10.3.1和差倍分和销售问题（课件）--2024新人教版七年级数学下册课件

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学1590995488010.3.1 和差倍分和销售问题学习目标学会分析和差倍分问题中的数量关系，能根据等量关系列出二元一次方程组。掌握销售问题中的核心公式（利润、售价、进价、利润率等），能用方程组解决销售中的实际问题。提升从实际问题中抽象数学模型的能力，体会二元一次方程组在解决复杂问题中的优势。培养数学应用意识，感受方程组在生活中的广泛应用。知识回顾二元一次方程组解法我们已经学习了代入消元法和加减消元法，两种方法的核心都是 “消元”，通过将二元方程组转化为一元方程求解。解方程组的步骤可概括为：设未知数→列方程组→解方程组→检验→答。核心公式（销售问题）利润 = 售价 - 进价利润率 = \(\frac{利润}{进价}×100\%\)售价 = 进价 ×(1 + 利润率) 或 售价 = 标价 × 折扣率和差倍分问题问题特征和差倍分问题是指用 “和”“差”“倍”“分” 等关系描述数量之间的关系的问题。常见关键词：“一共”“比…… 多”“比…… 少”“是…… 的几倍”“占…… 的几分之几” 等。解题步骤设未知数：根据问题中的未知量设出两个未知数（通常设为 x、y）。找等量关系：和关系：两个量的总和等于已知数。差关系：一个量比另一个量多（少）多少等于已知数。倍分关系：一个量是另一个量的几倍（或几分之几）。列方程组：根据等量关系列出两个二元一次方程，组成方程组。解方程组：用代入法或加减法求解。检验与作答：检验解是否符合实际意义，写出答案。典型例题例题 1某学校七年级共有学生 420 人，其中男生人数比女生人数的 2 倍少 30 人，求该校七年级男生和女生的人数。解答步骤：设未知数：设女生人数为 x 人，男生人数为 y 人。找等量关系：和关系：男生人数 + 女生人数 = 总人数→x + y = 420。倍分关系：男生人数 = 女生人数 ×2 - 30→y = 2x - 30。列方程组：\(\begin{cases}x + y = 420 \\ y = 2x - 30\end{cases}\)解方程组：代入消元：将第二个方程代入第一个方程得\(x + (2x - 30) = 420\)→\(3x = 450\)→\(x = 150\)。回代得\(y = 2×150 - 30 = 270\)。检验与作答：150 + 270 = 420（总人数正确），270 = 2×150 - 30（倍分关系正确）。答：该校七年级女生 150 人，男生 270 人。例题 2一个两位数，个位数字与十位数字的和是 9，若将个位数字与十位数字对调后得到的新两位数比原两位数大 9，求原两位数。解答步骤：设未知数：设原两位数的十位数字为 x，个位数字为 y。找等量关系：和关系：十位数字 + 个位数字 = 9→x + y = 9。差关系：新两位数 - 原两位数 = 9→(10y + x) - (10x + y) = 9。列方程组：\(\begin{cases}x + y = 9 \\ (10y + x) - (10x + y) = 9\end{cases}\)化简方程组：第二个方程化简为\(9y - 9x = 9\)→\(y - x = 1\)，方程组变为\(\begin{cases}x + y = 9 \\ y - x = 1\end{cases}\)。解方程组：加法消元：两方程相加得\(2y = 10\)→\(y = 5\)。回代得\(x = 9 - 5 = 4\)。检验与作答：原两位数为 45，新两位数为 54，54 - 45 = 9（正确）。答：原两位数是 45。销售问题问题特征销售问题涉及进价、售价、利润、利润率、销量等量，核心是利用利润公式和总利润关系建立等量关系。常见场景：打折销售、两种商品销售对比、利润分配等。解题步骤设未知数：设出问题中的两个未知量（如两种商品的进价、销量等）。找等量关系：总利润 = 单个利润 × 销量。总售价 = 单价 × 销量。利润、进价、售价的关系：利润 = 售价 - 进价 = 进价 × 利润率。列方程组：根据总利润、总销售额等关系列出方程组。解方程组：选择合适的消元法求解。检验与作答：确保解符合实际意义（如进价、销量为正数）。典型例题例题 3某商店购进 A、B 两种商品，已知购进 3 件 A 商品和 2 件 B 商品共需 120 元；购进 5 件 A 商品和 4 件 B 商品共需 220 元。（1）求 A、B 两种商品的单价。（2）若该商店准备用不超过 1000 元购进这两种商品共 50 件，且 A 商品的数量不少于 B 商品数量的 2 倍，问最多能购进 A 商品多少件？解答步骤：（1）求单价：设 A 商品单价为 x 元，B 商品单价为 y 元。等量关系：3x + 2y = 1205x + 4y = 220列方程组：\(\begin{cases}3x + 2y = 120 ① \\ 5x + 4y = 220 ②\end{cases}\)解方程组：①×2 得\(6x + 4y = 240\) ③③ - ②得\(x = 20\)，回代①得\(3×20 + 2y = 120\)→\(y = 30\)。结论：A 商品单价 20 元，B 商品单价 30 元。