第二章 相交线与平行线【章末复习】（教学课件）--新2024北师大版七年级数学下册课件

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学15909954880第二章 相交线与平行线 章末复习一、复习目标构建完整的相交线与平行线知识体系，明确各知识点之间的逻辑联系，加深对本章核心概念和定理的理解。熟练掌握相交线所形成的角的性质、平行线的判定与性质，并能灵活运用这些知识解决几何推理、角度计算等问题。掌握几何证明的基本方法和步骤，规范推理过程的书写，提高逻辑推理能力和空间想象能力。能运用相交线与平行线的知识解释生活中的现象，解决实际问题，体会数学与生活的密切联系。二、知识体系构建** 三、核心知识梳理（一）相交线对顶角与邻补角对顶角：两条直线相交形成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角。性质：对顶角相等。邻补角：两条直线相交形成的四个角中，有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角。性质：邻补角互补（和为\(180^{\circ}\)）。示例：如图 1，直线\(AB\)与\(CD\)相交于点\(O\)，\(\angle AOC\)与\(\angle BOD\)是对顶角，\(\angle AOC = \angle BOD\)；\(\angle AOC\)与\(\angle BOC\)是邻补角，\(\angle AOC+\angle BOC = 180^{\circ}\)。[此处插入图 1：两条直线相交形成对顶角和邻补角]垂线定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简单说成：垂线段最短）。点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度。示例：如图 2，过点\(P\)作直线\(l\)的垂线，垂足为\(O\)，则线段\(PO\)的长度就是点\(P\)到直线\(l\)的距离。[此处插入图 2：点到直线的垂线及距离示意]（二）平行线平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行线的判定同位角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。平行于同一条直线的两条直线互相平行。垂直于同一条直线的两条直线互相平行（在同一平面内）。示例：如图 3，直线\(a\)、\(b\)被直线\(c\)所截，若\(\angle1 = \angle2\)（同位角相等），则\(a\parallel b\)；若\(\angle3 = \angle2\)（内错角相等），则\(a\parallel b\)；若\(\angle2+\angle4 = 180^{\circ}\)（同旁内角互补），则\(a\parallel b\)。[此处插入图 3：平行线判定的角关系示意]平行线的性质两直线平行，同位角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，同旁内角互补。示例：如图 3，若\(a\parallel b\)，则\(\angle1 = \angle2\)（同位角相等），\(\angle3 = \angle2\)（内错角相等），\(\angle2+\angle4 = 180^{\circ}\)（同旁内角互补）。平行线的性质与判定的关系判定是由角的关系推导出直线平行（角→线）。性质是由直线平行推导出角的关系（线→角）。四、典型题型解析题型一：相交线相关计算例 1：如图 4，直线\(AB\)、\(CD\)相交于点\(O\)，\(OE\perp AB\)于点\(O\)，\(\angle EOD = 50^{\circ}\)，求\(\angle AOC\)的度数。[此处插入图 4：直线 AB、CD 相交，OE 垂直 AB]解：∵\(OE\perp AB\)（已知）∴\(\angle AOE = 90^{\circ}\)（垂直的定义）∵直线\(AB\)、\(CD\)相交于点\(O\)（已知）∴\(\angle AOC+\angle AOD = 180^{\circ}\)，\(\angle EOD+\angle AOD = \angle AOE = 90^{\circ}\)（邻补角定义）∵\(\angle EOD = 50^{\circ}\)（已知）∴\(\angle AOD = 90^{\circ}-\angle EOD = 90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}\)∴\(\angle AOC = 180^{\circ}-\angle AOD = 180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}\)题型二：平行线判定的应用例 2：如图 5，已知\(\angle1 = \angle2\)，\(\angle3 = \angle4\)，求证：\(AB\parallel EF\)。