北师大版初中数学七年级下册 微专题01 平行线拐点模型通关专练(原卷版+解析版）

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微专题01 平行线的拐点模型通关专练 1．（2022春·广东韶关·七年级校考期中）如图，AB∥CD，  (1)观察图（1），写出∠APC与∠PAB，∠PCD的关系，并说明理由；(2)观察图（2），写出∠APC与∠PAB，∠PCD的关系，并说明理由．【答案】(1)∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，理由见解析(2)∠APC=∠PAB+∠PCD，理由见解析【分析】（1）过P作PE∥AB，结合AB∥CD，可得AB∥PE∥CD，利用两直线平行，同旁内角互补可得到结果；（2）P作PE∥AB，结合AB∥CD，可得AB∥PE∥CD，利用平行线的性质判断即可得到结果；【详解】（1）解：过P作PE∥AB，如图（1）；  ∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠A+∠APE=180°，∠EPC+∠C=180°，∴∠APC+∠PAB+∠PCD=∠A+∠APE+∠C+∠CPE=360°；（2）过P作PE∥AB，如图（2），  ∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠A=∠APE，∠EPC=∠C，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠A+∠C；【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的应用，熟练掌握平行线的性质与判断是解本题的关键．2．（2023春·河南周口·七年级统考期末）（1）如图1，已知AB∥CD，求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF；小明想到了以下方法，请帮助他完成证明过程：  证明：如图1，过点P作PG∥AB，则∠AEP=_____________________，∵AB∥CD，∴PG∥_____________________（平行于同一直线的两条直线平行）．∴∠CFP=_____________________（            ）．又∠1+∠2=∠EPF，∴∠AEP+∠CFP=∠EPF．（2）如图2，AB∥CD，请写出∠AEP，∠EPF，∠PFC之间的数量关系并说明理由；（3）如图3，AB∥CD，请直接写出图3中∠AEP，∠EPO，∠PQF，∠QFC之间的数量关系．【答案】（1）∠1；CD；∠2；两直线平行，内错角相等；（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°，理由见解析；（3）∠AEP+∠EPQ+∠PQF+∠QFC=540°．【分析】（1）如图1，过点P作PG∥AB，则∠AEP=∠1，证明PG∥CD，可得∠CFP=∠2，再结合角的和差运算可得答案；（2）过点P作MN∥AB，证明MN∥CD，可得∠AEP+∠EPM=180°，∠CFP+∠FPM=180°，结合∠EPF=∠EPM+∠FPM，从而可得答案；（3）过点P，Q分别作PM∥AB，NQ∥CD，可得∠AEP+∠EPM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQF+∠QFC=180°，再利用角的和差关系可得结论．【详解】（1）证明：如图1，过点P作PG∥AB，则∠AEP=∠1，∵AB∥CD，∴PG∥CD（平行于同一直线的两条直线平行）．∴∠CFP=∠2（两直线平行，内错角相等）．又∠1+∠2=∠EPF，∴∠AEP+∠CFP=∠EPF．（2）∠AEP+∠EPF+∠CFP=360°，理由如下：  过点P作MN∥AB，∵AB∥CD，∴MN∥CD（平行于同一直线的两直线互相平行），∴∠AEP+∠EPM=180°，∠CFP+∠FPM=180°（两直线平行，同旁内角互补），又∵∠EPF=∠EPM+∠FPM，∴∠AEP+∠CFP+∠EPF=360°．（3）如图：过点P，Q分别作PM∥AB，NQ∥CD，而AB∥CD，  ∴AB∥PM∥NQ∥CD ∴∠AEP+∠EPM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQF+∠QFC=180°，∴ ∠AEP+∠EPQ+∠PQF+∠QFC=540°．