2.3.2平行线性质与判定的综合运用（教学课件）--新2024北师大版七年级数学下册课件

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学159099548802.3.2 平行线性质与判定的综合运用一、学习目标进一步巩固平行线的性质与判定定理，明确两者之间的逻辑关系，能准确区分何时使用性质、何时使用判定。学会综合运用平行线的性质与判定解决几何推理、角度计算等复杂问题，提高逻辑推理能力和解题能力。掌握几何证明的基本步骤和书写规范，体会数形结合、转化与化归的数学思想在解题中的应用。通过综合运用知识解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，增强对几何学习的兴趣和信心。二、知识回顾与联系核心知识梳理内容核心要点几何语言示例平行线的判定同位角相等，两直线平行∵∠1=∠2∴a∥b内错角相等，两直线平行∵∠3=∠4∴a∥b同旁内角互补，两直线平行∵∠5+∠6=180°∴a∥b平行线的性质两直线平行，同位角相等∵a∥b∴∠1=∠2两直线平行，内错角相等∵a∥b∴∠3=∠4两直线平行，同旁内角互补∵a∥b∴∠5+∠6=180°逻辑关系分析平行线的判定与性质是 “互逆” 的关系：判定是由角的关系推导出直线平行（条件是角的关系，结论是直线平行）。性质是由直线平行推导出角的关系（条件是直线平行，结论是角的关系）。在综合问题中，往往需要先通过判定定理证明两条直线平行，再利用性质定理得出角的关系；或者先由性质定理根据平行关系得到角的关系，再通过判定定理证明其他直线平行。三、综合运用例题解析类型一：先判定平行，再运用性质计算角度例 1：如图 1，已知∠1=∠2，∠3=105°，求∠4 的度数。[此处插入图 1：直线 a、b 被直线 c、d 所截，∠1 与∠2 是同位角，∠3 与∠4 是同旁内角]解：∵∠1=∠2（已知）∴a∥b（同位角相等，两直线平行）∵a∥b（已证）∴∠3+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠3=105°（已知）∴∠4=180°-∠3=180°-105°=75°类型二：先运用性质得到角的关系，再判定平行例 2：如图 2，已知 AB∥CD，∠A=∠C，求证：AD∥BC。[此处插入图 2：四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A 与∠D 是同旁内角，∠C 与∠D 是同旁内角]证明：∵AB∥CD（已知）∴∠A+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠A=∠C（已知）∴∠C+∠D=180°（等量代换）∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）类型三：多次交替使用判定与性质例 3：如图 3，已知 EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD 的度数。[此处插入图 3：EF∥AD，∠1 与∠BAD 是同位角，∠2 与∠3 是内错角，∠BAC 与∠AGD 是同旁内角]解：∵EF∥AD（已知）∴∠1=∠BAD（两直线平行，同位角相等）∵∠1=∠2（已知）∴∠2=∠BAD（等量代换）∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）∵AB∥DG（已证）∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BAC=70°（已知）∴∠AGD=180°-∠BAC=180°-70°=110°类型四：含辅助线的综合问题例 4：如图 4，已知 AB∥CD，∠B=120°，∠D=130°，求∠BED 的度数。[此处插入图 4：AB∥CD，点 E 在 AB、CD 之间，形成∠B、∠BED、∠D]解：过点 E 作 EF∥AB∵AB∥CD，EF∥AB（已知）∴EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）∵EF∥AB（所作）∴∠B+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠B=120°（已知）∴∠BEF=180°-∠B=180°-120°=60°∵EF∥CD（已证）∴∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠D=130°（已知）∴∠DEF=180°-∠D=180°-130°=50°∴∠BED=∠BEF+∠DEF=60°+50°=110°四、解题步骤与技巧总结基本解题步骤分析图形：识别图形中的平行线、截线，找出同位角、内错角、同旁内角，明确已知条件和所求问题。