人教版（2024）七年级下册（2024）平方根第1课时教案

这是一份人教版（2024）七年级下册（2024）平方根第1课时教案，共9页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
第1课时 平方根的概念和性质

一、教材分析
本节课是人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册第八章 实数 8.1平方根，内容包括:第1课时平方根的概念和性质.
本节课是在学生学习了有理数以及有理数乘方的基础上来学习平方根，之前的有理数乘方的学习为本节课学习奠定了一定的知识基础，更利于学生找出一个正数的两个平方根.它不仅是对前面所学知识的巩固，也为后面算术平方根的学习奠定了基础.教材通过求具体数字的平方根引入，顺势给出平方根的定义，结合具体例子便于学生理解与掌握平方根的概念，并运用概念，会求一个数的平方根.
基于以上分析，本节课的教学重点是：掌握平方根的概念并会求一个数的平方根.

二、学情分析
本节课平方根学习是建立有理数乘方学习的基础上，由具体数字引入，让学生更加清晰深刻地理解平方根的定义.本节课学生学习的困难之处在于能表示一个数的平方根，理解平方根，正的平方根，负的平方根表示的区别，能在具体题目中理解“±”、“”、“−”这三种所代表的不一样的意义，一题一解让学生对解题技巧和解题步骤有清楚的认知，最后通过拓展训练培养学生综合解题的能力.
基于以上分析，本节课的教学难点为:认识和会表示一个数的平方根.

三、教学目标
1.了解平方根的概念，掌握平方根的特征；
2.能利用开平方与平方互为逆运算的关系，求某些非负数的平方根；
3.经历探索平方根的概念的过程，感受平方根的求法；
4.学生经历由特殊到一般，培养学生观察，归纳，类比的能力，培养学生的分类能力和合作能力，体会数系扩张的实际应用价值.

四、教学重难点
重点：掌握平方根的概念并会求一个数的平方根；
难点: 认识和会表示一个数的平方根.

