七年级人教版数学下册复习 专题01 相交线与平行线（8个知识点+7个核心考点+复习提升）（解析版）

这是一份七年级人教版数学下册复习 专题01 相交线与平行线（8个知识点+7个核心考点+复习提升）（解析版），共65页。学案主要包含了邻补角的概念与性质，对顶角的概念与性质，垂直的定义，垂线的画法及性质，垂线段最短，点到直线的距离，命题与证明综合应用，知识点8 平移等内容，欢迎下载使用。
串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢
重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺
举一反三：核心考点能举一反三，能力提升
复习提升：真题感知+提升专练，全面突破
【知识点1 两条直线相交】
【邻补角的概念与性质】
1.相交线：有一个公共点的两直线是相交线.
2.定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角.
3.性质：邻补角互补.
【对顶角的概念与性质】
1.定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.
2.性质：对顶角相等.
【典例1】如图直线AB,CD,EF相交于点O，是∠AOC的邻补角是 ，∠DOA的对顶角是 ，若∠AOC=50°，则∠BOD= 度，∠COB= 度．
【分析】由题意得，∠AOC的邻补角是∠AOD或∠BOC；∠DOA的对顶角是∠BOC，
∵∠AOC=50°，
∴∠BOD=∠AOC=50°，∠COB=180°−∠AOC=130°；
故答案为：∠AOD、∠BOC；∠BOC；50；130．
【知识点2 两条直线垂直】
【垂直的定义】
1.定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线
叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O.
【垂线的画法及性质】
1.垂线的画法：有一个公共点的两直线是相交线.
一“落”：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合
二“移”：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点
三“画”：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线.
2.垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【典例2】已知三角形ABC，用直角三角板过点A作直线BC的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】选项A中三角板过点A，但不垂直BC，故不符合题意；
选项B中三角板过点A，且垂直BC，故符合题意；
选项C中三角板不过点A，故不符合题意；
选项D中三角板过点A，但不垂直BC，故不符合题意，
故选：B．
【垂线段最短】
1.垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫作垂线段.
2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成垂线段最短.
【典例3】如图，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）
A．4.5B．4.8C．5D．6
【分析】∵点到直线的距离，垂线段最短，
∴当PC⊥AB时，PC的值最小，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，
∴12AB⋅PC=12AC⋅BC，即：10PC=6×8，
∴PC=4.8，
故选：B．
【点到直线的距离】
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【典例4】在下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线OB的距离的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】因为A选项中PQ垂直于OB，所以线段PQ的长表示点P到直线OB的距离的是A选项．
故选：A．
【知识点3 两条直线被第三条直线所截】
1.同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）
的同旁，则这样一对角叫做同位角．
2.内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）
的两旁，则这样一对角叫做内错角．
3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截
线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
【典例5】如图所示的八个角中，同位角有 对，内错角有 对，同旁内角有 对．
【分析】同位角有∠1与∠7，∠2与∠8，∠4与∠6，共3对，
内错角：∠3与∠4，∠1与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8，共4对；
同旁内角：∠1与∠6，∠2与∠5，∠2与∠4，∠4与∠5，共4对；
故答案为：3；4；4．
【知识点4 平行线的概念】
【平行线的定义及平面内两直线的位置关系的判定】
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
【平行线的基本事实及其推论】
（1）平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【典例6】已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个判断：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥c，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号）
【分析】①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，正确；
②如果b∥c，c∥a，那么b∥c，正确；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，错误，应该是b∥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，正确．
故答案为：①②④．
【知识点5 平行线的判定】
定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，
两直线平行．
定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两
直线平行．
定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互
补，两直线平行．
注意：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
【典例7】如图，下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠5；④∠1+∠ACE=180°；⑤∠5=∠D．其中，能判定AD∥BE的条件有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】①∵∠1=∠2，∴AD∥BE，故①符合题意；
②∵∠3=∠4，∴AB∥CD，故②不符合题意；
③∵∠B=∠5，∴AB∥CD，故③不符合题意；
④∵∠1+∠ACE=180°，∴AD∥BE，故④符合题意；
⑤∵∠5=∠D，∴AD∥BE，故⑤符合题意；
综上所述，正确的有①④⑤，共3个，
故选：C．
【知识点6 平行线的性质】
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
【典例8】如图，OP∥QR∥ST，若∠2=100°，∠3=120°，则∠1= ．
【分析】∵OP∥QR∥ST，
∴∠SRQ=∠3=120°，
∠PRQ=180°−∠2=180°−100°=80°，
∴∠1=∠SRQ−∠PRQ=120°−80°=40°．
故答案为：40°
【知识点7 定义、命题、定理】
命题的定义：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题．
命题的真假：被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题．
命题的组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.通常可以写成“如果……那么……”的形式.“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论 .
举反例：要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子就可以了.像这样的例子叫作反例.
【命题与证明综合应用】
（1）定理：有些真命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理.如“对顶角相等”“平行于同一直线的两条直线平行”都可以看作定理.
（2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明，如本章我们做过的一些证明题，其过程就是在证明.
（3）证明的一般步骤是：1.根据题意画:出图形；2.个依据题设、结论，结合图形写出已知、求证；3.个经过分析，由已知条件推出结论，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径，然后书写证明过程.证明的过程就是用已经学过的知识有理有据地推出结论.证明同一个命题可能会有多种方法.
【典例9】命题：互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角．
(1)将该命题改写成“如果……，那么……”的形式；
(2)该命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例．
【分析】（1）解：由题意得：如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角；
（2）解：该命题是假命题，反例为两个直角相加也为180度．
【知识点8 平移】
【平移定义】
1.定义：一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移．
2.平移的条件：决定平移的条件是平移的方向和平移的距离.