确定思路：判断是需要先判定平行还是先运用性质。若已知角的关系，优先考虑判定直线平行；若已知直线平行，优先考虑运用性质得到角的关系。推理计算：根据判定定理或性质定理进行逻辑推理，逐步推导得出结论。若遇复杂图形，可通过添加辅助线（如作平行线）转化为基本图形。规范书写：按照 “∵条件∴结论（依据）” 的格式书写推理过程，注明每一步的依据（如已知、平行线的判定定理、性质定理等）。关键技巧“线角互推” 技巧：在推理中，要灵活进行 “角的关系→直线平行→新的角的关系→新的直线平行” 的转化，明确每一步的因果关系。辅助线添加技巧：当平行线间存在折线（如 “凸” 型、“凹” 型）时，通常过折点作已知平行线的平行线，利用平行线的传递性构造多个平行关系，将折线问题转化为 “三线八角” 问题。等量代换运用：在角的关系推导中，常利用对顶角相等、邻补角互补、已知角相等进行等量代换，建立未知角与已知角的联系。五、易错点警示逻辑顺序混淆：在推理中混淆判定与性质的逻辑顺序，例如由 “两直线平行” 得出 “同位角相等” 是正确的（性质），但由 “同位角相等” 直接得出 “同旁内角互补” 则需要先判定平行，再用性质，不能跳过中间步骤。辅助线表述不规范：添加辅助线时未说明辅助线的作法（如 “过点 × 作 ××∥××”），或未利用辅助线的性质（如平行线的传递性）进行推理。依据标注错误：推理过程中未注明依据，或依据标注错误（如将 “内错角相等，两直线平行” 标注为 “两直线平行，内错角相等”）。图形分析错误：在复杂图形中误认同位角、内错角或同旁内角，导致选用错误的判定或性质定理。例如，将不是由两条平行线被截形成的角当作同位角来运用性质。六、课堂练习如图 5，已知∠1=∠2，∠A=∠F，求证：∠C=∠D。[此处插入图 5：直线 AC、DF 被直线 BF、EC 所截，形成∠1、∠2、∠A、∠F 等角]如图 6，AB∥CD，∠B=65°，∠E=20°，求∠D 的度数。[此处插入图 6：AB∥CD，直线 BE 交 AB 于 B，交 CD 于 D，E 为线段 BD 上一点]如图 7，已知 AD∥BC，∠BAD=∠BCD，求证：AB∥CD。[此处插入图 7：四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD 与∠ABC 是同旁内角，∠BCD 与∠ABC 是同旁内角]如图 8，AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=45°，求∠AEC 的度数（提示：过点 E 作辅助线）。[此处插入图 8：AB∥CD，点 E 在 AB 上方、CD 上方，形成∠BAE、∠DCE、∠AEC]如图 9，已知∠B+∠BCD=180°，∠B=∠D，求证：∠E=∠DFE。[此处插入图 9：直线 AB、DE 被直线 BC、EF 所截，形成∠B、∠BCD、∠D、∠E、∠DFE 等角]七、综合拓展与实际应用实际应用问题如图 10，一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，行驶方向与原来相同。已知第一次拐弯的角度是 110°，求第二次拐弯的角度是多少？[此处插入图 10：汽车行驶路线图，两次拐弯后与原方向平行]解：设汽车原来的行驶方向为 AB，第一次拐弯后方向为 BC，第二次拐弯后方向为 CD，且 AB∥CD。∵AB∥CD（已知）∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）∵∠ABC=110°（已知）∴∠BCD=110°即第二次拐弯的角度是 110°（拐弯方向与第一次相反）。拓展探究在同一平面内，有三条直线 a、b、c，若 a∥b，b∥c，则 a 与 c 的位置关系是______；若 a⊥b，b⊥c，则 a 与 c 的位置关系是______。（提示：结合平行线的判定与性质推导）八、总结与提升平行线的性质与判定的综合运用是几何学习的重要内容，其核心是 “线角关系的相互转化”。通过本节课的学习，我们要掌握 “由角定线、由线定角” 的推理方法，明确每一步推理的依据，规范书写过程。在解决复杂问题时，要善于分解图形、添加辅助线，将未知问题转化为已知模型。几何推理能力的培养需要通过大量练习积累经验，在练习中要注意总结规律，例如：看到 “平行” 想 “角的关系”（性质），看到 “角相等 / 互补” 想 “直线平行”（判定）。