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，平行公理的应用，正确的添加辅助线是解题的关键．3．（2023·江苏·七年级假期作业）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．(1)如图（2）所示，已知AB//CD，请问∠B，∠D，∠E有何关系并说明理由；(2)如图（3）所示，已知AB//CD，请问∠B，∠E，∠D又有何关系并说明理由；(3)如图（4）所示，已知AB//CD，请问∠E+∠G与∠B+∠F+∠D有何关系并说明理由．【答案】(1)∠B+∠D=∠BED；(2)∠B+∠BED+∠D=360°；(3)∠BEF+∠FGD=∠B+∠EFG+∠D．【分析】（1）如图，过E作EM∥AB，证明EM∥AB∥CD，再利用平行线的性质可得结论；（2）如图，过E作EM∥AB，证明EM∥AB∥CD，再利用平行线的性质可得结论；（3）分别过E，F，G作AB的平行线， 证明AB∥EM∥FN∥GH∥CD, 再利用平行线的性质可得结论.【详解】（1）解：如图，过E作EM∥AB，∵AB∥CD, ∴EM∥AB∥CD， ∴∠MEB=∠B，∠MED=∠D， ∴∠B+∠D=∠BED；（2）如图，过E作EM∥AB，∵AB∥CD, ∴EM∥AB∥CD， ∴∠MEB+∠B=180°，∠MED+∠D=180°， ∴∠B+∠BED+∠D=360°；（3）分别过E，F，G作AB的平行线， 同理可得：AB∥EM∥FN∥GH∥CD, 则∠1=∠B，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D， ∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D， 即，∠BEF+∠FGD=∠B+∠EFG+∠D．【点睛】本题主要考查构造辅助线：平行线，充分运用平行线的性质探究角与角之间的关系是解本题的关键，同时考查了平行公理的应用．4．（2022春·河北唐山·七年级统考期中）如图，AC，BD被AB所截，E为AB外一点，连接CE，ED，已知∠A= (90 + x)°，∠B=(90 – x)°，∠CED=90°，2∠C –∠D =α°．(1)判断AC与BD的位置关系，并说明理由；(2)当α=30时，求∠C，∠D的度数；(3)直接写出∠C，∠D的度数（用含α的式子表示）．【答案】(1)AC∥BD，理由见解析(2)∠C =40°，∠D =50°(3)∠C =(30+13α)°，∠D =(60 –13α)°【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行求出AC∥BD；（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠CEF＝∠C，∠DEF＝∠D，然后列出关于∠C、∠D的二元一次方程组求解即可；（3）根据两直线平行，内错角相等可得∠CEF＝∠C，∠DEF＝∠D，再根据∠CED＝∠DEF＋∠CEF得到∠D＋∠C＝90°，然后求解即可．【详解】（1）解：AC∥  BD．理由如下：∵∠A＝(90 + x)°，∠B＝(90 – x)°，∴∠A+∠B=(90 － x)°＋(90＋x)°＝180°，∴AC∥  BD．（2）如图，过点E作EF∥AC， ∵AC∥BD，∴EF∥BD， ∴∠CEF=∠C，∠DEF=∠D，∴∠C+∠D=∠CED=90°，又∵2∠C－∠D=α°，α=30，∴2∠C －(90°－ ∠C)=30°， ∴3∠C =120°，∴∠C =40°，∠D =50°．（3）由（2）得∠D＋∠C＝90°，∵2∠C–∠D=α°，∴2∠C– (90°–∠C)=α°，∴3∠C =90°+α°，∴∠C =(30+13α)°，∠D =(60 –13α)°．【点睛】本题考查了平行线性质和判定，平行公理，熟记平行线的性质以及判定方法是解题的关键．5．（2022春·北京丰台·七年级统考期末）阅读下列材料：如图1，AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点P在AB，CD之间，连接PE，PF．用等式表示∠AEP，∠EPF与∠CFP的数量关系．小刚通过观察，实验，提出猜想：∠EPF=∠AEP+∠CFP．接着他对猜想的结论进行了证明，证明思路是：过点P作PM∥AB，由AB∥CD，可得PM∥CD，根据平行线的性质，可得∠1=∠AEP，∠2=∠CFP，从而证得∠EPF=∠AEP+∠CFP．请你利用小刚得到的结论或解题思路，完成下列问题．已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点P在AB，CD之间，连接PE，PF．