（2）求购进数量：设购进 A 商品 m 件，B 商品 n 件。等量关系：m + n = 5020m + 30n ≤ 1000m ≥ 2n由 m + n = 50 得 n = 50 - m，代入不等式：20m + 30(50 - m) ≤ 1000→20m + 1500 - 30m ≤ 1000→-10m ≤ -500→m ≥ 50。m ≥ 2 (50 - m)→m ≥ 100 - 2m→3m ≥ 100→m ≥ 34（取整数）。结合 m + n = 50，m 最大为 50，但需满足 n = 0 时 20×50 = 1000（符合预算）。结论：最多能购进 A 商品 50 件（此时 B 商品 0 件）。例题 4某超市销售甲、乙两种品牌的洗衣液，已知甲品牌洗衣液每瓶利润为 8 元，乙品牌洗衣液每瓶利润为 12 元。若该超市某天卖出甲、乙两种品牌洗衣液共 30 瓶，总利润为 300 元，求当天卖出甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶？解答步骤：设卖出甲品牌洗衣液 x 瓶，乙品牌洗衣液 y 瓶。等量关系：总销量：x + y = 30总利润：8x + 12y = 300列方程组：\(\begin{cases}x + y = 30 ① \\ 8x + 12y = 300 ②\end{cases}\)解方程组：①×8 得\(8x + 8y = 240\) ③② - ③得\(4y = 60\)→\(y = 15\)，回代①得\(x = 15\)。检验：8×15 + 12×15 = 120 + 180 = 300（总利润正确）。答：卖出甲品牌 15 瓶，乙品牌 15 瓶。解题技巧与注意事项技巧和差倍分问题：抓住关键词 “和、差、倍、分”，将文字描述转化为数学等式（如 “甲比乙多 5”→x = y + 5；“甲是乙的 3 倍”→x = 3y）。销售问题：明确各量之间的关系，优先用 “总利润 = 单个利润 × 数量” 和 “总数量 = 各部分数量之和” 建立等量关系。设未知数技巧：设未知数时尽量选择与其他量关联较多的量，减少计算步骤（如销售问题中设销量为未知数，方便计算总利润）。注意事项单位统一：确保题目中所有量的单位一致（如进价、售价单位均为元，销量单位为件）。实际意义检验：解出未知数后需检验是否符合实际（如人数、销量为正整数，进价、利润为正数）。不等式与方程组结合：如例题 3 第（2）问，需结合不等式求取值范围，注意端点值是否符合条件。课堂练习练习 1某工厂有工人 80 人，其中技术工人人数是普通工人人数的 3 倍，求技术工人和普通工人的人数。练习 2一个长方形的周长是 36cm，长比宽多 4cm，求长方形的长和宽。练习 3某商店卖出两件商品，售价均为 120 元，其中一件盈利 20%，另一件亏损 20%。（1）求两件商品的进价分别是多少元？（2）这次销售总体是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？练习 4某校组织学生参加社会实践活动，原计划租用 45 座客车若干辆，但有 15 人没有座位；如果改租同样数量的 60 座客车，则多出一辆车，且其余客车刚好坐满。求原计划租用客车的数量和参加活动的学生人数。课堂小结和差倍分问题的核心是抓住 “和、差、倍、分” 关系，建立两个等量关系列方程组。销售问题需熟练运用利润公式，明确总利润、单个利润与销量的关系。解决实际问题的步骤：设未知数→找等量关系→列方程组→求解→检验→作答。注意结合实际意义检验解的合理性，对于含不等式的问题需明确取值范围。课后作业课本 Pxx 页习题 10.3 第 x、x、x 题。某班共有学生 50 人，在一次数学测试中，及格人数比不及格人数的 4 倍多 5 人，求及格和不及格的人数。某商场购进甲、乙两种商品，甲商品每件进价 15 元，售价 20 元；乙商品每件进价 35 元，售价 45 元。若该商场同时购进甲、乙两种商品共 100 件，恰好用去 2700 元，求购进甲、乙两种商品各多少件？某书店销售 A、B 两种书籍，A 书籍每本利润 5 元，B 书籍每本利润 8 元。若某天销售 A、B 书籍共 40 本，总利润为 275 元，求当天两种书籍各销售多少本？思考：如何区分问题中哪些量需要设为未知数，哪些量可通过未知数表示？举例说明。《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”，该如何解决呢？ 养牛场原有 30 头大牛和 15 头小牛，1 天约用饲料 675 kg；一周后又购进 12 头大牛和 5 头小牛，这时 1 天约用饲料 940 kg. 饲养员李大叔估计每头大牛 1 天需饲料 18 ~ 20 kg，每头小牛 1 天需饲料 7 ~ 8 kg. 你认为李大叔估计的准确吗？例1 和差倍分问题分析：需要求出大牛、小牛一天所需饲料.等量关系：30头大牛 1 天用的饲料 + 15头小牛1天用的饲料 = 675 kg 42头大牛 1 天用的饲料 + 20头小牛1天用的饲料 = 940 kg请同学们分小组列出一元一次方程或二元一次方程组解决这个问题吧！想一想解：设每头大牛和每头小牛平均 1 天各需饲料 x kg , y kg，列方程组更简单. 30x + 15y =675 ， 42x + 20y = 940. 