10.2.1 代入消元法（课件）--2024新人教版七年级数学下册课件

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学1590995488010.2.1 代入消元法学习目标理解代入消元法的原理，知道消元是解二元一次方程组的核心思想。掌握用代入消元法解二元一次方程组的步骤，能熟练运用该方法求解方程组。学会根据方程组的特点选择合适的方程进行变形，提升解题的灵活性和准确性。体会 “化未知为已知”“化二元为一元” 的转化思想，培养逻辑推理能力。情境引入复习回顾我们已经学习了二元一次方程组的概念，知道方程组的解是两个方程的公共解。例如，方程组\(\begin{cases}x + y = 150 \\ 2x + y = 230\end{cases}\)的解是\(\begin{cases}x = 80 \\ y = 70\end{cases}\)。但这个解是如何通过计算得到的呢？问题思考在上述方程组中，两个方程都含有未知数 y，且 y 的系数都是 1。能否将其中一个方程中的 y 用含 x 的式子表示出来，再代入另一个方程，从而消去 y，得到一个只含 x 的一元一次方程？这就是我们今天要学习的代入消元法。代入消元法的原理核心思想代入消元法的核心是 “消元”，即通过代入将二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求解。具体来说，就是把方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得方程组的解。转化过程二元一次方程组\(\xrightarrow{\text{代入消元}}\)一元一次方程\(\xrightarrow{\text{求解}}\)一个未知数的值\(\xrightarrow{\text{回代}}\)另一个未知数的值\(\xrightarrow{\text{写出解}}\)方程组的解。代入消元法的步骤具体步骤变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来（如用 x 表示 y，或用 y 表示 x）。代入：将变形后的方程代入另一个未变形的方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。回代：将求出的未知数的值代入变形后的方程中，求出另一个未知数的值。检验：将两个未知数的值代入原方程组的两个方程中，验证是否都成立（熟练后可简化检验过程）。写出解：用大括号将两个未知数的值联立起来，作为方程组的解。步骤演示以方程组\(\begin{cases}x + y = 150 ① \\ 2x + y = 230 ②\end{cases}\)为例：变形：由方程①得\(y = 150 - x\) ③（选择方程①变形，因为 x 和 y 的系数都是 1，变形简单）。代入：将③代入②，得\(2x + (150 - x) = 230\)（消去 y，得到关于 x 的一元一次方程）。求解：解上述方程：\(2x + 150 - x = 230\)→\(x + 150 = 230\)→\(x = 80\)。回代：将\(x = 80\)代入③，得\(y = 150 - 80 = 70\)。检验：将\(x = 80\)，\(y = 70\)代入①：\(80 + 70 = 150\)，成立；代入②：\(2×80 + 70 = 230\)，成立。写出解：方程组的解为\(\begin{cases}x = 80 \\ y = 70\end{cases}\)。典型例题解析例题 1用代入消元法解方程组：\(\begin{cases}y = 2x - 3 ① \\ 3x + 2y = 8 ②\end{cases}\)解答步骤：变形：方程①已将 y 用含 x 的式子表示，无需再变形。代入：将①代入②，得\(3x + 2(2x - 3) = 8\)。求解：展开并化简：\(3x + 4x - 6 = 8\)→\(7x = 14\)→\(x = 2\)。回代：将\(x = 2\)代入①，得\(y = 2×2 - 3 = 1\)。检验：代入②：\(3×2 + 2×1 = 6 + 2 = 8\)，成立。解为：\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)。例题 2用代入消元法解方程组：\(\begin{cases}2x + 3y = 16 ① \\ x + 4y = 13 ②\end{cases}\)解答步骤：变形：选择方程②变形（x 的系数为 1，易变形），得\(x = 13 - 4y\) ③。代入：将③代入①，得\(2(13 - 4y) + 3y = 16\)。求解：展开并化简：\(26 - 8y + 3y = 16\)→\(-5y = -10\)→\(y = 2\)。回代：将\(y = 2\)代入③，得\(x = 13 - 4×2 = 13 - 8 = 5\)。检验：代入①：\(2×5 + 3×2 = 10 + 6 = 16\)，成立；代入②：\(5 + 4×2 = 13\)，成立。解为：\(\begin{cases}x = 5 \\ y = 2\end{cases}\)。例题 3用代入消元法解方程组：\(\begin{cases}3x - 5y = 6 ① \\ x + 4y = -15 ②\end{cases}\)解答步骤：变形：由方程②得\(x = -15 - 4y\) ③。