初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）平行线的性质教学演示课件ppt

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7.2.3（第1课时）平行线的性质
画两条平行线 a//b，然后画一条截线 c 与 a，b 相交，标出如图所示的角. 度量所形成的 8 个角的度数，把结果填入下表：
∠1， ∠2，⋯，∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系？
猜想： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
再任意画一条截线 d，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？
如果两直线不平行，上述结论还成立吗？
平行线性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说就是：两直线平行，同位角相等.
符号语言：∵ l1∥l2（已知）∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）
演绎推理，发现平行线的其它性质
已知：如图，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，AB∥CD．∠1 和∠2 有什么关系？
∵AB∥CD，∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）∠1=∠3（对顶角相等）∴∠1=∠2.
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.
几何语言：∵ AB∥CD，（已知）∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）
已知：如图，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，AB∥CD．求∠2+∠4 度数是多少？
∵AB∥CD，∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）∠3+∠4 = 180°（已知）∴∠2+∠4 = 180°.
两条平行线被第三条线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
几何语言：∵ AB∥CD，（已知）∴∠2+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）
平行线的判定和性质的区别和联系:
同位角相等，两直线平行;
内错角相等，两直线平行;
同旁内角互补，两直线平行.
两直线平行，同位角相等;
两直线平行，内错角相等;
两直线平行，同旁内角互补.
（1）性质：根据两条直线平行，去证角的相等或互补．
（2）判定：根据两角相等或互补，去证两条直线平行．
联系：它们的条件和结论是互逆的.
区别：性质与判定要证明的问题是不同的．
在下列解答中，填上适当的理由: （1）∵AD // BC (已知)， ∴ ∠1 = ∠B（ ）； （2）∵AB // CD (已知)， ∴ ∠1 = ∠D（ ）.
两直线平行，同位角相等
在下列解答中，填空: （1）∵AD // BC (已知)， ∴( ) + ∠ABC = 180° (两直线平行，同旁内角互补); （2）∵ AB // CD (已知)， ∴∠ABC + ( ) = 180° (两直线平行，同旁内角互补).
如图，已知直线 a∥b，∠1=46°，求∠2的度数.
解：∵a∥b（已知），∴∠2=∠1（两直线平行，内错角相等）.∵∠1=46°（已知），∴∠2=46°（等量代换）.
如图，AB//CD，BC//AE，∠1 =50°，求∠A，∠B，∠C 的度数.
解：∵ AB//CD，∴∠A=∠1=50°.∵BC//AE，∴ ∠C=∠1=50°， ∠A +∠B= 180°∴ ∠B=180°-∠A= 130°.
法二：∵ BC//AE，∴ ∠C=∠1=50°.∵ AB//CD，∴ ∠A =∠1=50°，∠C+∠B= 180°，∴ ∠B =180°-∠C = 130°.
如图，在四边形 ABCD 中 ，AB // CD，∠B = 60°，求∠C 的度数. 你还能否求得 ∠A 的度数？
解：∵AB// CD (已知)，∴∠B+∠C = 180°(两直线平行，同旁内角互补)∵∠B = 60°(已知)，∴∠C = 180°-∠B = 120°(等式的性质).根据题目的已知条件，无法求出 ∠A 的度数.
解：(1)根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG=48°，∴ 从 B 地测得公路的走向是南偏西 48°.
如图，在 A，B 两地之间要修一条笔直的公路，从 A 地测得公路走向是北偏东 48°，A，B 两地同时开工，若干天后公路准确接通.(1)从 B 地测得公路的走向是南偏西多少度?
如图，在 A，B 两地之间要修一条笔直的公路，从 A 地测得公路走向是北偏东 48°，A，B 两地同时开工，若干天后公路准确接通.(2)若公路 AB 长 8 km，另一条公路 BC 长 6 km，且从 B 地测得公路 BC 的走向是北偏西 42°，试求 A 地到公路 BC 的距离.
解：(2)∵ ∠ABC=180°-∠ABG -∠EBC=180°-48°-42°=90°，∴ AB⊥BC，∴ AB 的长度就是点 A 到直线 BC 的距离.∵ AB =8 km， ∴ A 地到公路 BC 的距离是 8 km.
如图,已知AB∥CD,∠ABD的平分线BF和∠BDC的平分线DE交于点E,BF交CD于点F.(1)求∠1+∠2的度数;
解:(1)因为BF,DE分别平分∠ABD和∠BDC,所以∠ABD=2∠1,∠BDC=2∠2.因为AB∥CD,所以∠ABD+∠BDC=180°,即2∠1+2∠2=180°,所以∠1+∠2=90°.
