初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）平行线的性质精品导学案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）平行线的性质精品导学案，共23页。学案主要包含了相交线，平行线及其判定，平行线的性质，定义，平移等内容，欢迎下载使用。
1. 相交线的概念：一般地，有一个公共点的两条直线叫作相交线，两条直线相交有且只有一个交点。
2. 邻补角
- 定义：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为邻补角。
- 性质：邻补角互补（两角和为180°）。
- 易错点：邻补角形成的前提是两条直线相交；互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有2个，补角有无数个。
3. 对顶角
- 定义：两个角有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角。
- 性质：对顶角相等（重点，常考角度计算）。
- 易错点：对顶角形成的前提是两条直线相交；相等的角不一定是对顶角。
4. 垂线
- 定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是90°时，这两条直线互相垂直（记作“a⊥b”），其中一条直线是另一条的垂线，交点叫作垂足。
- 性质：① 若两直线垂直，则四个交角均为90°；反之，交角为90°则两直线垂直。② 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（易错点：缺少“同一平面内”则不成立）。
- 画法（三步骤）：“落”（让直角三角板的一条直角边与已知直线重合）、“移”（沿已知直线移动三角板，使另一条直角边经过目标点）、“画”（沿不重合的直角边画直线）。
5. 垂线段与点到直线的距离
- 垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段叫作垂线段。
- 基本事实：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称“垂线段最短”）。
- 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（注意：距离是数量，不是图形，不能“画出距离”）。
经典例题
例题1：如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC=50°，求∠BOD、∠AOD的度数。
解析：① 由对顶角的性质可知，∠BOD与∠AOC是对顶角，因此∠BOD=∠AOC=50°；② ∠AOD与∠AOC是邻补角，根据邻补角互补的性质，∠AOD=180°-∠AOC=180°-50°=130°。
答案：∠BOD=50°，∠AOD=130°。
例题2：下列说法正确的是（ ）
A. 互补的两个角一定是邻补角 B. 对顶角相等，相等的角一定是对顶角 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 垂线段最短
解析：A选项，互补的两个角不一定是邻补角（如两个独立的直角，和为180°但无公共边和反向延长线），错误；B选项，相等的角不一定是对顶角（如两个等腰三角形的底角），错误；C选项，缺少“同一平面内”的前提，错误；D选项，符合垂线段的基本事实，正确。
答案：D
二、平行线及其判定
1. 平行线的概念
- 定义：同一平面内，不相交的两条直线互相平行（记作“a∥b”）。
- 注意：同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交或平行。
2. 平行线的基本事实与推论
- 基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
- 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（即a∥b，b∥c，则a∥c）。
3. 平行线的画法（四步骤）：“落”（将三角板的一边落在已知直线上）、“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边）、“推”（保持直尺不动，沿直尺推动三角板，使与已知直线重合的边经过目标点）、“画”（沿三角板经过目标点的边画直线）。
4. 同位角、内错角、同旁内角（三线八角）
- 定义：两条直线被第三条直线（截线）所截形成的角，需先明确“两条被截线”和“第三条截线”，避免被表面位置迷惑。
- 同位角：在截线同侧，被截线同一方向（呈“F”型）。
- 内错角：在截线两侧，被截线之间（呈“Z”型）。
- 同旁内角：在截线同侧，被截线之间（呈“U”型）。
5. 平行线的判定方法（重点，必考证明）
- 判定1：同位角相等，两直线平行；
- 判定2：内错角相等，两直线平行；
- 判定3：同旁内角互补，两直线平行；
- 推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
- 易错点：勿混淆判定条件，如“同旁内角相等”不能判定两直线平行。
经典例题
例题1：如图，直线EF截AB、CD于点G、H，∠1=70°，∠2=110°，求证：AB∥CD。
解析：方法一（同旁内角互补）：∠1与∠2是同旁内角，已知∠1=70°，∠2=110°，则∠1+∠2=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得AB∥CD。
方法二（内错角相等）：∠1的对顶角∠3=∠1=70°，则∠3+∠2=180°，可推出∠2的内错角∠4=70°（邻补角性质），因此∠3=∠4，根据“内错角相等，两直线平行”，可得AB∥CD。
证明：∵ ∠1=70°，∠2=110°（已知），∴ ∠1+∠2=180°（等式性质），∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。
例题2：下列图形中，∠1与∠2是内错角的是（ ）
