2026北师大版数学八年级下册第1章三角形的证明及其应用5　角平分线第1课时　角平分线的性质与判定教案

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5　角平分线 第1课时　角平分线的性质与判定 教师备课　素材示例 ●情景导入　有一种蜘蛛网，它的一条主网线是与它相邻的两条主网线构成的角的平分线(如图)，如果蜘蛛在∠AOB的平分线OC上一点P处，为尽快爬到OA或OB上控制猎物，讨论：你认为它应该选择什么路线？两条路线的长度有怎样的关系？ 【教学与建议】教学：通过有关蜘蛛网的实例，复习了点到直线的距离这一概念，又初步发现角平分线上的点到角两边的距离相等．建议：先观察图形，结合实践经验，师生交流． ●复习导入　活动内容： 1．回顾角平分线的定义、性质． 2．小组内讨论证明角平分线的性质的方法． 3．小组选派代表演示方法步骤． 方法步骤： (1)在一张纸上任意画一个角∠AOB，沿角的两边将角剪下，将这个角对折，使角的两边重合； (2)在折痕(即角平分线)上任意取一点C； (3)过点C折OA，OB边的垂线，得到新的折痕CD，CE，其中，点D是折痕与OA边的交点，点E是折痕与OB边的交点； (4)发现：CD与CE的长度相等． 【教学与建议】教学：通过复习提问，锻炼了学生的思维能力和动手操作能力．建议：由学生回答角平分线的含义、性质，学生边叙述边演示折纸，得出结论． 命题角度1　角平分线的性质 此类题目综合性较强，要求学生熟练运用角平分线定理，熟悉基本图形，能把角平分线的性质与其他知识融会贯通． 【例1】如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积为 (C) A．10 B．7 C．5 D．4 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BE＝CF.求证：BD＝FD. 证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线， ∴∠C＝∠DEB＝90°，DE＝DC. 在△DEB和△DCF中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(DE＝DC，,∠DEB＝∠C，,BE＝FC.)) ∴△DEB≌△DCF(SAS)， ∴BD＝FD. 命题角度2　角平分线的判定 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 【例3】如图，直线AB，CD相交于点O，PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F.若PE＝PF，且∠AOC＝50°，则∠EOP的度数为 (A) A．65° B．60° C．45° D．30° 【例4】如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，BD＝CD.求证：AD平分∠BAC. 证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°. 在△BDF和△CDE中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠BFD＝∠CED，,∠FDB＝∠EDC，,BD＝CD，)) ∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE. 又∵DF⊥AB，DE⊥AC， ∴AD平分∠BAC. 命题角度3　角平分线性质的实际应用与尺规作图 角平分线上的点到角两边的距离相等，很多选址问题利用此定理结合轴对称、垂直平分线等综合运用． 【例5】两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P.(不要求写作法，保留作图痕迹) 解：如图，作线段AB的中垂线与∠DCE的平分线交于点P，点P即为所求． 高效课堂　教学设计 1．掌握角平分线的性质定理及其逆定理(判定定理)． 2．能运用角平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题． 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ▲重点 利用角平分线的性质定理及其逆定理解决一些简单问题． ▲难点 综合利用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题． ◆活动1　创设情境　导入新课(课件) 1．__从角的顶点出发，把角分成两个相等的角的射线__叫作角的平分线． 2．我们曾用折纸的方法探索过角平分线上点的性质(如图)．从折纸的过程中，可以得到：__角的平分线上的点到角两边的距离相等__．这节课，我们将学习证明这一性质． ◆活动2　实践探究　交流新知 【探究1】探究角平分线的性质定理 1．证明角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵∠1＝∠2，OP＝OP，∴△PDO≌△PEO(AAS)， ∴PD＝PE. 2．角平分线的性质定理用符号语言表示为： ∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE. 3．应用角平分线的性质定理必须具备的条件：两垂直，一平分． 【探究2】探究角平分线的判定定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，它的逆命题是__在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上__． 请证明角平分线的判定定理： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 1．已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上． 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 在Rt△ODP和Rt△OEP中，OP＝OP，PD＝PE， ∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)， ∴∠1＝∠2， 即点P在∠AOB的平分线上． 2．用符号语言表示为： ∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴点P在∠AOB的平分线上． 3．角平分线的判定定理的特征是：两垂直，一相等． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ◆活动3　开放训练　应用举例 【例1】已知，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD分对边BC为BD∶DC＝3∶2，且BC＝15 cm，求点D到AB边的距离． 【方法指导】已知∠A的平分线AD，可作DE⊥AB，利用角平分线的性质定理得出DE＝CD，根据已知BD∶DC＝3∶2，且BC＝15 cm，即可得到点D到AB的距离． 解：如图，作DE⊥AB. ∵∠C＝90°，∴CD⊥AC. ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB， ∴DE＝CD. ∵BD∶DC＝3∶2，BC＝15 cm， ∴CD＝15× eq \f(2,5)＝6(cm)， ∴DE＝6 cm， ∴点D到AB边的距离为6 cm. 【例2】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长． 【方法指导】先用角平分线的判定定理证得AD是∠BAC的平分线，得到∠BAD＝30°，再利用在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，30°所对的直角边等于斜边的一半，即DE是AD的 eq \f(1,2)，求得DE. 解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF， ∴AD平分∠BAC. 又∵∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝30°. 在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10， ∴DE＝ eq \f(1,2)AD＝ eq \f(1,2)×10＝5. ◆活动4　随堂练习 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD＝m，AB＝n，则△ABD的面积是 (B) A．mn B． eq \f(1,2)mn C．2mn D． eq \f(1,3)mn  eq \o(\s\up7(),\s\do5(（第1题图）))　　　　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）)) 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝2，则点D到AB的距离是__2__． 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于O. (1)如果∠1＝∠2，求证：OB＝OC； (2)如果OB＝OC，求证：∠1＝∠2. 证明：(1)∵BE⊥AC，CD⊥AB，∠1＝∠2， ∴∠BDO＝∠CEO＝90°，OD＝OE. 在△BOD和△COE中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠BDO＝∠CEO，,OD＝OE.,∠DOB＝∠EOC，)) ∴△BOD≌△COE(ASA)， ∴OB＝OC. (2)∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠ADO＝∠AEO＝∠BDO＝∠CEO＝90°. 在△BOD和△COE中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠BDO＝∠CEO，,∠BOD＝∠COE，,OB＝OC，)) ∴△BOD≌△COE(AAS)， ∴OD＝OE. ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴OA为∠BAC的平分线， ∴∠1＝∠2. 4．课本P41随堂练习T1 ◆活动5　课堂小结与作业 【学生活动】 1．你这节课的主要收获是什么？ 2．在探索角平分线的性质定理与判定定理过程中，我们运用了哪些方法？ 【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对角平分线性质定理与判定定理的理解． 【作业】课本P44习题1.5中的T1、T2. 这节课通过探究、猜测、证明，得出角平分线的性质定理和判定定理，在教学过程中，充分发挥学生的主体地位，调动他们的学习积极性，创造宽松、和谐的课堂气氛．