代入：将③代入①，得\(3(-15 - 4y) - 5y = 6\)。求解：展开并化简：\(-45 - 12y - 5y = 6\)→\(-17y = 51\)→\(y = -3\)。回代：将\(y = -3\)代入③，得\(x = -15 - 4×(-3) = -15 + 12 = -3\)。检验：代入①：\(3×(-3) - 5×(-3) = -9 + 15 = 6\)，成立；代入②：\(-3 + 4×(-3) = -15\)，成立。解为：\(\begin{cases}x = -3 \\ y = -3\end{cases}\)。解题技巧与注意事项技巧选择合适的方程变形：优先选择未知数系数为 1 或 - 1 的方程进行变形，可简化计算（如例题 2 选择方程②变形）。整体代入：若方程组中某未知数的系数成倍数关系，可尝试整体代入（如方程①为\(2x + y = 5\)，方程②为\(4x + 3y = 13\)，可将方程②化为\(2(2x + y) + y = 13\)，再代入\(2x + y = 5\)）。注意事项代入时要整体代入：将含未知数的式子代入另一个方程时，需加括号（如例题 2 中代入\(2(13 - 4y)\)，而非\(2×13 - 4y\)）。回代时选择简便方程：回代求另一个未知数时，优先选择变形后的方程（如例题 1 回代到①，例题 2 回代到③），计算更简单。检验不可或缺：解完后需代入原方程组检验，避免计算错误（尤其是符号错误）。课堂练习练习 1用代入消元法解下列方程组：（1）\(\begin{cases}y = x + 3 \\ 7x + 5y = 9\end{cases}\)（2）\(\begin{cases}3x - 2y = 19 \\ x + y = 7\end{cases}\)练习 2解方程组：\(\begin{cases}2x + y = 5 \\ 4x + 3y = 13\end{cases}\)（尝试用整体代入法）练习 3已知方程组\(\begin{cases}ax + by = 4 \\ bx + ay = 5\end{cases}\)的解是\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)，求 a、b 的值。课堂小结代入消元法的核心是 “消元”，通过代入将二元一次方程组转化为一元一次方程。步骤可概括为：变形→代入→求解→回代→检验→写解。关键技巧：选择系数简单的方程变形，代入时注意加括号，回代选择简便方程。转化思想是解方程组的重要思想，体现了 “化难为易”“化未知为已知” 的数学方法。课后作业课本 Pxx 页习题 10.2 第 x、x 题。用代入消元法解下列方程组：（1）\(\begin{cases}y = 2x - 5 \\ 3x + 4y = 2\end{cases}\)（2）\(\begin{cases}2x + 3y = 7 \\ x - 3y = 8\end{cases}\)（3）\(\begin{cases}3x + 2y = 1 \\ x - 5y = 7\end{cases}\)当 k 为何值时，方程组\(\begin{cases}x + 2y = 6 \\ x - y = 9 - 3k\end{cases}\)的解 x、y 互为相反数？思考：代入消元法是否适用于所有二元一次方程组？在什么情况下使用代入消元法更简便？重点：用代入消元法解二元一次方程组.难点：探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的 消元过程.1.通过解决实际问题，结合一元一次方程的解法，掌握代入消元法的意义，发展抽象思维能力和转化迁移思想.2.会用代入法解二元一次方程组，提高解题能力； 在解题过程中渗透代入消元法的化归思想.1.二元一次方程的概念是什么?答：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 答：含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是１，像这样的方程叫做二元一次方程.2.什么叫二元一次方程组的解?引言：一个苹果和一个梨的质量合计 300 g,这个苹果的质量加上一个 100 g 的砝码恰好与这个梨的质量相等，问苹果和梨的质量各是多少?解：设苹果的质量为 x g，梨的质量为 y g.问题 1：你能把方程 ① 改写成含x的式子表示y的形式吗? 问题 2：你能把方程 ② 改写成用含y的式子表示x形式吗? y = 300 - xx = y -100练一练1. 将以下方程用含 x 的式子表示 y ， 含 y 的式子表示 x .(1) x - 3y = 6； (2) x + y = -2； (3) 3x + 2y = 1. (2) x = -2 - y； y = -2 -x . 用代入法解二元一次方程组问题1：在情境问题里 ①② 两个方程中的 x 和 y 所表示的意义一样吗?问题2：把探究点一问题1 中所得的式子代入②中得到的方程是什么方程? 把 y = 300 - x 代入②，得 x + 100 = 300 - x . 一样一元一次方程问题3：以上做法达到怎样的目的?消去未知数 y，把二元一次方程组转化成一元一次方程.