【平移的性质】
（1）平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同.
（2）平移后，新图形和原图形对应线段平行(或共线)且相等；对应角相等；对应点所连线段平行(或共线)且相等.
【平移作图】
（1）定：确定平移的方向和距离；
（2）找：找出原图形中的关键点；
（3）移：过关键点作平行或在同一条直线上且相等的线段得到关键点平移后的对应点；
（4）连：按原图形顺序依次连接各个对应点得到的图形即为平移后的图形.
【典例10】如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，若平移距离为7，则阴影部分面积为 ．
【分析】由平移的性质知，BE=7，DE=AB=10，
∴OE=DE−DO=10−4=6，
∵平移，∴S△ABC=S△DEF，
∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=12AB+OE⋅BE=12×10+6×7=56，
故答案为：56．
考点一：相交线中的角度计算
例1．如图所示，直线AB,CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，已知∠AOC:∠EOC=1:4．
(1)若OF平分∠BOE，求∠COF的度数；
(2)若∠AOF的度数比∠EOF的度数的3倍多54°，试判断OC与OF垂直吗，并说明理由．
【分析】本题主要考查垂直判定和性质，角平分线的定义，几何中角度的计算，一元一次方程解角度问题，理解图示，掌握角度的和差计算是关键．
（1）根据垂直及角的比例关系得到∠AOC=90°×11+4=18°,∠EOC=41+4×90°=72°，，由角平分线的定义得到∠EOF=∠BOF=12∠BOE=45°，由∠COF=∠COE+∠EOF=78°+45°=123°即可求解；
（2）设∠EOF=x，则∠AOF=3x+54°，则3x+54°=90°+x，由此得到x=18°，则∠COE+∠EOF=90°由此即可求解．
【详解】（1）解：∵EO⊥AB，
∴∠AOC+∠EOC=∠AOE=∠BOE=90°，
∵∠AOC:∠EOC=1:4，
∴∠AOC=90°×11+4=18°,∠EOC=41+4×90°=72°，
若OF平分∠BOE，则∠EOF=∠BOF=12∠BOE=45°，
∴∠COF=∠COE+∠EOF=78°+45°=123°；
（2）解：OC⊥OF，理由如下，
设∠EOF=x，则∠AOF=3x+54°，
∵∠AOF=∠AOE+∠EOF=90°+x，
∴3x+54°=90°+x，
解得，x=18°，
∴∠EOF=18°，
∵∠COE+∠EOF=72°+18°=90°，
∴OC⊥OF．
【变式1-1】如图，直线AB、DF相交于点O，OC⊥DF，OE平分∠BOC．
(1)若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；
(2)若∠AOC=α．
①用含α的代数式分别表示∠AOF和∠DOE；
②求∠DOE+12∠AOF的度数．
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，角平分线的定义，熟知垂线的定义和角平分线的定义是条件的关键．
（1）先由平角的定义求出∠BOC的度数，再由角平分线的定义求出∠COE的度数，最后根据垂线的定义得到∠COD的度数即可得到答案；
（2）①由垂线的定义得到∠COF的度数，则可求出∠AOF的度数，则由对顶角相等得到∠BOD的度数，同理求出∠BOE的度数即可得到答案；②根据①所求即可得到答案．
【详解】（1）解：∵∠AOC=40°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=70°，
∵OC⊥DF，
∴∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=20°；
（2）解：①∵OC⊥DF，
∴∠COF=90°，
∴∠AOF=90°−∠AOC=90°−α，
∴∠BOD=∠AOF=90°−α，
∵∠AOC=α，
∴∠BOC=180°−∠AOC=180°−α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=12∠BOC=90°−12α，
∴∠DOE=∠BOE−∠BOD=90°−12α−90°−α=12α；
②由①得：∠DOE+12∠AOF=12α+1290°−α=45°．
【变式1-2】如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠AOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．
(1)如果∠BOC=42∘，求∠AOF的度数；
(2)设∠BOC=α，求证：∠EOP=12α．
【分析】本题考查了对顶角的性质，互余的性质，角平分线的定义等知识，熟练利用这两个性质是解题的关键．
（1）由对顶角相等得∠AOD=∠BOC，再利用互余关系即可求解；
（2）由对顶角的性质及互余的性质得∠EOC=∠FOA，再由OP是∠AOC的平分线，得∠POC=∠POA，从而得∠POE=∠POF，利用互余的性质得∠EOF=∠BOC=α，从而得证．
【详解】（1）解：∵∠BOC=42∘，
∴∠AOD=∠BOC=42°；
∵OF⊥CD，
∴∠AOF+∠AOD=90°，
∴∠AOF=90°−∠AOD=48°；
（2）解：∵OF⊥CD，OE⊥AB，
∴∠AOF+∠AOD=90°，∠BOC+∠COE=90°，
∵∠AOD=∠BOC，
∴∠EOC=∠FOA，
∵OP是∠AOC的平分线，
∴∠POC=∠POA，
即∠POE+∠COE=∠POF+∠AOF，
∴∠POE=∠POF=12∠EOF；
∵∠FOC=∠EOB=90°，
∴∠FOE+∠EOC=∠EOC+∠BOC=90°，
∴∠EOF=∠BOC=α，
∴∠EOP=12α．
【变式1-3】若直线AB和直线ED相交于点O，OC为∠BOE内部的射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
(1)若∠BOD=58°，求∠AOF和∠EOF的度数？
(2)若∠BOD是任意角α(0°