如图,已知AB∥CD,∠ABD的平分线BF和∠BDC的平分线DE交于点E,BF交CD于点F.(2)若∠2=40°,求∠3的度数.
(2)因为∠2=40°,由(1)知∠1+∠2=90°,所以∠1=90°-∠2=50°.因为AB∥CD,所以∠1+∠3=180°,所以∠3=180°-∠1=130°.
【课题学习】平行线的“等角转化”功能.  【问题解决】(1)阅读并补充上述解题过程.【解题反思】从上面的解题过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将∠BAC,∠B,∠C“凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决.
∠EAB 　∠DAC
【方法运用】(2)如图,已知AB∥CD,∠BEC=80°,求∠B-∠C的度数.(提示:过点E作AB或CD的平行线)
(2)如图,过点E作HE∥AB,∵AB∥CD,∴HE∥CD,∴∠B+∠BEH=180°,∠HEC=∠C,∴∠B+∠BEH+∠HEC=180°+∠C,∴∠B-∠C=180°-∠BEC=180°-80°=100°.
(3)如图2,过点E作EM∥AB,过点F作FN∥CD,∵AB∥CD,∴AB∥ME∥CD∥FN,∵BF平分∠ABE,CG平分∠ECD,∴∠ABF=∠EBF,∠ECG=∠DCG.设∠ABF=∠EBF=α,∠ECG=∠DCG=β,∵AB∥ME∥CD∥FN,∴∠BFN=∠ABF=α,∠CFN=∠GCD=β,∠BEM+∠ABE=180°,∠MEC=∠ECD=2β,∴∠BEM=180°-2α,∵∠BEM+∠MEC=∠BEC=80°,∴180°-2α+2β=80°,∴α-β=50°,∴∠BFG=∠BFN-∠CFN=α-β=50°.
【深化拓展】(3)如图,已知AB∥CD,BF,CG分别平分∠ABE,∠DCE,且所在直线交于点F,∠BEC=80°,则∠F的度数为　　　　. 
两直线平行，同位角相等.
两直线平行，内错角相等.
1.如图,直线a∥b,c是截线,若∠1=45°,则∠2= (　　)A.40° B.45° C.50° D.55°
2.如图,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点M,N,将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放,若∠EMB=80°,则∠PNM等于 (　　)A.15° B.25° C.35° D.45°
3. 如图,平行线AB,CD被直线EF所截,FG平分∠EFD,若∠EFD=72°,则∠EGF的度数是 (　　)A.36° B.35° C.72° D.115°
4.一杆古秤在称物时的状态如图所示,已知∠1=78°,则∠2= (　　)A.22° B.78° C.102° D.122°
5.如图，两条平行线 a、b 被第三条直线 c 所截. 若 ∠1 = 52°， 那么∠2 =_______，∠3 =_______，∠4 =________.
6.如图，AB//CD，直线 EF 分别交 AB，CD 于 M，N 两点，将一个含有 45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB =75°，则∠PNM = .
7.如图，已知 a//b，那么2 与3 相等吗？为什么?
解：∵ a∥b，(已知)∴∠1=∠2.(两直线平行，同位角相等)又∵ ∠1=∠3，(对顶角相等)∴ ∠2=∠3.(等量代换)
8. 如图，已知直线 a∥b，∠3 = 131°，求 ∠1、∠2 的度数.抄写下面的解答过程，并填空 （理由或数学式）.解: ∠3 = 131°（ ），又∵∠3 = ∠1（ ），∴∠1 = （ ）.∵a // b（ ）， ∴∠1 +∠2 = 180°（ ）.∴∠2 = （等式的性质）.
两直线平行，同旁内角互补
9.如图，已知AE//CF，AB//CD，∠A＝40，求∠C 的度数.
解：∵ AE//CF (已知)∴ ∠A=∠1(两直线平行，同位角相等)又∵AB//CD (已知)∴ ∠1=∠C (两直线平行,同位角相等)∴ ∠A=∠C (等量代换)∵ ∠A＝40∴ ∠C＝40
10.如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？
解：∵梯形上、下底互相平行，∴∠A 与∠D 互补,∠B 与∠C 互补.
即梯形的另外两个角分别是 80°，65°.
∴∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°， ∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°.