(1)如图2，若∠AEP=45°，∠EPF=80°，则∠PFD的度数为______；(2)如图3，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，用等式表示∠EPF与∠EQF的数量关系，并证明；(3)如图4，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，直接用等式表示∠EPF与∠EQF的数量关系．【答案】(1)∠PFD=145°(2)∠EPF=2∠EQF,证明见解析(3)2∠EQF+∠EPF=360°.【分析】（1）如图，过点P作PM∥AB，证明PM∥CD，再证明∠EPF=∠1+∠2=∠AEP+∠CFP，求解∠CFP=35°, 从而可得答案；（2）由（1）同理可得：∠EPF=∠AEP+∠CPF,∠EQF=∠AEQ+∠CFQ, 再证明∠AEP=2∠AEQ,∠CFP=2∠CFQ, 从而可得答案；（3）由（1）同理可得：∠EQF=∠AEQ+∠CFQ,∠EPF=∠BEP+∠DFP, 再证明2∠EQF=2∠AEQ+2∠CFQ=∠AEP+∠CFP, 从而可得结论．(1)解：如图，过点P作PM∥AB， ∴ ∠1=∠AEP∵ AB∥CD，PM∥AB，∴ PM∥CD，∴ ∠2=∠CFP，∴ ∠EPF=∠1+∠2=∠AEP+∠CFP．∵ ∠AEP=45°，∠EPF=80°，∴∠CFP=80°−45°=35°, ∴ ∠PFD=180°−35°=145°.(2)由（1）同理可得：∠EPF=∠AEP+∠CFP,∠EQF=∠AEQ+∠CFQ,∵ ∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，∴∠AEP=2∠AEQ,∠CFP=2∠CFQ, ∴∠EPF=2∠AEQ+2∠CQF=2(∠AEQ+∠CFQ)=2∠EQF,(3)由（1）同理可得：∠EQF=∠AEQ+∠CFQ,∠EPF=∠BEP+∠DFP, ∵ ∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，∴∠AEP=2∠AEQ,∠CFP=2∠CFQ, ∴2∠EQF=2∠AEQ+2∠CFQ=∠AEP+∠CFP, ∴2∠EQF+∠EPF=∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP=360°.【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，作出合适的辅助线是解本题的关键．6．（2023春·山西长治·七年级校考阶段练习）综合与探究已知AB∥CD，BF为∠ABE的平分线，DF为∠CDE的平分线，BF和DF相交于点F．(1)在图1中，∠BFD，∠ABF，∠CDF之间的数量关系为___________∠BFD，∠ABE，∠CDE之间的数量关系为___________(2)如图2，若∠E+8∠M=360°，∠ABM=14∠EBF，试猜想∠CDM和∠MDF之间的数量关系，并加以证明．(3)若∠E+2n∠M=360°， ∠ABM=1n∠EBF，请直接写出∠CDM和∠MDF之间的数量关系；【答案】(1)∠BFD=∠ABF+∠CDF，2∠BFD=∠ABE+∠CDE(2)∠CDM=13∠MDF(3)∠CDM=1n−1∠MDF【分析】（1）过F作FN∥AB，根据平行线的性质与判定得出∠BFD=∠ABF+∠CDF，根据BF为∠ABE的平分线，DF为∠CDE的平分线，得出2∠BFD=∠ABE+∠CDE；（2）过点E作EP∥AB，根据平行线的性质与判定得出∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，由（1）可得2∠BFD=∠ABE+∠CDE，进而可得∠BED=360°−2∠BFD，根据已知条件得出∠BFD=4∠M，则∠ABM+∠CDM=14∠BFD，根据∠ABM=14∠EBF，即可求解；（3）根据（2）的方法即可求解．【详解】（1）解：如图所示，过F作FN∥AB∵AB∥CD，∴NF∥CD，∴∠ABF=∠BFN，∠CDF=∠DFN，又∠BFN+∠DFN=∠BFD，∴∠BFD=∠ABF+∠CDF；∵BF为∠ABE的平分线，DF为∠CDE的平分线，∴∠ABE+∠CDE=2∠ABF+CDF=2∠BFD即2∠BFD=∠ABE+∠CDE，故答案为：∠BFD=∠ABF+∠CDF，2∠BFD=∠ABE+∠CDE．