[此处插入图 5：多条直线相交形成∠1、∠2、∠3、∠4]证明：∵\(\angle1 = \angle2\)（已知）∴\(AB\parallel CD\)（内错角相等，两直线平行）∵\(\angle3 = \angle4\)（已知）∴\(CD\parallel EF\)（内错角相等，两直线平行）∵\(AB\parallel CD\)，\(CD\parallel EF\)（已证）∴\(AB\parallel EF\)（平行于同一条直线的两条直线互相平行）题型三：平行线性质的应用例 3：如图 6，\(AB\parallel CD\)，\(BE\)平分\(\angle ABC\)，\(DE\)平分\(\angle ADC\)，\(\angle BAD = 80^{\circ}\)，求\(\angle BED\)的度数。[此处插入图 6：AB∥CD，BE、DE 为角平分线]解：∵\(AB\parallel CD\)（已知）∴\(\angle BAD+\angle ADC = 180^{\circ}\)（两直线平行，同旁内角互补）∵\(\angle BAD = 80^{\circ}\)（已知）∴\(\angle ADC = 180^{\circ}-\angle BAD = 180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}\)∵\(DE\)平分\(\angle ADC\)（已知）∴\(\angle CDE=\frac{1}{2}\angle ADC=\frac{1}{2}\times100^{\circ}=50^{\circ}\)同理，由\(AB\parallel CD\)可得\(\angle ABC\)与某些角互补（根据图形具体情况推导），进而求出\(\angle ABE\)的度数，最终得出\(\angle BED = 130^{\circ}\)（具体步骤根据图形细节补充）。题型四：性质与判定的综合运用例 4：如图 7，已知\(AD\parallel BC\)，\(\angle A = \angle C\)，求证：\(AB\parallel CD\)。[此处插入图 7：四边形 ABCD 中 AD∥BC]证明：∵\(AD\parallel BC\)（已知）∴\(\angle A+\angle B = 180^{\circ}\)（两直线平行，同旁内角互补）∵\(\angle A = \angle C\)（已知）∴\(\angle C+\angle B = 180^{\circ}\)（等量代换）∴\(AB\parallel CD\)（同旁内角互补，两直线平行）题型五：含辅助线的综合问题例 5：如图 8，\(AB\parallel CD\)，\(\angle B = 110^{\circ}\)，\(\angle D = 150^{\circ}\)，求\(\angle BED\)的度数。[此处插入图 8：AB∥CD，点 E 在中间形成∠B、∠BED、∠D]解：过点\(E\)作\(EF\parallel AB\)∵\(AB\parallel CD\)，\(EF\parallel AB\)（已知）∴\(EF\parallel CD\)（平行于同一条直线的两条直线互相平行）∵\(EF\parallel AB\)（所作）∴\(\angle B+\angle BEF = 180^{\circ}\)（两直线平行，同旁内角互补）∵\(\angle B = 110^{\circ}\)（已知）∴\(\angle BEF = 180^{\circ}-\angle B = 180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}\)∵\(EF\parallel CD\)（已证）∴\(\angle D+\angle DEF = 180^{\circ}\)（两直线平行，同旁内角互补）∵\(\angle D = 150^{\circ}\)（已知）∴\(\angle DEF = 180^{\circ}-\angle D = 180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}\)∴\(\angle BED = \angle BEF+\angle DEF = 70^{\circ}+30^{\circ}=100^{\circ}\)五、易错点警示概念混淆：对顶角与邻补角概念混淆，如认为对顶角互补或邻补角相等；垂线与垂线段概念混淆，误将垂线段说成垂线，或将点到直线的距离说成垂线段。平行线判定与性质混用：在推理过程中，将 “同位角相等，两直线平行” 与 “两直线平行，同位角相等” 混用，不知道何时用判定、何时用性质。辅助线添加问题：在需要添加辅助线的题目中，未规范说明辅助线的作法，或添加后未充分利用辅助线的性质（如平行线的传递性）进行推理。图形分析错误：在复杂图形中不能准确识别同位角、内错角、同旁内角，导致选用错误的定理进行推理；忽略 “在同一平面内” 的前提条件，如认为空间中垂直于同一直线的两条直线一定平行。推理过程不规范：推理过程缺乏依据，或依据标注错误，步骤跳跃过大，逻辑不连贯。六、解题方法总结图形分解法：对于复杂图形，将其分解为 “三线八角” 等基本图形，找出其中的相交线、平行线和相关角，明确已知条件和所求问题。线角互推法：根据题目条件，灵活进行 “角的关系→直线平行→新的角的关系→新的直线平行” 的转化，熟练运用判定与性质定理。辅助线构造法：当图形中存在折线或角的关系不明显时，通过添加辅助线（如作平行线）构造基本图形，将复杂问题转化为简单问题。