10.2.2加减消元法（课件）--2024新人教版七年级数学下册课件

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学1590995488010.2.2 加减消元法学习目标理解加减消元法的原理，掌握用加减消元法解二元一次方程组的步骤。能根据方程组中未知数系数的特点，选择合适的加减方式消元，熟练求解方程组。学会通过变形使方程组中某未知数的系数相等或相反，提升解题的灵活性。进一步体会 “消元” 思想在解方程组中的应用，感受数学方法的多样性。情境引入问题回顾我们已经学习了用代入消元法解二元一次方程组，例如方程组\(\begin{cases}x + y = 150 ① \\ 2x + y = 230 ②\end{cases}\)，通过代入消去 y 得到解。但如果方程组是\(\begin{cases}2x + 3y = 11 ① \\ 2x - 5y = -1 ②\end{cases}\)，其中 x 的系数相同，能否通过两个方程相减直接消去 x 呢？这就是我们今天要学习的加减消元法。核心思考当方程组中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，将两个方程相加或相减，可消去这个未知数，转化为一元一次方程。这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。加减消元法的原理核心思想加减消元法的核心仍是 “消元”，通过将方程组中两个方程相加或相减，消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解。其依据是等式的基本性质：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。适用条件当方程组中某一未知数的系数满足以下条件时，可直接使用加减法：系数相等：两个方程中同一未知数的系数相同，此时用减法消元（方程① - 方程②或方程② - 方程①）。系数相反：两个方程中同一未知数的系数互为相反数，此时用加法消元（方程① + 方程②）。加减消元法的步骤具体步骤观察系数：观察方程组中两个方程的未知数系数，确定要消去的未知数。判断加减：若系数相等，用减法；若系数相反，用加法；若系数既不相等也不相反，先变形使系数相等或相反。消元求解：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一元一次方程并求解。回代求另一个未知数：将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。检验：将两个未知数的值代入原方程组检验，确保都成立。写出解：用大括号联立两个未知数的值，作为方程组的解。步骤演示（直接加减型）以方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 11 ① \\ 2x - 5y = -1 ②\end{cases}\)为例：观察系数：x 的系数均为 2（相等），可消去 x。判断加减：用减法消元（① - ②）。消元求解：① - ②得：\((2x + 3y) - (2x - 5y) = 11 - (-1)\)→\(2x + 3y - 2x + 5y = 12\)→\(8y = 12\)→\(y = 1.5\)。回代求解：将\(y = 1.5\)代入①，得\(2x + 3×1.5 = 11\)→\(2x + 4.5 = 11\)→\(2x = 6.5\)→\(x = 3.25\)。检验：代入②：\(2×3.25 - 5×1.5 = 6.5 - 7.5 = -1\)，成立。写出解：\(\begin{cases}x = 3.25 \\ y = 1.5\end{cases}\)。步骤演示（需变形型）以方程组\(\begin{cases}3x + 2y = 8 ① \\ 2x - y = 3 ②\end{cases}\)为例：观察系数：y 的系数分别为 2 和 - 1，不相等也不相反，需变形。变形系数：将②×2 得\(4x - 2y = 6\) ③（使 y 的系数互为相反数）。加法消元：① + ③得：\((3x + 2y) + (4x - 2y) = 8 + 6\)→\(7x = 14\)→\(x = 2\)。回代求解：将\(x = 2\)代入②，得\(2×2 - y = 3\)→\(4 - y = 3\)→\(y = 1\)。检验：代入①：\(3×2 + 2×1 = 6 + 2 = 8\)，成立。写出解：\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)。典型例题解析例题 1用加减消元法解方程组：\(\begin{cases}x + 2y = 5 ① \\ 3x - 2y = 7 ②\end{cases}\)解答步骤：观察系数：y 的系数分别为 2 和 - 2（互为相反数），用加法消元。