只有熟练掌握这种转化思想，才能灵活应对各类综合问题，为后续学习更复杂的几何知识打下坚实基础。 思考：平行线的判定与性质之间的关系. 内错角____同位角____两条直线平行同旁内角____ 相等 相等 互补判定 性质 问题1：平行线的判定有哪些方法? 你还知道平行线的其他判定方法吗?除 3 种常用的判定方法，还有有关平行线基本事实的推论.平行线的性质与判定的综合应用问题 2：完成下表中平行线性质的填空.图形已知结果依据同位角内错角23））abca∥b两直线平行，同位角相等a∥b两直线平行，内错角相等同旁内角互补a∥b两直线平行，∠1 =∠2∠3 =∠2∠2 +∠4 = 180°同旁内角例1 根据如图所示回答下列问题：（1）若∠1 =∠2，可以判定哪两条直线平行？根据 是什么？解：∠1 与∠2 是内错角，若∠1 =∠2，根据“内错角相等，两直线平行”，可得 BF // CE ；(2) 若∠2 = ∠M，可以判定哪两条直线平行？根据是 什么？(3) 若 ∠2 +∠3 = 180°，可以判定哪两条直线平行？ 根据是什么？∠2 与∠M 是同位角，若∠2 =∠M，∠2与∠3是同旁内角，若∠2+∠3=180°，根据“同位角相等，两直线平行”，可得 AM∥BF；根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得 AC∥MD .例2 如图，AB∥CD，如果∠1 = ∠2，那么 EF 与 AB平行吗？说说你的理由．解：平行，理由：因为∠1 =∠2，根据“内错角相等，两直线平行”， 所以 EF∥CD.又因为 AB∥CD，根据“平行于同一条直线的两条直线平行”，所以 EF∥AB.典例精析例3 如图，已知直线 a∥b，直线 c∥d，∠1 = 107°，求∠2，∠3 的度数.解：因为 a∥b，所以 ∠1+∠3 = 180°，所以∠3 = 73°.根据“两直线平行，内错角相等”，所以 ∠2 =∠1 = 107°.因为 c∥d，根据“两直线平行，同旁内角互补”，典例精析解： 因为 AB∥DE ( )，所以∠A =_______ ( ).因为 AC∥DF ( ) ，所以∠D =______ ( ).所以∠A =∠D ( ).1. (1)如图1，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A =∠D. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.图 1已知∠CPE两直线平行，同位角相等已知 ∠CPE 两直线平行，同位角相等 等量代换练一练解：因为 AB∥DE ( )，所以 ∠A = ______ ( ).因为 AC∥DF ( ) ，所以∠D + _______ = 180° ( ).所以∠A +∠D = 180° ( ).(2) 如图 2，若 AB∥DE，AC∥DF， 试说明∠A +∠D = 180°. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.图2已知∠CPD两直线平行，同位角相等已知∠CPD两直线平行，同旁内角互补等量代换2. 如图，∠1 + ∠2 = 180°，∠4 = 35° ，则∠3 等于______°.35 角之间的关系 平行 角之间的关系 性质判定两直线平行角的数量关系直线的位置关系角的数量关系判定：证平行，用判定.性质：知平行，用性质.归纳总结例4 如图，AB∥CD，∠A = 100°，∠C = 110°，求∠AEC 的度数. 请补全下列解答过程.解：过点 E 向右作 EF∥AB.∵AB∥CD(已知)，∴ ∥ .(平行于同一直线的两直线平行).∴∠A +∠ =180°，∠C +∠ =180°，(两直线平行，同旁内角互补).又∵∠A=100°，∠C=110°(已知)，∴∠ = °，∠ = °.∴∠AEC =∠1 +∠2 = ° + °= °.CDEF1218027080701501. 如图，下列推理不正确的是( )C（第1题）  返回（第2题） A  返回（第3题） C  返回（第4题） D   返回（第5题）     返回（第6题） 90 返回   返回  DA. 1B. 2C. 3D. 4  返回（第9题）  （第10题）      同位角______内错角______同旁内角_____ 相等 相等 互补 两直线平行 判定 性质 求角的度数，说明角相等或互补应用阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086