五、教学过程
本章引入
当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(单位:m/s)时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星. v的大小满足v2=2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8 (单位:m/s2)，R是地球半径，R≈6.4×106 (单位:m).
追问：怎样求v呢?
这就要用到平方根的概念.
随着对于数的认识的不断深入，人们发现，边长为1的正方形的对角线的长度值不是有理数，这就需要引入一种新的数——无理数.实际中对第二宇宙速度等的计算也要用到无理数.
在本章中，我们要学习以下内容：
①学习平方根与立方根；
②在此基础上引入无理数，把数的范围从有理数扩充到实数；
③类比有理数，引入实数在数轴上的表示和实数的运算，从中进一步感悟数系扩充的过程，并用这些知识解决一些实际问题.
情境导入
情境1：小明家装修房间时需铺地垫 10.8m2，刚好用去正方形的地垫 30 块，小明想知道每块地垫的边长,该怎么计算呢?
师生活动：教师提出问题，学生思考并回答问题.教师提示有时候需要找一个数，使得它的平方等于给定的数.引出课题.
分析：先计算出每块地垫的面积，再根据每块地垫的面积算出边长.
解：10.8÷30=0.36(m2)
因为0.62=0.36，所以正方形地垫的边长为0.6m.
情境2：小明的爸爸看中了一款正方形餐桌，可是不知道边长是多少.小明看见桌子标签显示面积100后，告诉爸爸餐桌的边长是10.这是怎么计算出来的呢？
答：因为102=100.
追问：已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方.反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢?
设计意图：回顾已学，用熟悉的情景问题吸引学生的注意力，激发学习自信.通过问题解决，从中感悟到有必要学习一种新的运算，进而引入平方根的概念及表示方法.
探究新知
活动一：探究平方根的概念
问题1：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少?
师生活动：老师提出问题，学生思考并回答问题.教师鼓励学生将思考过程用语言进行描述.
答：32=9，这个数可以是3；
追问：除了3以外，还有没有别的数的平方等于9呢?
答：(-3)2=9，这个数也可以是-3；
除 3，-3以外，任何一个数的平方都不等于9.
因此，如果一个数的平方等于 9，那么这个数是3或-3.
追问：3和3有什么特征？
答：互为相反数.
设计意图：层层深入，让学生自主探究，发展发散性思维.有效地吸引学生的注意力，激发学生的求知欲.
问题2：根据上面的探究结果填写下表：
师生活动：选取几个小组，让他们派代表到黑板上填写表格，然后组织其他小组的学生进行点评，指出不足之处，最后教师进行总结和补充，强调每个空需要填写两个数，且这两个数互为相反数.
答：
一般地，如果一个数 x 的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根.例如：3 和 3都是9的平方根.
x2=a x叫作a的平方根
提示：通常把3和-3合在一起简记为“±3”.
已知一个数，求它的平方的运算，叫做平方运算.反之，已知一个数的平方，求一个数的平方根的运算，叫作开平方.
设计意图：培养学生观察图表获取信息的能力，培养数感和自主探究的习惯.让学生从中感悟到存在一种新的运算，进而引入平方根的概念及表示方法、开平方概念.
问题3：观察框图，说一说平方运算和开平方运算具有怎样的关系？
师生活动:学生独立思考后小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论.
答：平方运算和开平方运算互为逆运算.
根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根.
设计意图:巩固开平方的概念，掌握开平方的运算，锻炼学生的观察总结能力.
活动二：探究平方根的性质
问题4：思考回答下列问题：
(1) 121的平方根是什么？
(2) 0的平方根是什么？
(3) 1649 的平方根是什么？
(4) -9有没有平方根？为什么？
师生活动:学生独立思考，选四位学生回答问题，其他同学判断正误.
答：(1) ±11 (2)0 (3) ±47 (4)没有，因为一个数的平方不可能是负数.
设计意图:让学生体验正数、负数和0的平方根的个数及其关系，加深对平方根的理解和掌握，同时培养学生的说理能力，为后续学习打下基础.
问题5：通过上面的题目请回答：正数的平方根有什么特点？0 的平方根是多少？负数有平方根吗？
师生活动:通过学生思考，合作交流，探究，师生共同进行总结归纳平方根性质
答：①正数有两个平方根，它们互为相反数；
②因为 02=0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根是0.
③正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方是0，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根.
归纳：平方根的性质：
①正数有两个平方根，它们互为相反数；
②0的平方根是0；
③负数没有平方根.
注意：平方根等于本身的数只有0.
设计意图:梳理所学，巩固学生对平方根及其性质的认识和理解，培养自主学习及合作交流的能力.
活动三：探究平方根的表示方法
正数a的正的平方根记为“a” ，读作“根号a”，a叫作被开方数；正数a的负的平方根可以用“−a ”表示.
正数 a 的平方根表示为：=±a 读作：“正、负根号 a”.
例如：±9表示9的平方根，±9=±3.
注意：0的平方根记为0 .
问题6：只有当a 大于或等于0时，a有意义；而当a小于0时，a没有意义，为什么?
答：当x2=a时，x=±a . 因为任何数的平方一定大于或等于0，所以根号下的数小于0无意义.
即当a 大于或等于0时，a 有意义； a＜0 时，a无意义.
总结：a的双重非负性：1.被开方数a≥0 2.正数a的正的平方根a≥0
设计意图：经历概念形成的过程，发展学生观察、分析、抽象、概括等思维能力并树立应用意识.
应用新知
【教材例题】
例1 求下列各数的平方根:
(1) 64 ； (2) 9100 ； (3) 0.01.
师生活动:学生独立完成解题过程，教师点评，规范格式.
分析：想求一个数的平方根，就想谁的平方等于它.
解:(1)因为(8)2 = 64，所以 64 的平方根是8；
(2) 因为 3102=9100 ，所以 9100 的平方根是310 ；
(3)因为(0.1)2 = 0.01，所以 0.01 的平方根是0.1.
例2 下列各数有平方根吗?如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由.
(1) 0.36 ； (2) -5； (3) (-4)2.
分析：根据平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根进行解答.
解：(1)因为 0.36 是正数，所以 0.36 有两个平方根，±0.36=±0.6;
(2) 因为-5是负数，所以 -5 没有平方根;
(3)因为(-4)2 = 16是正数，所以 (-4)2 有两个平方根，±−42=±16=±4.
教师活动：在黑板上展示例题，引导学生思考如何找出一个数的平方根.提示学生观察式子的特点，尝试将一个数变为某个数的平方的形式，讲解完后，询问学生是否理解每一步的操作，鼓励学生提出疑问.
设计意图：通过两个例题，再次深入地理解平方根概念,会熟练进行有关平方根的计算.培养学生分析问题、解决问题的能力以及逻辑思维能力.
【经典例题】
例3 求下列各数的平方根:
(1) -42 ； (2) 214 ； (3) 11.
分析：平方根的概念：如果一个数 x 的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根，表示为±a.根据平方根的定义来求解.
解:(1)因为任何数的平方都是非负数，-42 是负数，没有平方根；
(2) 因为(32)2=94=214，所以 214的平方根是32 ；
注意：求一个数的平方根可将带分数化为假分数!
(3)11的平方根是±11 .
注意：非平方数的平方根只能用含根号的式子表示.
总结：求一个正数的平方根主要分两步：
(1)找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个；
(2)根据平方根的定义写出这个正数的平方根.
例４ 解下列方程
(1) 4(2x -1)2 =36； (2) (2x -3)2 =(-7)2
分析：把方程变形为x2 = a的形式，然后根据平方根的定义求解即可.
解:(1)原方程可变形为：
(2x -1)2 =9
因为(3)2 = 9
所以2x -1=3或2x -1= -3
解得：x =2或x = -1
(2)因为(7)2 = (-7)2
所以2x -3=7或2x -3= -7
解得：x =5或x = -2
思路点拨：
师生活动：学生先独立思考再作答.
设计意图：通过典型例题让学生巩固新知，培养学生逻辑思维能力，锻炼学生的推理能力，教师规范写出解答过程，给学生一个良好的示范过程.
课堂练习
【教材练习】
1.判断题.
(1)1的平方根是1; (2)-1的平方根是-1;
(3)0.5是0.25的一个平方根; (4)0的平方根是 0.
解：(1)× (2) × (3)√ (4)√
2.求下列各数的平方根:
(1) 6481 ； (2) 62 ； (3) 0.49.
解：:(1)因为(89)2 = 6481，所以 6481 的平方根是89；
(2) 因为(6)2 = 62，所以62的平方根是6 ；
(3)因为(0.7)2 = 0.49，所以0.49的平方根是0.7.
3.求下列各式中x的值：
(1) x2 =25; (2) 9x2 =4; (3) (x-1)2 =1
解:(1)因为x2 =25，
解得：x =5或x = -5;
(2)原方程变形为：x2 = 49，
因为(23)2 = 49，
解得：x = 23或x = - 23;
(3)因为(1)2 =1
所以x -1=1或x -1= -1
解得：x =2或x = 0.
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加强学生对平方根的概念及其性质的掌握，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力.
【限时训练】
1.一个数的平方根与它本身相等，这个数是( )
A.-1 B.0 C.1 D.4
答：B
2.若x的平方等于3，则x等于( )
A.9 B.-3 C. ±3 D.9
答：C
3.49的平方根是( )
A.7 B.-7 C. ±7 D.7
答：C
4.已知|a|=3，b2=16，且a>b，则a+b的值为( )
A.1或7 B.-1或7 C.1或-7 D.-1或-7
分析：解:因为|a|=3，b2=16，
所以a=3，b= 4，
因为a>b，所以a=3，b= -4，
所以a+b=3+(-4)=-1，或a+b=-3+(-4)=-7,
故选:D.
答：D.
5.已知正数a的两个平方根分别是x-5和2x-1，b−3与3−b互为相反数，求a+2b的值.
分析：根据正数a的两个平方根分别是x-5和2x-1得到x-5+2x-1=0，求出x，即可得到a;
根据相反数的定义结合a 的双重非负性，求出b，再代入求值即可.
解:∵正数a的两个平方根分别是x-5和2x-1，
∴x-5+2x-1=0，解得:x=2.
∴a=(2-5)2=9.
∵b−3 与3−b 互为相反数，
∴b−3 + 3−b=0
∴b−3=0 ，3−b=0
∴b=3，
∴a+2b=9+6=15.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.平方根的概念是什么？
3.平方根的表示方法是什么？
4.平方根的性质有哪几条？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
同桌两人互相给对方出几道求一个数的平方根的计算题，看谁做的又快又对！
六、板书设计