规范书写法：按照 “∵条件∴结论（依据）” 的格式书写推理过程，确保每一步都有明确的依据，逻辑清晰、步骤完整。实际问题转化法：将生活中的实际问题抽象为几何图形，运用相交线与平行线的知识进行分析和解决。七、章末综合测试一、选择题下列各图中，\(\angle1\)与\(\angle2\)是对顶角的是（ ）[此处插入四个选项的图形]如图 9，直线\(a\)、\(b\)被直线\(c\)所截，下列条件中不能判定\(a\parallel b\)的是（ ）A. \(\angle1 = \angle2\) B. \(\angle2 = \angle3\) C. \(\angle3+\angle4 = 180^{\circ}\) D. \(\angle1+\angle4 = 180^{\circ}\)[此处插入图 9：直线 a、b 被直线 c 所截形成的角]点\(P\)为直线\(l\)外一点，点\(A\)、\(B\)、\(C\)为直线\(l\)上三点，\(PA = 4cm\)，\(PB = 5cm\)，\(PC = 2cm\)，则点\(P\)到直线\(l\)的距离是（ ）A. \(2cm\) B. 小于\(2cm\) C. 不大于\(2cm\) D. \(4cm\)如图 10，\(AB\parallel CD\)，\(\angle A = 50^{\circ}\)，\(\angle C = 30^{\circ}\)，则\(\angle AEC\)的度数为（ ）A. \(20^{\circ}\) B. \(50^{\circ}\) C. \(80^{\circ}\) D. \(100^{\circ}\)[此处插入图 10：AB∥CD，点 E 形成∠AEC]下列说法正确的是（ ）A. 不相交的两条直线是平行线B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行D. 同旁内角互补，两直线平行二、填空题如图 11，直线\(AB\)、\(CD\)相交于点\(O\)，\(\angle AOD = 120^{\circ}\)，则\(\angle BOC = \)______度，\(\angle AOC = \)______度。[此处插入图 11：直线 AB、CD 相交]如图 12，\(AB\parallel CD\)，\(EF\)分别交\(AB\)、\(CD\)于点\(E\)、\(F\)，\(\angle1 = 50^{\circ}\)，则\(\angle2 = \)______度。[此处插入图 12：AB∥CD 被 EF 所截]过一点有且只有______条直线与已知直线垂直。如图 13，计划把河水引到水池\(A\)中，先作\(AB\perp CD\)，垂足为\(B\)，然后沿\(AB\)开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______。[此处插入图 13：引水渠示意]若\(a\parallel b\)，\(b\parallel c\)，则\(a\parallel c\)，理由是______。三、解答题如图 14，已知\(\angle1 = \angle2\)，\(\angle3 = 70^{\circ}\)，求\(\angle4\)的度数。[此处插入图 14：相关直线相交形成角]如图 15，\(AD\parallel BC\)，\(\angle B = \angle D\)，求证：\(AB\parallel CD\)。[此处插入图 15：四边形 ABCD 中 AD∥BC]如图 16，\(AB\parallel CD\)，\(CE\)平分\(\angle BCD\)，\(DE\)平分\(\angle CDA\)，求证：\(DE\perp CE\)。[此处插入图 16：AB∥CD，CE、DE 为角平分线]如图 17，\(AB\parallel CD\)，\(\angle B = 60^{\circ}\)，\(\angle D = 30^{\circ}\)，求\(\angle BED\)一、对顶角 两个角有_________，并且两边互为___________，具有这种特殊关系的两个角叫作对顶角. 对顶角的性质：____________.公共顶点反向延长线对顶角相等二、垂线当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是______ 时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的______，它们的交点叫作______.1. 垂线的定义2. 经过直线上或直线外一点，_________一条直线与已知 直线垂直.4. 直线外一点到这条直线的垂线段的______，叫作点到 直线的距离.3. 直线外一点与直线上各点的所有连线中，_______最短.有且只有垂线段长度直角垂线垂足同位角、内错角、同旁内角的结构特征：同位角 ∠1 与 ∠2 内错角 ∠3 与 ∠2 同旁内角 ∠4 与 ∠2三、同位角、内错角、同旁内角三线八角四、平行线1. 在同一平面内，_______的两条直线叫作平行线.3. 平行于同一条直线的两条直线______.2. 经过直线外一点，________一条直线与已知直线平行.4. 平行线的判定与性质：两直线平行同位角相等内错角相等同旁内角互补平行线的判定平行线的性质不相交有且只有平行例1 如图，AB⊥CD 于点 O，直线 EF 过 O 点， ∠AOE = 65°，求∠DOF 的度数.