加法消元：① + ②得：\(x + 2y + 3x - 2y = 5 + 7\)→\(4x = 12\)→\(x = 3\)。回代求解：将\(x = 3\)代入①，得\(3 + 2y = 5\)→\(2y = 2\)→\(y = 1\)。检验：代入②：\(3×3 - 2×1 = 9 - 2 = 7\)，成立。解为：\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 1\end{cases}\)。例题 2用加减消元法解方程组：\(\begin{cases}4x + 7y = 19 ① \\ 4x - 5y = -17 ②\end{cases}\)解答步骤：观察系数：x 的系数均为 4（相等），用减法消元。减法消元：① - ②得：\(4x + 7y - (4x - 5y) = 19 - (-17)\)→\(12y = 36\)→\(y = 3\)。回代求解：将\(y = 3\)代入①，得\(4x + 7×3 = 19\)→\(4x + 21 = 19\)→\(4x = -2\)→\(x = -0.5\)。检验：代入②：\(4×(-0.5) - 5×3 = -2 - 15 = -17\)，成立。解为：\(\begin{cases}x = -0.5 \\ y = 3\end{cases}\)。例题 3用加减消元法解方程组：\(\begin{cases}2x + 3y = 12 ① \\ 3x + 4y = 17 ②\end{cases}\)解答步骤：观察系数：x 的系数为 2 和 3，y 的系数为 3 和 4，需变形使某未知数系数相等。变形系数：①×3 得\(6x + 9y = 36\) ③；②×2 得\(6x + 8y = 34\) ④（使 x 的系数均为 6）。减法消元：③ - ④得：\(6x + 9y - (6x + 8y) = 36 - 34\)→\(y = 2\)。回代求解：将\(y = 2\)代入①，得\(2x + 3×2 = 12\)→\(2x = 6\)→\(x = 3\)。检验：代入②：\(3×3 + 4×2 = 9 + 8 = 17\)，成立。解为：\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 2\end{cases}\)。解题技巧与注意事项技巧选择消元对象：优先消去系数绝对值较小的未知数，减少计算量（如例题 3 选择消去 x，因 2 和 3 的最小公倍数为 6，计算更简单）。系数变形方法：若系数为 a 和 b，可将方程分别乘以 b 和 a，使系数变为 ab（或乘以最小公倍数的约数）。符号处理：减法消元时，注意减去一个方程等于加上它的相反数，避免符号错误（如① - ②时，②中的各项符号需变号）。注意事项加减时需整体加减：方程中的每一项都要参与加减，不能遗漏常数项或某一未知数的项。变形后需检验系数：对方程进行乘除变形后，检查未知数系数是否达到相等或相反的目标。回代选择简便方程：回代时优先选择系数简单的原方程，减少计算错误（如例题 1 回代到①）。课堂练习练习 1用加减消元法解下列方程组：（1）\(\begin{cases}3x + 5y = 19 \\ 3x - 5y = -1\end{cases}\)（2）\(\begin{cases}x - 2y = 3 \\ 3x + 2y = 11\end{cases}\)练习 2用加减消元法解方程组：\(\begin{cases}5x + 2y = 25 \\ 3x + 4y = 15\end{cases}\)（提示：先变形使 y 的系数相等）练习 3解方程组：\(\begin{cases}\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2 \\ 2x + 3y = 13\end{cases}\)（先去分母化为整数系数方程组）课堂小结加减消元法的核心是通过加减消去一个未知数，将二元方程组转化为一元方程。适用条件：某未知数系数相等（用减法）或相反（用加法），否则需先变形。步骤：观察系数→判断 / 变形加减→消元求解→回代→检验→写解。与代入消元法相比，加减法在系数有倍数关系或对称时更简便，两种方法均体现消元思想。课后作业课本 Pxx 页习题 10.2 第 x、x 题。用加减消元法解下列方程组：（1）\(\begin{cases}2x + y = 5 \\ x - y = 1\end{cases}\)（2）\(\begin{cases}3x + 4y = 16 \\ 5x - 6y = 33\end{cases}\)（3）\(\begin{cases}7x + 3y = 15 \\ 2x - 3y = 12\end{cases}\)当 m 为何值时，方程组\(\begin{cases}3x + 2y = m + 3 \\ 2x - y = 2m - 1\end{cases}\)的解互为相反数？思考：如何根据方程组的特点选择代入消元法或加减消元法？举例说明。1. 掌握用加减法解二元一次方程组2. 