年每间房屋的租金为8 000元，第二年每间房屋的租金为8 500元．
【探究2】
某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 eq \f(1,3).小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元．已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5 m3，求该市今年居民用水的价格．
【方法指导】此题的主要等量关系是： eq \f(小丽家7月水费,7月单价)－ eq \f(小丽家12月水费,12月单价)＝5 m3.所以，首先要表示出小丽家这两个月的用水量，而用水量可以用水费除以水的单价得出．
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3，则今年的水价为(1＋ eq \f(1,3))x元/m3.
根据题意，得 eq \f(30,(1＋\f(1,3))x)－ eq \f(15,x)＝5，解这个方程，得x＝ eq \f(3,2).

经检验，x＝ eq \f(3,2)是所列方程的根，且符合题意．
eq \f(3,2)×(1＋ eq \f(1,3))＝2(元/m3).所以，该市今年居民用水的价格为2元/m3.
【探究3】列分式方程解应用题的一般步骤是什么？
1．审：分析题意，找出数量关系和相等关系．
2．设：选择恰当的未知数，注意单位和语言完整．
3．列：根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程．
4．解：认真仔细．
5．验：有两次检验．(1)检验是不是所列方程的解；(2)检验是否满足实际意义．
6．答：注意单位和语言完整．
【探究4】常见的应用问题：
(1)行程问题：路程＝速度×时间以及它的两个变式；
(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
(3)工程问题：工作量＝工时×工效以及它的两个变式；
(4)顺逆问题：顺速＝静速＋水速；逆速＝静速－水速；
(5)利润问题：批发成本＝批发数量×批发价；
批发数量＝批发成本÷批发价；
打折销售价＝定价×折数；
销售利润＝销售收入－批发成本；
每件销售利润＝定价－批发价；
每件打折销售利润＝打折销售价－批发价；
利润率＝利润÷进价．
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】张老师和李老师住在同一个小区，离学校3 000 m．某天早晨，张老师和李老师分别于7点10分、7点15分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上，已知李老师骑车的速度是张老师的1.2倍，为了求他们各自骑自行车的速度，设张老师骑自行车的速度是x m/min，则可列得方程为( )
A． eq \f(3 000,x)－ eq \f(3 000,1.2x)＝5 B． eq \f(3 000,x)－ eq \f(3 000,1.2x)＝5×60
C． eq \f(3 000,1.2x)－ eq \f(3 000,x)＝5 D． eq \f(3 000,x)＋ eq \f(3 000,1.2x)＝5×60
【方法指导】张老师骑自行车的速度是x m/min，则李老师骑自行车的速度是1.2x m/min，根据题意可得等量关系：张老师行驶的路程3 000÷他的速度－李老师行驶的路程3 000÷他的速度＝5，根据等量关系列出方程 eq \f(3 000,x)－ eq \f(3 000,1.2x)＝5.
答案：A
【例2】某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：

同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？
解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为(x＋60)元．
根据题意，得 eq \f(2 000,x)＝ eq \f(3 200,x＋60)，解这个方程，得x＝100.
经检验，x＝100是所列方程的根，且符合题意.100＋60＝160(元).
答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元．
◆活动4 随堂练习
1．几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费．若设原来参加旅游的学生有x人，则所列方程为(A)
A． eq \f(180,x)－ eq \f(180,x＋2)＝3 B． eq \f(180,x＋2)－ eq \f(180,x)＝3
C． eq \f(180,x)－ eq \f(180,x－2)＝3 D． eq \f(180,x－2)－ eq \f(180,x)＝3
2．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原来提高了20%，结果共用了18天完成任务，原来每天加工服装多少套？在这个问题中，设原来每天加工x套，则根据题意可得方程为__ eq \f(160,x)＋ eq \f(400－160,(1＋20%)x)＝18__．
3．小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1 200 m和2 000 m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3∶4，结果小明比小刚提前4 min到达剧院．求两人的速度．
解：小明的速度是75 m/min，小刚的速度是100 m/min.
4．课本P146随堂练习T1.
5．课本P146随堂练习T2.
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】
1．这节课你有什么收获？还有什么困惑？
2．列分式方程的关键是根据数量关系找等量关系式．
【教学说明】以回顾反思的方式让学生总结本节课的收获，增强学生的归纳总结能力．
【作业】课本P147习题5.3中的T3、T4、T5、T6、T7、T8.
本节课教学列分式方程解决实际问题，这个内容是在学生已经认识了解分式方程、列一元一次方程解决实际问题的基础上进行教学的．教学列分式方程解决实际问题，需要引导学生在解决问题的过程中，进一步掌握分式方程的解法，积累分析数量关系以及把实际问题抽象为方程的经验，进而适时地把获得的知识和方法应用于解决其他一些类似的问题．