（2）∠CDM=13∠MDF，证明如下，如图所示，过点E作EP∥AB∵AB∥CD，∴EP∥CD，∠ABE+∠BEP=180°∴∠CDE+∠DEP=180°∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，由（1）可得2∠BFD=∠ABE+∠CDE∴∠BED=360°−∠ABE+∠CDE =360°−2∠BFD∵∠BED+8∠M=360°，即∠BED=360°−8∠M∴∠BFD=4∠M，即∠M=14∠BFD同（1）可得∠M=∠ABM+∠CDM，∴∠ABM+∠CDM=14∠BFD∵∠ABM=14∠EBF，∠ABF=∠EBF，∴∠CDM=14∠BFD−∠EBF=14∠BFD−∠ABF=14∠CDF，∴∠CDM=13∠MDF；（3）解：由（2）可得∠BED=360°−2∠BFD，∵∠BED+2n∠M=360°，∴∠BFD=n∠M，即∠M=1n∠BFD同（1）可得∠M=∠ABM+∠CDM，∴∠ABM+∠CDM=1n∠BFD∵∠ABM=1n∠EBF，∠ABF=∠EBF，∴∠CDM=1n∠BFD−∠EBF=1n∠BFD−∠ABF=1n∠CDF，∴∠CDM=1n−1∠MDF．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．7．（2023春·江苏南京·七年级校联考期中）（1）如图①，AB∥CD， ∠1=∠2，求证：PB∥CM．（2）如图②，AB∥CD，直接写出∠B，∠D，∠E，∠F，∠G之间的数量关系．  【答案】（1）证明见解析；（2）∠B+∠EFG+∠D=∠E+∠FGD，证明见解析；【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABC=∠BCD，再利用平行线的判定即可解答；（2）过点E作EP∥AB，过点F作FH∥EP，过点GT∥CD，根据平行公理及平行线的性质即可解答．【详解】解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD，∴∠1+∠PBC=∠2+∠BCM，∵∠1=∠2，∴∠PBC=∠BCM，∴PB∥CM；  （2）∠B+∠EFG+∠D=∠E+∠FGD，理由如下：过点E作EP∥AB，过点F作FH∥EP，过点GT∥CD，∴AB∥EP∥FH∥GT∥CD，∴∠ABE=∠BEP，∠PEF=∠EFH，∠HFG=∠FGT，∠TGD=∠CDG，∴∠BEF=∠BEP+∠EFH，∠FGD=∠FGT+∠D，∴∠BEF+∠FGD=∠BEP+∠EFH+∠FGT+∠D，∵∠B=∠BEP，∠EFG=∠EFH+∠HFG，∠TGD=∠CDG，∴∠B+∠EFG+∠D=∠E+∠FGD，  【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，平行公理，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．8．（2023秋·四川乐山·七年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠B=36°，∠D=108°，点E、F为AB、CD之间的两点．(1)如图1，若∠E=90°，求∠F的度数；(2)如图2，请探索∠F−∠E的度数是否为定值，请说明理由；(3)如图3，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．【答案】(1)126° ；(2)为定值36°；(3)∠P=18°．【分析】（1）如图，过E作EN∥AB，过F作FP∥AB，证明AB∥EN∥PF∥CD，证明∠4=180°−∠D=72°，∠3=∠2=54°，从而可得答案；（2）如图，过E作EN∥AB，过F作FP∥AB，证明AB∥EN∥PF∥CD，可得∠1=∠B=36°，∠4=180°−∠D=72°，∠3=∠2，再利用角的和差运算可得结论；（3）如图，∵EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，可得∠2=∠1=12∠BEF，∠3=∠4=12∠EFD，由三角形的内角和定理可得∠P=180°−∠2+∠PFE =∠3−∠2，结合（2）得：∠EFD−∠BEF=36°，从而可得∠P=18°．【详解】（1）解：如图，过E作EN∥AB，过F作FP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EN∥PF∥CD，而∠B=36°，∠D=108°，∴∠1=∠B=36°，∠4=180°−∠D=72°，∵∠BEF=90°，∴∠2=90°−36°=54°，∵EN∥PF，∴∠3=∠2=54°，∴∠EFD=∠3+∠4=54°+72°=126°．