思路点拨：二元一次方程组一元一次 方程代入消元追问1：解方程 x＋100 = 300－x 的结果是什么?能否由 x 的值得出 y 的值?∠1 = ∠2x +100 = y .(300 - x )x +100=300-x①. ②x = 100y = 200将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫作消元思想.转化总结y = 300 - x ，合作探究 解二元一次方程组的基本思路：“消元” 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法.归纳总结x－y = 3 ， 3x－8y = 14. ①② 把 y = －1代入③，得 x = 2. 把③代入②，得 3(y + 3)－8y = 14. 解：由①，得 x = y + 3 . ③ 注意：检验方程组的解.例1 用代入法解方程组 解这个方程，得 y = －1. 思考：把③代入①可以得解吗？典例精析例2 用代入法解方程组 把 x＝11 代入③，得 y＝6. 把③代入①，得 3x－5(2x－16)＝3 . 解：由②，得 y＝2x－16 . ③ 解这个方程，得 x＝11. 典例精析x + 3y = 8，①5x + 3y = 16. ②1. 解二元一次方程组：练一练代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：转化代入求解回代写解检验由①得y=300-x③将③代入②x +100 = 300-x解得x=200将x=200代入①，得y=100举例：归纳总结等量关系： (1) 3个篮球 + 1个排球 = 380；(2) 2个篮球 + 3个排球 = 440.例3 第一次买 3 个篮球和 1 个排球共花费 380 元，第二次买 2 个篮球和 3 个排球共花费 440 元，求篮球和排球的单价分别是多少元？典例精析解：设篮球单价为 x元，排球单价为 y 元，依题意得 3x + y = 380 ， ① 2x + 3y = 440. ②由 ① 得 y = 380 - 3x . ③将③代入②，得 2x + 3(380 - 3x) = 440，解得 x = 100. 答：篮球的单价是 100 元，排球的单价是 80 元.将 x = 100 代入③，得 y = 80. 2. 一种商品分装在大、小两种包装盒内，三大盒、四小盒共装108瓶,两大盒、三小盒共装76瓶. 大、小包装盒每盒各装多少瓶?练一练解：设大包装盒每盒装 x 瓶，小包装盒每盒装 y 瓶，依题意得：解得 x = 20 ，y = 12 . 答：大包装盒每盒装 20 瓶，小包装盒每盒装12 瓶.例4 用代入法解方程组 把 y＝3 代入③，得 x＝2.   解这个方程，得 y＝3. ①②分析：方程①中x的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含 y 的式子表示 x，再代入方程②.解这个方程组时，可以先消去 y 吗?试试看.①② 把 x = 2 代入③，得 y = 3.   解这个方程，得 x = 2. 用代入法解二元一次方程组，变形有技巧：①若方程组含一个未知数表示另一个未知数的关系式，直接代入.②当未知数系数为 1 或 －1 ，选该系数的方程变形.③未知数系数都不是 1 或 －1 时，通常选系数绝对值较小的方程变形.归纳总结例5 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件. 某快递员星期一的送件数和揽件数分别为 120 件和 45 件，报酬为 270 元；他星期二的送件数和揽件数分别为 90 件和 25 件，报酬为 185 元. 如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？送 120 件的报酬＋揽 45 件的报酬＝270， 送 90 件的报酬＋揽 25 件的报酬＝185.120x＋45y＝270，90x＋25y＝185.分析：解：设这名快递员每送一件的报酬是 x 元，每揽一件的报酬是 y 元.答：这名快递员每送一件的报酬是 1.5 元，每揽一件的报酬是 2 元.把y＝2代入③，得x＝1.5 A  返回 D    返回   5   返回5.用代入消元法解下列方程组：     返回 BA. 3B. 9C. 12D. 27 BA. 2B. 4C. 6D. 8 返回   5 返回10.李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩.该充电桩峰时充电的电价为0.7元/度，谷时充电的电价为0.3元/度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花去电费74元.求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量.  返回核心思想消元——解二元一次方程组代入消元法的步骤代入消元法的常用解题技巧将两个未知数变成一个未知数求解---____转化→代入→求解→____→写解→____回代检验消元未知数系数为________时1 或-1阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086