七、教学反思
1.注重概念的直观化呈现.在课程开始阶段，利用具体实例，生动展示了平方运算与平方根的逆运算之间的关系，使抽象的数学概念变得形象易懂.这样既符合学生的认知发展规律，也提高了他们对新知识的理解深度.帮助学生建立扎实的数学基础知识，并培养其逻辑思维与解决问题的能力.平方根作为代数的基础概念，对于后续诸如二次方程解法、函数以及立体几何等相关知识的学习至关重要.因此，在教学中，力求让学生深刻理解平方根的概念本质及其在实际生活中的应用价值，不仅要求他们记住定义，更强调对其内涵的领悟.
2.在探究平方根性质的过程中，采取了启发式教学法，鼓励学生自主探索、合作交流.设计了一系列富有层次的问题链，引导学生逐步发现并归纳平方根的性质，如非负性等，从而锻炼了他们的逻辑推理能力和独立思考能力.
3.在课堂组织上采用小组讨论、同伴互评的方式，促进学生间的互动交流和合作学习，让每个学生都有机会发表见解、解答疑惑，从而共同提升整体效果.
4.为了保证全体学生能够跟上节奏，特别关注课堂节奏的把控和个体差异的关注，尽量兼顾不同层次学生的学习需求，适时调整讲解速度和难度，提供有针对性的辅导和反馈.