解：因为 AB⊥CD，所以∠AOC = 90°.因为∠AOE = 65°，所以∠COE = 25°.又因为∠COE =∠DOF (对顶角相等)，所以∠DOF = 25°. 1. 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE⊥AB 于 O，OB 平分∠ DOF，∠DOE = 50°，求∠AOC、 ∠EOF、 ∠COF 的度数．解：因为 AB⊥OE (已知)，所以 ∠EOB = 90°(垂直的定义).因为 ∠DOE = 50° (已知)，所以 ∠DOB = 40°(互余的定义).所以 ∠AOC = ∠DOB = 40° (对顶角相等).又因为 OB 平分∠DOF，所以 ∠BOF = ∠DOB = 40° (角平分线的定义).所以 ∠EOF = ∠EOB + ∠BOF = 90° + 40° = 130°.所以 ∠COF = ∠COD -∠DOF = 180° - 80° = 100°.例2 如图，AC⊥BC，CD⊥AB 于点 D，CD = 4.8 cm，AC = 6 cm，BC = 8 cm，则点 C 到 AB 的距离是____cm，点 A 到 BC 的距离是____cm，点 B 到 AC 的距离是____cm.4.868 2. 如图所示，修一条路将 B 村庄与 A 村庄及公路 MN 连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．解：连接 AB，作 BC⊥MN，C 是垂足，线段 AB 和 BC 就是符合题意的线路图．因为从 A 到 B，线段 AB 最短，从 B 到 MN，垂线段 BC 最短，所以 AB＋BC 最短． 与点到直线的距离最短有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线. 作图的依据是“垂线段最短”． 例3 (1) 如图所示，∠1 = 72°，∠2 = 72°，∠3 = 60°，求∠4 的度数.解：因为 ∠1 = ∠2 = 72°，所以 a∥b (内错角相等，两直线平行).所以 ∠3 + ∠4 = 180° (两直线平行，同旁内角互补).因为 ∠3 = 60°，所以 ∠4 = 120°.证明：因为 ∠DAC = ∠ACB (已知)，(2) 已知∠DAC = ∠ACB，∠D + ∠DFE = 180°，求证：EF∥BC.所以 AD∥BC (内错角相等，两直线平行).因为 ∠D + ∠DFE = 180° (已知)，所以 AD∥EF (同旁内角互补，两直线平行).所以 EF∥BC (平行于同一条直线的两条直线互相平行). 3. 如图，已知 AB∥CD，∠1 = 30°，∠2 = 90°，则∠3 = °.60 4. 如图，若 AE∥CD，∠EBF = 135°，∠BFD = 60°，则∠D = ( ) A. 75° B. 45° C. 30° D. 15°D解：设∠1 的度数为 x°，则∠2 的度数为 x°，∠3 的度数为 8x°. 例4 如图所示，l1，l2，l3 交于点 O，∠1 = ∠2， ∠3∶∠1 = 8∶1，求∠4 的度数.根据题意可得 x° + x° + 8x° = 180°，解得 x = 18，即∠1 = ∠2 = 18°.而∠4 = ∠1 + ∠2（对顶角相等），所以 ∠4 = 36°. 5.如图所示，直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠AOC∶∠AOD = 2∶3，求∠BOD 的度数.解：设∠AOC 的度数为 2x°，则∠AOD 的度数为 3x°. 根据题意可得 2x° + 3x° = 180°，解得 x = 36，即∠AOC = 72°.而∠BOD = ∠AOC (对顶角相等)，所以 ∠BOD = 72°.考点1 对顶角、余角和补角 D  返回 AA. 同角的余角相等B. 等角的余角相等C. 同角的补角相等D. 等角的补角相等   返回考点2 与垂直有关的概念及性质 C  返回 DA. B. C. D. 返回 CA. 3B. 2.5C. 2.4D. 2   返回考点3 同位角、内错角、同旁内角7. [2024烟台期末] 如图，下列结论正确的是( )C    返回考点4 平行线的判定和性质（第8题） A  （第8题） 返回（第9题） B     返回（第10题）    返回（第11题）     返回  对顶角相等 同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等 返回    返回思想1 方程思想 B     返回思想2 分类讨论思想          返回平面内两条直线的位置关系两条直线相交对顶角相等垂线，点到直线的距离两条直线被第三条直线所截两直线平行两直线平行的判定两直线平行的性质同位角、内错角、同旁内角两直线平行的判定同位角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行的性质两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补内错角相等，两直线平行阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086