（2）∠EFD−∠BEF=36°，是定值，理由如下：如图，过E作EN∥AB，过F作FP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EN∥PF∥CD，而∠B=36°，∠D=108°，∴∠1=∠B=36°，∠4=180°−∠D=72°，∠3=∠2，∴∠EFD−∠BEF=∠3+∠4−∠1−∠2=∠4−∠1=72°−36°=36°．（3）如图，∵EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，∴∠2=∠1=12∠BEF，∠3=∠4=12∠EFD，∴∠P=180°−∠2+∠PFE =180°−∠2+180°−∠3 =∠3−∠2，∵由（2）得：∠EFD−∠BEF=36°，∴∠3−∠2=12∠EFD−∠BEF=12×36°=18°，∴∠P=18°．【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的构建平行线，利用平行线的性质解决问题是解本题的关键．9．（2022春·福建厦门·七年级厦门外国语学校校考阶段练习）如图，B，C，D 是不在同一直线上的三点，且∠CDE +∠BCD -∠ABC＝180°．(1)如图 1，求证：AB∥DE；(2)如图 2，DG 平分∠EDC，点 P 是 DG 上一点，过点 P 作射线 PB，设∠1＝α； 若 PD∥BC，∠ABC＝2∠3，求∠C 的度数．（用含 α 的式子表示）【答案】(1)见解析(2)∠BCD=180−2a【分析】（1）过C作CH∥AB，可得∠B=∠1，根据∠CDE+∠BCD−∠ABC=180°，可转化为∠CDE+∠2=180°，即可证得结论；（2）过C作CH∥AB，可得出 ∠1=∠2=a，∠4=∠8=∠ABC=2a，由CH∥AB，AB∥DE可得CH∥DE，即可得出∠4=∠5=2a,∠CDE+∠7=180°，由DG 平分∠EDC，可得∠EDC=2∠5=4a，即可求出答案．【详解】（1）过C作CH∥AB，∴∠B=∠1，∵∠CDE+∠BCD−∠ABC=180°，∴∠CDE+∠BCD−∠1=180°，∴∠CDE+∠2=180°，∴AB∥DE；（2）如图：过C作CH∥AB，∵PD∥BC，∴∠3=∠2，∠4=∠8，∵∠ABC＝2∠3，∴∠ABC=2∠2，∴∠1=∠2=a，∠ABC=2a，∵CH∥AB，∴∠8=∠ABC=2a，∴∠4=∠8=2a，∵CH∥AB，AB∥DE，∴CH∥DE，∴∠4=∠5=2a,∠CDE+∠7=180°，∵DG 平分∠EDC，∴∠EDC=2∠5=4a，∴∠7=180°−∠EDC=180°−4a，∴∠BCD=∠7+∠8=(180°−4a)+2a=180−2a．【点睛】此题考查了平行线的判定及性质，掌握平行线的判定及性质是解题的关键．10．（2023春·浙江杭州·七年级统考期末）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，点Q为射线EF上一点．  (1)如图1，若∠A=22°，∠C=35°，则∠AQC= ．(2)如图2，当点Q在线段EF的延长线上时，请写出∠A、∠C和∠AQC三者之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，AH平分∠QAB，CH交AH于点H．①若CH平分∠QCD，求∠AQC和∠AHC的数量关系．②若∠QCH:∠DCH=1:3，∠HCD=33°，∠AHC=25°，直接写出∠AQC的度数为 ．【答案】(1)57°(2)数量关系：∠A−∠C=∠AQC，理由见解析(3)① ∠AHC= 12 ∠AQC，②∠AQC=72°【分析】（1）过点Q作QH ∥ AB，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；（2）过点Q作MN ∥ CD，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；（3）①过点H作PH ∥ CD，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；②根据①的结论，利用角的关系解答即可．【详解】（1）解：过点Q作QH ∥ AB，  ∵AB ∥ CD，∴QH ∥ AB ∥ CD，∴∠C=∠CQH=35°，∠A=∠HQA=22°，∴∠AQC=∠CQH+∠HQA=35°+22°=57°，故答案为：57°；（2）数量关系：∠A−∠C=∠AQC，证明：过点Q作MN ∥ CD，  ∵AB ∥ CD，∴AB ∥ MN，∴∠NQC=∠C，∠MQA=180°−∠A，∴∠AQC=180°−∠NQC−∠MQA=∠A−∠C．