10.1 二元一次方程组（课件）--2024新人教版七年级数学下册课件

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学1590995488010.1 二元一次方程组学习目标理解二元一次方程、二元一次方程组的概念，能识别二元一次方程和二元一次方程组。掌握二元一次方程的解的含义，知道二元一次方程有无数个解。学会根据实际问题中的数量关系列出二元一次方程组，体会方程模型的应用价值。感受从实际问题到数学模型的转化过程，提升分析问题和解决问题的能力。情境引入实际问题在学校的体育用品商店里，购买 1 个篮球和 1 个排球共需 150 元，购买 2 个篮球和 1 个排球共需 230 元。那么 1 个篮球和 1 个排球的单价分别是多少元？思考这个问题中含有两个未知量：篮球的单价和排球的单价。如果设篮球的单价为 x 元，排球的单价为 y 元，你能根据题意列出相应的等式吗？二元一次方程的概念定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程。构成要素方程中含有两个不同的未知数（通常用 x、y 表示）。含有未知数的项的次数都是 1（即未知数的指数为 1，且未知数不能在分母中）。方程的左右两边都是整式（分母中不含未知数）。示例正确示例：x + y = 150（含有两个未知数 x、y，次数都是 1）；2x + y = 230（符合二元一次方程的定义）。错误示例：x² + y = 5（x 的次数是 2，不是 1）；1/x + y = 3（x 在分母中，不是整式）；x + 2y + z = 6（含有三个未知数）。二元一次方程的解定义使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。记作\(\begin{cases}x = a \\ y = b\end{cases}\)，其中 a、b 分别是未知数 x、y 的值。特征二元一次方程的解是一对有序数对，需同时满足 x 和 y 的值。一个二元一次方程有无数个解，因为给定一个未知数的值，另一个未知数的值可以通过方程求出。示例对于方程 x + y = 150：当 x = 80 时，y = 150 - 80 = 70，所以\(\begin{cases}x = 80 \\ y = 70\end{cases}\)是该方程的一个解。当 x = 70 时，y = 150 - 70 = 80，所以\(\begin{cases}x = 70 \\ y = 80\end{cases}\)也是该方程的一个解。类似地，还可以得到无数个解，如\(\begin{cases}x = 90 \\ y = 60\end{cases}\)、\(\begin{cases}x = 60 \\ y = 90\end{cases}\)等。二元一次方程组的概念定义由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。构成要素方程组中含有两个相同的未知数。每个方程都是二元一次方程。方程组中方程的个数一般为两个（也可以是多个，但初中阶段主要学习由两个方程组成的方程组）。示例正确示例：\(\begin{cases}x + y = 150 \\ 2x + y = 230\end{cases}\)（两个二元一次方程，含有相同未知数 x、y）。错误示例：\(\begin{cases}x + y = 5 \\ x² - y = 3\end{cases}\)（第二个方程不是二元一次方程）；\(\begin{cases}x + y = 2 \\ z + y = 3\end{cases}\)（含有三个未知数）。二元一次方程组的解定义二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。特征方程组的解必须同时满足方程组中的每个方程。一般情况下，一个二元一次方程组有且只有一个解（特殊情况可能无解或有无数个解，后续将学习）。示例对于方程组\(\begin{cases}x + y = 150 \\ 2x + y = 230\end{cases}\)：验证\(\begin{cases}x = 80 \\ y = 70\end{cases}\)是否为解：代入第一个方程：80 + 70 = 150，等式成立。代入第二个方程：2×80 + 70 = 230，等式成立。因此\(\begin{cases}x = 80 \\ y = 70\end{cases}\)是该方程组的解。列二元一次方程组解决实际问题步骤设未知数：找出问题中的两个未知量，用 x、y 表示。找等量关系：分析题意，找出两个能表示问题含义的等量关系。列方程组：根据等量关系列出两个二元一次方程，组成方程组。示例问题：某班去看演出，甲种票每张 24 元，乙种票每张 18 元。如果 35 名学生购票恰好用去 750 元，甲、乙两种票各买了多少张？