答：李大叔对大牛食量的估计准确，对小牛食量的估计不准确. 随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔想聘请饲养员代为管理现有的 42 头大牛和 20 头小牛，已知甲种饲养员每人可负责 8 头大牛和 4 头小牛，乙种饲养员每人可负责 5 头大牛和 2 头小牛，请问李大叔应聘请甲、乙两种饲养员各多少人才能使所有的牛都恰好能被饲养到?问题1： 题中有哪些未知量，你如何设未知数?甲种饲养员和乙种饲养员的人数未知；设李大叔应聘请甲种饲养员 x 人，乙种饲养员 y 人.合作探究问题2： 题中有哪些等量关系?甲负责的小牛数＋乙负责的小牛数＝总小牛数.甲负责的大牛数＋乙负责的大牛数＝总大牛数；追问：你能根据上面的等量关系列出方程或者方程组解决问题吗?答：李大叔应聘请甲种饲养员 4 人，乙种饲养员 2 人.总结找等量关系列二元一次方程组解决实际问题的步骤：审题设元列方程组解方程组检验作答2个未知数根据等量关系代入法加减法归纳总结例2 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得 3 分，平一场得 1 分.市第二中学足球队比赛 11 场，没有输过一场，共得 27 分，试问该队胜几场? 平几场?分析：胜场＋平场= 总场次；胜分＋平分=总分数答：该队胜了 8 场，平了 3 场.解：设该队胜了 x 场，平了 y 场. 典例精析总结1.基本数量关系：各部分数量之和 = 全部数量；2.方法：找明显关系词，如：是、多、少、倍、共、几分之几等；方法归纳 炎炎夏日，随着气温的升高，某空调专卖店销售的 A，B 两种空调销量迅速增长.已知 A 空调的进价为 0.2万元/台，售价为 0.5 万元/台； B 空调的进价为 0.4万元/台，售价为 0.7 万元/台.今年六月这两种空调的销售总额为 206 万元，总利润为 102 万元. 问这两种空调售出的台数分别是多少?销售问题问题1：售价、进价、利润三者之间有什么关系?利润 = 售价 - 进价问题2：设 A 空调售出 x 台，B 空调售出 y 台.分别用 x，y 表示两种空调的总售价和总利润.A 空调总售价 0.5x 万元，总利润是 0.3x 万元； B 空调总售价 0.7y 万元，总利润是 0.3y 万元.问题3：你能根据上面的等量关系列出方程组解决问题吗?答：所以 A 空调售出 160 台，B 空调售出 180 台.分别求出商品 A，B 的售价.例3 小林在某商店购买商品 A，B 共二次，每次购买商品 A，B 的数量和费用如下表：第一次购物第二次购物购买商品 A的数量/个购买商品B的数量/个购买总费用/元1110114073 65典例精析解：设商品 A 的售价为 x 元，商品 B 的售价为 y 元.答：商品A的售价为90元，商品B的售价为120元.标价 = 进价 + 进价×利润率 = (1十利润率)×进价. 利润 =售价 - 进价 要点归纳1.(扬州中考)《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”，该如何解决呢？解：设鸡有 x 只，兔有 y 只. 由题意，得解此方程组得答：鸡有 23 只，兔有 12 只.练一练 D  返回 ①② D 返回3. 甲、乙两数的和为50，且甲数的2倍比乙数大10，则甲、乙两数分别是( )CA. 30，20B. 10，40C. 20，30D. 40，104. 父子二人，已知10年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，10年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍，则儿子出生时，父亲的年龄是( )AA. 30岁B. 27岁C. 26岁D. 25岁 返回5. 我国交通基础设施建设取得了举世瞩目的成就，建成了全球最大的高速铁路网、高速公路网.这十年，中国铁路、公路一共增加里程约110万公里，其中公路增加里程比铁路增加里程的20倍多0.8万公里，求十年来铁路增加里程和公路增加里程.  返回   返回   返回8.[2024十堰期中] 某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个.已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，则每天安排多少名工人加工大齿轮，才能刚好配套？  返回9.某工厂接到订单生产如图①所示的巧克力包装盒，每个包装盒由3个长方形侧面和2个等边三角形底面组成.仓库有甲、乙两种规格的纸板共2 600张，其中甲种规格的纸板刚好可以裁出4个侧面（如图②），乙种规格的纸板可以裁出3个底面和2个侧面（如图③），裁剪后边角料不再利用.①②③（1）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则两种规格的纸板各有多少张？ （2）用（1）中的纸板一共能生产多少个这样的巧克力包装盒？  返回        返回 40或45或50和差倍分问题销售问题实际问题与二元一次方程组阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086