使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法重点：如何用加减法解二元一次方程组，难点：如何运用加减法进行消元用代入消元的方法解出以下两个二元一次方程组.同一未知数的系数相同或者互为相反数问题2：方程组 (2) 的两个方程中，x 的系数有什么关系?问题1：方程组 (1) 的两个方程中，y 的系数有什么关系?y 的系数相同.x 的系数互为相反数.问题 3：(2x＋y)－(x＋y)＝7－(－4) 这个等式成立吗?成立. 根据等式的性质，在等式的两边同时加上或减去一个相等的式子，等式仍成立.问题4：化简问题 3 中的等式，你得到了一个什么方程? ①左边 － ②左边 ＝ ①右边 － ②右边2x + y － x － y ＝ 11 x ＝ 11(2x＋y) － (x＋y) ＝ 7 － (－4)一元一次方程思考：按照上述思路，你能消去一个未知数吗？①左边 ＋ ②左边 ＝ ①右边 ＋ ②右边x－y－x＋2y ＝ 10 (x－y) ＋ (－x＋2y) ＝ 7 ＋ 3y ＝ 10 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为_______或____时，把这两个方程的两边分别__________就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程的解.这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法.相反数相等相加或相减归纳总结2、使用加减消元法时有哪些需要注意事项？1、对于加减消元法，应该如何确定使用加法还是减法进行消元？答：观察同一个未知数的系数，系数相同的采用减法，互为相反数则使用加法.① 对 x 和 y 中系数绝对值较小的使用加减消元法能够减小计算量.② 需要注意计算时的符号，必要时可以使用添括号法则.合作探究解：将 ①－② 得 －8y＝8， y＝－1.把 y＝－1 代入 ②，得 2x＋3×(－1)＝－1，解得 x＝1.例1 解方程组：典例精析例2 用加减法解方程组 把 x = 3 代入①，得 x = 3 . 解：①＋②，得 5x = 15. ③ y = －18. x + 3y = 8, ①5x + 3y = 16. ②1. 请用加减法解二元一次方程组：练一练同一未知数的系数绝对值不相同请观察方程组：问题1：直接加减是否可以消去一个未知数? 为什么?同一未知数的系数绝对值不相同无法通过直接加减消去未知数问题 2：能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同?根据等式的性质，在等式的两边同时乘以一个相同的数，等式仍成立②＋③，得解：①×2，得y＝1.把 x＝2 代入①，得 6x－4y＝8. ③13x＝26，x＝2.3×2－2y＝4，加减法解二元一次方程技巧：同一未知数系数相等或相反两式相加/减找最小公倍数，系数变相同或相反否是归纳总结2. 用加减法解方程组：③ - ④ 得 y = 2. 把 y＝2 代入 ①， 解得 x＝3.练一练思考： 下面的方程组选择哪一种消元的方法更简便. 加减消元法加减消元法根据方程组的特点选择合适的方法代入消元法加减消元法观察方程组：讨论1：观察上述方程组中各未知数系数的特点，能直接用加减法消去一个未知数吗?讨论 2：分别用代入法和加减法解上面的方程组，讨论什么样的方程适合用代入法，什么样的方程组适合用加减法.解二元一次方程组的方法选择：1. 优先代入法：任意一个未知数系数为 1 或 -1 时；2. 优先加减法：同一个未知数系数系数相等(或相为相反数)或成整数倍.归纳总结分析：5头牛的钱数+2只羊的钱数=102头牛的钱数+5只羊的钱数=85x + 2y = 10，2x + 5y = 8 .例3 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两. 问牛、羊各直金几何?意思是：假设 5 头牛、2 只羊，共值金 10 两；2 头牛、5 只羊，共值金 8 两. 那么每头牛、每只羊分别值金多少两?解：设每头牛和每只羊分别值金 x 两和 y 两.5x+2y=10，2x+5y = 8 .④－③ ，得①×2，得  10x+4y=20. ③   ②×5，得 10x+25y= 40. ④   D  A  返回   返回 C  返回 AA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 返回   返回   返回    返回最终思想加减消元法——解二元一次方程组将两个未知数变成一个未知数求解---____加减消元法的步骤变形→加减→求解→____→写解→____回代检验消元加减消元法的解题技巧方程组中同一个未知数的系数的绝对值____或__________相等成整数倍阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086