北师大版（2024）数学八年级下册 1.5 角平分线 第1课时（课件+教案）

北师版-数学-八年级下册第一章 三角形的证明及其应用5 角平分线第1课时 角平分线的性质与判定 我们曾经探索过角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 请你尝试证明这一结论.1．___________________________________________叫作角的平分线．2．我们曾用折纸的方法探索过角平分线上点的性质(如图)．从折纸的过程中，可以得到：____________________________________．D12从角的顶点出发，把角分成两个相等的角的射线角的平分线上的点到角两边的距离相等【探究角平分线的性质定理】1．证明角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD＝PE.D12D12证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.∵∠1＝∠2，OP＝OP，∴△PDO≌△PEO(AAS)，∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)．符号语言表示为：∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.应用角平分线的性质定理必须具备的条件：两垂直，一平分．D12角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.符号语言：∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD＝PE.D注意：该定理中，“点到这个角的两边的距离”是指该点到角两边的垂线段的长度.你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？　　如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上． 　　这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．【探究角平分线的判定定理】角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，它的逆命题是________________________________________________________．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上请证明角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．1．已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE.求证：点P在∠AOB的平分线上．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在Rt△ODP和Rt△OEP中，OP＝OP，PD＝PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)，∴∠1＝∠2，即点P在∠AOB的平分线上．角平分线和线段垂直平分线的比较：相同点：都有定理和逆定理，都有“距离相等”，证明方法都利用了三角形全等.不同点：角平分线是在角的内部，到角的两边距离相等的点的集合，是点到线(射线)的距离相等；线段垂直平分线是到线段的两个端点距离相等的点的集合，是点到点的距离相等.用符号语言表示为：∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，∴点P在∠AOB的平分线上．角平分线的判定定理的特征是：两垂直，一相等． 定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.1.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积为 ( )A．10 B．7 C．5 D．4C2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BE＝CF.求证：BD＝FD.证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，∴∠C＝∠DEB＝90°，DE＝DC.在△DEB和△DCF中，∴△DEB≌△DCF(SAS)，∴BD＝FD.3.如图，直线AB，CD相交于点O，PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F.若PE＝PF，且∠AOC＝50°，则∠EOP的度数为 ( )A．65° B．60°C．45° D．30°A4.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°.在△BDF和△CDE中，∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE.又∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC.例1 已知，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD分对边BC为BD∶DC＝3∶2，且BC＝15 cm，求点D到AB边的距离．【方法指导】已知∠A的平分线AD，可作DE⊥AB，利用角平分线的性质定理得出DE＝CD，根据已知BD∶DC＝3∶2，且BC＝15 cm，即可得到点D到AB的距离．E解：如图，作DE⊥AB.∵∠C＝90°，∴CD⊥AC.∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝CD.∵BD∶DC＝3∶2，BC＝15 cm， ∴DE＝6 cm，∴点D到AB边的距离为6 cm.例2 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长． 解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，∴AD平分∠BAC.又∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°.在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，  B2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝2，则点D到AB的距离是____．23．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于O.(1)如果∠1＝∠2，求证：OB＝OC；(2)如果OB＝OC，求证：∠1＝∠2.证明：(1)∵BE⊥AC，CD⊥AB，∠1＝∠2，∴△BOD≌△COE(ASA)，∴OD＝OE.∴OB＝OC；(2)∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADO＝∠AEO＝∠BDO＝∠CEO＝90°.在△BOD和△COE中，∴△BOD≌△COE(AAS)，∴OD＝OE.∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OA为∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2.4. 如图，某工地在A区，到公路、铁路距离相等，距公路与铁路交叉处500 m，请你在图中标出它的位置(比例尺为1：20 000).解：如图所示，把公路、铁路看成两条相交直线(交点为O)，作出其夹角(A区所在角)的平分线OB，在OB上截取OC=2.5 cm，点C即为所求作的目标的位置.O1．你这节课的主要收获是什么？2．在探索角平分线的性质定理与判定定理过程中，我们运用了哪些方法？