2.3.1平行线的性质（教学课件）--新2024北师大版七年级数学下册课件

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学159099548802.3.1 平行线的性质一、学习目标理解并掌握平行线的三个性质，即两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。能够熟练运用平行线的性质解决几何计算和推理问题，准确区分平行线的性质与判定定理。通过观察、操作、推理等数学活动，体会数形结合和转化的思想，培养逻辑推理能力和空间观念。能够将平行线的性质应用到实际生活中，解释生活中的相关现象，提升运用数学知识解决实际问题的能力。二、情境引入在之前的学习中，我们已经掌握了如何利用同位角、内错角和同旁内角来判定两条直线是否平行。那么，当两条直线平行时，被第三条直线所截形成的同位角、内错角和同旁内角之间又存在着怎样的关系呢？比如，在我们熟悉的铁轨中，两条平行的铁轨被枕木（可看作截线）所截，形成的同位角大小是否相等？内错角和同旁内角又有什么特点？带着这些问题，我们来探索平行线的性质。三、平行线的性质探究性质 1：两直线平行，同位角相等我们可以通过实验来探究。如图 1，已知直线\(a\parallel b\)，被直线\(c\)所截，形成同位角\(\angle1\)和\(\angle2\)。用量角器分别测量\(\angle1\)和\(\angle2\)的度数，会发现\(\angle1 = \angle2\)。[此处插入图 1：直线\(a\parallel b\)被直线\(c\)所截，标注出同位角\(\angle1\)和\(\angle2\)]经过多次实验和推理验证，我们得出：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。用几何语言表述为：∵ \(a\parallel b\)（已知）∴ \(\angle1 = \angle2\)（两直线平行，同位角相等）性质 2：两直线平行，内错角相等基于性质 1，我们可以推导出内错角的关系。如图 2，直线\(a\parallel b\)被直线\(c\)所截，\(\angle3\)和\(\angle4\)是内错角。[此处插入图 2：直线\(a\parallel b\)被直线\(c\)所截，标注出内错角\(\angle3\)和\(\angle4\)]∵ \(a\parallel b\)（已知）∴ \(\angle1 = \angle2\)（两直线平行，同位角相等）又∵ \(\angle1 = \angle3\)（对顶角相等）∴ \(\angle2 = \angle3\)（等量代换）即两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。用几何语言表述为：∵ \(a\parallel b\)（已知）∴ \(\angle2 = \angle3\)（两直线平行，内错角相等）性质 3：两直线平行，同旁内角互补同样基于性质 1，我们来探究同旁内角的关系。如图 3，直线\(a\parallel b\)被直线\(c\)所截，\(\angle5\)和\(\angle6\)是同旁内角。[此处插入图 3：直线\(a\parallel b\)被直线\(c\)所截，标注出同旁内角\(\angle5\)和\(\angle6\)]∵ \(a\parallel b\)（已知）∴ \(\angle1 = \angle2\)（两直线平行，同位角相等）又∵ \(\angle1 + \angle5 = 180^{\circ}\)（邻补角定义）∴ \(\angle2 + \angle5 = 180^{\circ}\)（等量代换）即两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行，同旁内角互补。用几何语言表述为：∵ \(a\parallel b\)（已知）∴ \(\angle2 + \angle5 = 180^{\circ}\)（两直线平行，同旁内角互补）四、平行线的性质与判定定理的区别类别条件结论用途平行线的判定同位角相等、内错角相等、同旁内角互补两直线平行判断两条直线是否平行平行线的性质两直线平行同位角相等、内错角相等、同旁内角互补由平行线得出角的关系，用于计算或推理例如，“同位角相等，两直线平行” 是判定定理，用于由角的关系推出直线平行；而 “两直线平行，同位角相等” 是性质，用于由直线平行推出角的关系。