解答步骤：设甲种票买了 x 张，乙种票买了 y 张。等量关系 1：学生总人数为 35 名→x + y = 35。等量关系 2：购票总费用为 750 元→24x + 18y = 750。列方程组：\(\begin{cases}x + y = 35 \\ 24x + 18y = 750\end{cases}\)。课堂例题例题 1判断下列方程是否为二元一次方程：（1）3x + 2y = 5 （2）x - y² = 2 （3）\(\frac{1}{x}\) + y = 3 （4）x + 3 = 6解答步骤：（1）是二元一次方程（含有两个未知数，次数都是 1）。（2）不是二元一次方程（y 的次数是 2）。（3）不是二元一次方程（x 在分母中，不是整式）。（4）不是二元一次方程（只含有一个未知数）。例题 2写出方程 2x + y = 7 的三个解。解答步骤：当 x = 0 时，y = 7 - 2×0 = 7，解为\(\begin{cases}x = 0 \\ y = 7\end{cases}\)。当 x = 1 时，y = 7 - 2×1 = 5，解为\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 5\end{cases}\)。当 x = 2 时，y = 7 - 2×2 = 3，解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)。例题 3判断下列方程组是否为二元一次方程组：（1）\(\begin{cases}x + y = 3 \\ 2x - y = 1\end{cases}\) （2）\(\begin{cases}x + y = 5 \\ x - z = 2\end{cases}\) （3）\(\begin{cases}x + y = 4 \\ xy = 3\end{cases}\)解答步骤：（1）是二元一次方程组（两个二元一次方程，含相同未知数）。（2）不是二元一次方程组（含有三个未知数）。（3）不是二元一次方程组（第二个方程中 xy 的次数是 2）。例题 4根据题意列出二元一次方程组：某蔬菜公司收购某种蔬菜 140 吨，准备加工后上市销售。该公司的加工能力是：每天可以精加工 6 吨或粗加工 16 吨。现计划用 15 天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？解答步骤：设安排 x 天精加工，y 天粗加工。等量关系 1：总加工天数为 15 天→x + y = 15。等量关系 2：总加工蔬菜 140 吨→6x + 16y = 140。方程组：\(\begin{cases}x + y = 15 \\ 6x + 16y = 140\end{cases}\)。课堂练习练习 1下列方程中，是二元一次方程的是（ ）A. 3x - 2 = 0 B. 2x + y = 1 C. x² + y = 5 D. x + \(\frac{1}{y}\) = 2练习 2写出方程 x - 2y = 3 的两个解。练习 3下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A. \(\begin{cases}x + y = 2 \\ x - z = 3\end{cases}\) B. \(\begin{cases}x + y = 5 \\ xy = 6\end{cases}\) C. \(\begin{cases}x + y = 1 \\ 2x - y = 3\end{cases}\) D. \(\begin{cases}x + \frac{1}{y} = 2 \\ x - y = 1\end{cases}\)练习 4根据题意列方程组：小红买了 3 本练习本和 2 支钢笔，共花了 11 元；小明买了同样的 2 本练习本和 3 支钢笔，共花了 14 元。求练习本和钢笔的单价各是多少元？课堂小结二元一次方程的定义：含有两个未知数，含未知数的项的次数都是 1 的整式方程。二元一次方程的解是一对有序数对，有无数个解。二元一次方程组是由两个含相同未知数的二元一次方程组成的方程组。列方程组的关键是找出两个等量关系，设出两个未知数，列出两个方程。课后作业课本 Pxx 页习题 10.1 第 x、x、x 题。判断下列方程是否为二元一次方程：（1）2x + 3y = 7 （2）x² - y = 1 （3）x + \(\frac{y}{2}\) = 3 （4）3x + 1 = 5已知方程 3x + y = 8，当 x = 2 时，y = ______；当 y = 2 时，x = ______。根据题意列方程组：某校组织学生乘车去春游，若每辆车坐 45 人，则有 15 人没有座位；若每辆车坐 60 人，则恰好空出一辆车。问共有多少辆车？多少名学生？1. 