（选项提示：A. 呈“F”型 B. 呈“Z”型 C. 呈“U”型 D. 无公共截线）
解析：内错角的特征是“截线两侧，被截线之间，呈Z型”。A选项是同位角，C选项是同旁内角，D选项无公共截线，不是三线八角中的角，只有B选项符合内错角定义。
答案：B
三、平行线的性质
1. 核心性质（重点，与判定区分）
- 性质1：两直线平行，同位角相等；
- 性质2：两直线平行，内错角相等；
- 性质3：两直线平行，同旁内角互补。
2. 关键区别：判定是“由角的关系推线平行”，性质是“由线平行推角的关系”，避免颠倒使用（如误将“两直线平行，同位角相等”用于判定两直线平行）。
3. 折线（拐角）问题解法：核心思路是经过拐点作已知平行线的平行线，利用“平行于同一直线的两直线平行”，将未知角转化为同位角、内错角或同旁内角求解。
经典例题
例题1：已知AB∥CD，EF交AB于点E，交CD于点F，∠AEF=60°，求∠DFE的度数。
解析：∵ AB∥CD（已知），∴ ∠AEF与∠DFE是内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠DFE=∠AEF=60°。
答案：60°
例题2：如图，AB∥CD，∠B=120°，∠C=60°，求证：BC∥DE。
解析：∵ AB∥CD（已知），∴ ∠B+∠C=120°+60°=180°（两直线平行，同旁内角互补）。又∵ ∠C=∠D（已知或图中隐含条件），∴ ∠B+∠D=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得BC∥DE。
证明：∵ AB∥CD（已知），∴ ∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∵ ∠B=120°，∠C=60°（已知），∴ ∠C=60°，又∵ ∠D=60°（图中隐含），∴ ∠C=∠D（等量代换），∴ BC∥DE（内错角相等，两直线平行）。
例题3：如图，AB∥CD，∠1=110°，∠2=130°，求∠3的度数。（折线问题）
解析：过点E作EF∥AB，∵ AB∥CD（已知），∴ EF∥CD（平行于同一直线的两直线平行）。∵ EF∥AB，∠1=110°，∴ ∠AEF=180°-110°=70°（两直线平行，同旁内角互补）；∵ EF∥CD，∠2=130°，∴ ∠CEF=180°-130°=50°（两直线平行，同旁内角互补）。∴ ∠3=180°-∠AEF-∠CEF=180°-70°-50°=60°。
答案：60°
四、定义、命题、定理
1. 定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确规定的语句叫作定义。
2. 命题
- 定义：可以判断为正确（真）或错误（假）的陈述语句叫作命题（疑问句、画图语句、无判断语句不是命题）。
- 分类：真命题（正确的命题）、假命题（错误的命题）。
- 组成：每个命题由题设（已知事项）和结论（由已知事项推出的事项）组成，可改写为“如果……那么……”的形式（“如果”后接题设，“那么”后接结论）。
3. 定理与证明
- 定理：正确性经过推理证实的真命题叫作定理（定理是真命题，但真命题不一定是定理）。
- 证明：判断一个命题正确性的推理过程叫作证明。
- 证明步骤：① 画图；② 写已知、求证；③ 推理推导结论，每一步需有依据。
- 假命题的反驳：举反例（符合题设但不符合结论的例子，例子需简洁）。
经典例题
例题1：下列语句中，属于命题的是（ ）
A. 画一条直线 B. 对顶角相等吗？ C. 两直线平行，同位角相等 D. 温柔的春风
解析：命题是“可以判断真假的陈述语句”。A是画图语句，B是疑问句，D是描述性语句，均不能判断真假，不属于命题；C是可以判断为真的陈述语句，属于命题。
答案：C
例题2：把命题“内错角相等，两直线平行”改写为“如果……那么……”的形式，并判断其真假。
解析：改写时，“如果”后接题设（内错角相等），“那么”后接结论（两直线平行）；该命题是平行线的判定定理，为真命题。
答案：如果两个角是内错角且相等，那么这两条被截的直线平行；真命题。
例题3：举反例说明命题“相等的角是对顶角”是假命题。
解析：反例需满足“相等的角”（题设），但“不是对顶角”（不符合结论）。例如：等腰三角形的两个底角相等，但这两个角不是对顶角；或两直线平行，同位角相等，但同位角不是对顶角。
答案：反例：等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角（答案不唯一）。
五、平移
1. 平移的概念与条件
- 定义：平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这种图形运动叫作平移。
- 决定条件：平移的方向和距离。
2. 平移的性质（重点）
- 性质1：新图形与原图形的形状和大小完全相同；
- 性质2：对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等；
- 性质3：连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。
3. 平移作图步骤：① 确定原图形的关键点；② 按平移方向和距离移动各关键点，得到对应点；③ 顺次连接对应点，得到平移后的图形。
4. 实际应用：常用于求不规则图形的面积、周长，核心是通过平移转化为规则图形（如长方形、三角形）求解。
经典例题
例题1：如图，将三角形ABC沿AB方向平移3个单位长度得到三角形A'B'C'，已知AB=5，BC=4，∠B=60°，求A'B'、B'C'的长度及∠B'的度数。
解析：根据平移的性质，平移不改变图形的形状和大小，对应线段相等，对应角相等。∴ A'B'=AB=5，B'C'=BC=4，∠B'=∠B=60°。
答案：A'B'=5，B'C'=4，∠B'=60°。
例题2：求下图中不规则图形的面积（单位：cm），已知图形中水平线段最长为8cm，竖直线段最长为5cm。
解析：通过平移不规则图形的边，可将其转化为一个长方形。长方形的长为8cm，宽为5cm，根据长方形面积公式S=长×宽，可得面积=8×5=40（cm²）。
答案：40cm²