五、实例解析例 1：如图 4，直线\(a\parallel b\)，\(\angle1 = 50^{\circ}\)，求\(\angle2\)、\(\angle3\)、\(\angle4\)的度数。[此处插入图 4：直线\(a\parallel b\)被直线\(c\)所截，标注出\(\angle1\)、\(\angle2\)、\(\angle3\)、\(\angle4\)]解：∵ \(a\parallel b\)，\(\angle1 = 50^{\circ}\)（已知）∴ \(\angle2 = \angle1 = 50^{\circ}\)（两直线平行，同位角相等）\(\angle3 = \angle1 = 50^{\circ}\)（两直线平行，内错角相等）∵ \(\angle1 + \angle4 = 180^{\circ}\)（邻补角定义）∴ \(\angle4 = 180^{\circ}-\angle1 = 180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}\)（或根据两直线平行，同旁内角互补：\(\angle4 + \angle3 = 180^{\circ}\)，\(\angle4 = 180^{\circ}-\angle3 = 130^{\circ}\)）例 2：如图 5，在四边形\(ABCD\)中，\(AB\parallel CD\)，\(AD\parallel BC\)，\(\angle A = 60^{\circ}\)，求其他三个角的度数。[此处插入图 5：四边形\(ABCD\)，\(AB\parallel CD\)，\(AD\parallel BC\)，标注出\(\angle A\)]解：∵ \(AB\parallel CD\)（已知）∴ \(\angle A + \angle D = 180^{\circ}\)（两直线平行，同旁内角互补）∵ \(\angle A = 60^{\circ}\)（已知）∴ \(\angle D = 180^{\circ}-\angle A = 180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}\)∵ \(AD\parallel BC\)（已知）∴ \(\angle A + \angle B = 180^{\circ}\)（两直线平行，同旁内角互补）\(\angle B = 180^{\circ}-\angle A = 120^{\circ}\)又∵ \(AB\parallel CD\)（已知）∴ \(\angle B + \angle C = 180^{\circ}\)（两直线平行，同旁内角互补）\(\angle C = 180^{\circ}-\angle B = 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}\)例 3：如图 6，已知\(AB\parallel DE\)，\(\angle B = 130^{\circ}\)，\(\angle D = 140^{\circ}\)，求\(\angle BCD\)的度数。[此处插入图 6：\(AB\parallel DE\)，点\(C\)在中间，形成\(\angle B\)、\(\angle BCD\)、\(\angle D\)]解：过点\(C\)作\(CF\parallel AB\)∵ \(AB\parallel DE\)，\(CF\parallel AB\)（已知）∴ \(CF\parallel DE\)（平行于同一条直线的两条直线互相平行）∵ \(CF\parallel AB\)（所作）∴ \(\angle B + \angle BCF = 180^{\circ}\)（两直线平行，同旁内角互补）∵ \(\angle B = 130^{\circ}\)（已知）∴ \(\angle BCF = 180^{\circ}-\angle B = 180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ}\)∵ \(CF\parallel DE\)（已证）∴ \(\angle D + \angle DCF = 180^{\circ}\)（两直线平行，同旁内角互补）∵ \(\angle D = 140^{\circ}\)（已知）∴ \(\angle DCF = 180^{\circ}-\angle D = 180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}\)∴ \(\angle BCD = \angle BCF + \angle DCF = 50^{\circ}+40^{\circ}=90^{\circ}\)六、知识辨析平行线性质的应用条件平行线的性质只有在两条直线平行的前提下才能成立。