通过提炼实际问题中的数量关系，了解二元一次方程(组)及其解的定义，形成良好的数学思维习惯，锻炼抽象能力.重点：二元一次方程(组)及其解的相关概念.难点：根据简单的实际问题列出二元一次方程组.3.能根据简单的实际问题列出二元一次方程组，加强用数学语言描述现实世界的能力，初步培养模型意识的观念.2. 能够检验一组数是不是某个二元一次方程组的解，提高综合应用能力，培养严谨的解题习惯.1.一元一次方程的概念是什么?答：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解. 答：一元一次方程指只含有一个未知数，且含有未知数的式子都为整式，未知数的次数都为 1 的等式.2.什么叫方程的解?引言：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分．某队在 10 场比赛中得到 16 分，那么这个队胜负场数分别是多少？问题1 :对于上面的情境问题尝试设一个未知数， 列出一元一次方程.二元一次方程组解：设胜 x 场，则负 (10 - x) 场.2x + (10 - x) = 16.解：设篮球队胜了 x 场，负了 y 场.可设一个未知数.可设两个未知数.设两个未知数，我们应该如何列方程呢？胜的场数＋负的场数＝总场数胜场的分数＋负场的分数＝总分数xy2xy162x＋y = 16x＋y = 101211观察下面两个方程，填一填.思考：你能按照一元一次方程的定义尝试总结一下二元一次方程的定义吗？ 上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数 (x 和 y)，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫作二元一次方程.归纳总结追问 1：二元一次方程中的“二元”是指什么?“一次”是指什么?例1 判断下列方程是否为二元一次方程：不是不是是不是不是不是（1）4x+2z+3z = 6 （3）x2+2y = 0 （5）2x2+2x = y+2x2（6）xy + 4 = 0典例精析 (1) 未知数的系数不为 0； (2) 含有未知数的项的次数都是１.例2 已知 |m－1| x|m|＋y2n－1 ＝ 3 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m＋n ＝_____．0| m |＝1 |m－1|≠02n－1 ＝ 1m ＝ －1n ＝ 1m＋n ＝0典例精析1. 若 x2m-1 + 5y3n-2m = 7 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m =____，n =____.112m - 1 = 1 m = 1n = 13n - 2m = 1练一练x＋y = 10，2x＋y = 16 叫做方程组合作探究追问 2：什么叫二元一次方程组? 并举例说明.把这两个方程合在一起合作探究满足方程 x+y =10，且符合问题的实际意义 (胜负的场数) 的值有哪些？把它们填入表中.思考1　如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？方程的解思考2　上述表格中是否存在同时满足方程①和方程②的值呢？公共解1.一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 2. 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.例3 若 是关于 x、y 的方程 x－ky = 1 的一组解，则 k 的值为 .－1将 代入原方程中，则有-2-3k = 1.解得 k = -1典例精析C练一练例4 加工某种产品需经过两道工序，第一道工序每人每天可完成 900 件，第二道工序每人每天可完成 1 200 件. 现有 7 位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件数相等? 请列出符合题意的二元一次方程组.典例精析 BA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 下列方程组中，是二元一次方程组的是( )D  返回 B  返回 A   返回 D  返回 B   返回   返回      返回 DA. 9B. 11C. 13D. 15    二元一次方程①每个方程含有__个未知数；②含有未知数的项的次数______使二元一次方程两边的值____的两个_______的值二元一次方程组①含有__个未知数；②含有未知数的项的次数______；③一共有__个方程二元一次方程组的两个方程的______两都是 1两都是 1两相等公共解未知数阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086