如果两条直线不平行，那么同位角不一定相等，内错角不一定相等，同旁内角也不一定互补。例如，两条相交直线被第三条直线所截，形成的同位角大小就不相等。辅助线的添加技巧当图形中平行线之间存在折线时，通常需要添加辅助线，构造 “三线八角” 的基本结构，以便运用平行线的性质。常见的辅助线是过折点作已知平行线的平行线，利用 “平行于同一条直线的两条直线互相平行” 的性质，将复杂图形转化为简单的平行线间角的关系问题，如例 3 中添加辅助线\(CF\)。七、易错点警示混淆性质与判定：在解题时，容易将平行线的性质与判定定理混淆，例如由同位角相等得出两直线平行是判定，而由两直线平行得出同位角相等是性质，要注意区分条件和结论的不同。忽略平行线条件：在运用平行线的性质时，忘记前提条件是 “两直线平行”，直接得出角的关系。例如，看到同位角就认为相等，而不考虑两条被截直线是否平行。辅助线添加错误：在需要添加辅助线的题目中，添加的辅助线不符合要求，导致无法正确运用平行线的性质。例如，在例 3 中，如果没有过点\(C\)作平行线，就很难建立\(\angle B\)、\(\angle D\)与\(\angle BCD\)之间的关系。角的对应关系错误：在复杂图形中，不能准确找出与平行线对应的同位角、内错角或同旁内角，导致角的关系判断错误。例如，在多条直线相交的图形中，误把不是同位角的两个角当作同位角来运用性质。八、课堂练习如图 7，直线\(l_1\parallel l_2\)，\(\angle\alpha = 55^{\circ}\)，\(\angle\beta = 65^{\circ}\)，求\(\angle\gamma\)的度数。[此处插入图 7：直线\(l_1\parallel l_2\)，有截线形成\(\angle\alpha\)、\(\angle\beta\)、\(\angle\gamma\)]如图 8，已知\(AB\parallel CD\)，\(EF\)分别交\(AB\)、\(CD\)于点\(E\)、\(F\)，\(\angle1 = 50^{\circ}\)，则\(\angle2 = \)______度，\(\angle3 = \)______度。[此处插入图 8：\(AB\parallel CD\)被\(EF\)所截，标注出\(\angle1\)、\(\angle2\)、\(\angle3\)]如图 9，在三角形\(ABC\)中，\(DE\parallel BC\)，\(\angle ADE = 50^{\circ}\)，\(\angle C = 70^{\circ}\)，求\(\angle AED\)的度数。[此处插入图 9：三角形\(ABC\)中\(DE\parallel BC\)，标注出\(\angle ADE\)、\(\angle C\)、\(\angle AED\)]如图 10，\(AB\parallel CD\)，\(\angle B = 70^{\circ}\)，\(\angle D = 30^{\circ}\)，求\(\angle BED\)的度数（提示：过点\(E\)作辅助线）。[此处插入图 10：\(AB\parallel CD\)，点\(E\)在中间形成\(\angle B\)、\(\angle BED\)、\(\angle D\)]判断下列说法是否正确：（1）两直线平行，同旁内角相等。（2）同位角相等，两直线平行和两直线平行，同位角相等是互逆的关系。（3）如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线平行，且同旁内角互补。（4）不平行的两条直线被第三条直线所截，同位角一定不相等。九、方法总结条件识别法：在解题时，首先要识别题目中是否给出了平行线的条件，如果有，则考虑运用平行线的性质来得出角的关系；如果需要判断直线是否平行，则运用判定定理。图形分解法：对于复杂的几何图形，要将其分解为基本的 “三线八角” 结构，准确找出同位角、内错角和同旁内角，结合平行线的性质进行分析。例如，在例 2 中，将四边形分解为两组平行线被截的结构，分别运用同旁内角互补的性质。辅助线构造法：当图形中存在折线或角的关系不明显时，通过添加辅助线（如作平行线）构造平行线间的角的关系，将未知角转化为已知角的关系来求解，如例 3 和课堂练习第 4 题。性质与判定综合运用法：在一些综合性题目中，需要交替运用平行线的性质和判定定理，先由角的关系判定直线平行，再由直线平行得出其他角的关系，或反之。例如，先根据同位角相等判定两直线平行，再利用平行线的性质得出内错角相等。通过本节课的学习，我们掌握了平行线的三个性质，明确了性质与判定定理的区别，并能运用这些知识解决几何问题。平行线的性质是几何推理的重要基础，在后续的学习中会经常用到，希望同学们能够熟练掌握，灵活运用。问题 借助截线判定两条直线平行的方法有哪些？思考 反过来，如果已知两条平行线被第三条直线所截，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么等量关系呢?活动1：画两条平行线 a，b，然后画一条截线 c 与 a、b 相交，标出如图所示的角. 任选一组同位角度量，把结果填入下表，由此猜想两条平行线被第三条直线所截的同位角有什么关系：两直线平行,同位角相等活动 2：将画出的同位角，选取任一组剪下后，进行叠合，并观察.猜想：根据以上活动得出的数据与操作得出的结果可猜想： .追问：在刚刚的图上，再画出一条截线 d，重复操作，看你的猜想结论是否仍然成立?两直线平行，同位角相等←点击几何画板查看想一想例1 如图，a∥b，∠1 = 60°，则∠2 的度数为 ( )A.90° B.100° C.110° D.120°分析： a∥b∠1 = ∠3∠2 = 120°∠2+∠3 = 180°D典例精析两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补问题 1：如图，如果 a∥b，直线 c 与 a，b 相交，那么∠4 与∠5，∠3 与∠5在数量上有什么关系?说一说，猜一猜.分析： 两直线平行得同位角相等，进行角的转化，即可证明. a∥b ∠1 = ∠4(对顶角相等)∠1 = ∠5∠4 = ∠5能否利用两条直线平行来证明内错角、同旁内角之间的数量关系呢？ 如图，如果 a∥b ，能得出∠4 = ∠5 吗？ 合作探究如图，如果 a∥b ，能得出 ∠3 +∠5 = 180° 吗？解：如果 a∥b，那么 ∠1 = ∠5.因为∠1+∠3 = 180°(平角的定义)，所以∠3+∠5 = 180°.知识要点 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简称为：两直线平行，内错角相等.简称为：两直线平行，同旁内角互补. 做一做 如图，一束平行光线 AB 与 DE 射向一个水平镜面后被反射，此时∠1 =∠2，∠3 =∠4.(1)∠1 与∠3 的大小有什么关系? ∠2 与∠4 呢?解： 由 AB∥DE，可以得到 ∠1 =∠3，由∠1=∠2，∠3 =∠4，可以得到 ∠2 =∠4.(两直线平行，同位角相等)由∠2 =∠4，可以得到 BC∥EF.(同位角相等，两直线平行)(2)反射光线 BC 与 EF 也平行吗?做一做例2 光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射. 由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的. 如图，当∠1 = 45°，∠2 = 122° 时，求∠3 和∠4 的度数.解：由题意得，AE∥BF，∴∠1 = ∠3 = 45°.因为 AB∥CD，∴∠2 +∠5 = 180°，即∠5 = 58°. 又因为 AC∥BD，∴∠5 = ∠4 = 58°.典例精析例3 如图，已知平行线 AB、CD 被直线 AE 所截. (1) 从∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度吗？为什么？ (2) 从∠1 = 110° 可以知道∠3 是多少度吗？为什么？ (3) 从∠1 = 110° 可以知道∠4 是多少度吗？为什么？解：(1) ∠2 = 110°. 两直线平行，内错角相等.（2）∠3 = 110°. 两直线平行，同位角相等.（3）∠4 = 70°. 两直线平行，同旁内角互补.典例精析图形已知结果依据同位角内错角23））abca∥b两直线平行，同位角相等a∥b两直线平行，内错角相等同旁内角互补a∥b两直线平行， 平行线的性质∠1 =∠2∠3 =∠2∠2 +∠4 = 180°同旁内角（第1题） B  返回（第2题） B  返回（第3题） B  返回（第4题） B  返回5. 教材P53习题T6 补充完成下面的推理过程.  两直线平行，内错角相等    两直线平行，同位角相等 等量代换 返回（第6题） B   返回（第7题） B   返回（第8题） A （第9题）  （第10题）  阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086