（3）①过点H作PG ∥ CD，  ∵AB ∥ CD，∴AB ∥ PH，∴∠PHC=∠HCD，∠GHA=180°−∠HAB，∴∠AHC=∠HAB−∠HCD．又∵AH平分∠CAB，CH平分∠QCD，∴∠HAB= 12 ∠QAB，∠HCD= 12 ∠QCD∴∠AHC= 12 (∠QAB−∠QCD)由（2）可得∠AHC= 12 ∠AQC.②∠AQC=72°，理由如下：∵∠QCH：∠DCH=1:3，∠HCD=33°，∠AHC=25°，∴∠QCH=11°，∠DCH=33°，∴∠HAB=33°+25°=58°，∴∠AQC=58°×2−44°=72°，故答案为：72°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，关键是添加辅助线，根据两直线平行，内错角相等解答．11．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC的度数．小明想到一种方法，但是没有解答完：如图2，过P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB=180°．∴∠APE=180°−∠PAB=180°−130°=50°．∵AB∥CD．∴PE∥CD．…请你帮助小明完成剩余的解答．（2）问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．①当点P在A，B两点之间时，∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系?请说明理由．②当点P在A，B两点外侧时（点P与点O不重合），请直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）①∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；②∠CPD=∠β−∠α或∠CPD=∠α−∠β【分析】（1）先根据平行线的性质可得∠CPE=60°，再根据∠APC=∠APE+∠CPE即可得；（2）①过点P作PE∥AD，先根据平行线的性质可得∠DPE=∠ADP=∠α，再根据平行公理推论可得PE∥BC，然后根据平行线的性质可得∠CPE=∠BCP=∠β，最后根据∠CPD=∠DPE+∠CPE即可得出结论；②分当点P在BA延长线上时和当点P在AB延长线上时两种情况，参照上述方法，利用平行线的性质、平行公理推论即可得出结论．【详解】解：（1）如图2，过P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB=180°．∵∠PAB=130°，∴∠APE=180°−∠PAB=180°−130°=50°．∵AB∥CD．∴PE∥CD．∴∠CPE+∠PCD=180°，∵∠PCD=120°，∴∠CPE=180°−∠PCD=180°−120°=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°；（2）①∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如图，过点P作PE∥AD，∴∠DPE=∠ADP=∠α，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴∠CPE=∠BCP=∠β，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；②如图，当点P在BA延长线上时，过P作PE∥AD交CD于点E，∴∠DPE=∠ADP=∠α，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴∠CPE=∠BCP=∠β，∴∠CPD=∠CPE−∠DPE=∠β−∠α；如图，当点P在AB延长线上时，过P作PE∥AD交CD于点E，∴∠DPE=∠ADP=∠α，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴∠CPE=∠BCP=∠β，∴∠CPD=∠DPE−∠CPE=∠α−∠β；综上，当点P在BA延长线上时，∠CPD=∠β−∠α；当点P在AB延长线上时，∠CPD=∠α−∠β．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、平行公理推论，较难的是题（2）②，正确分两种情况讨论是解题关键．12．（2021春·四川泸州·七年级统考期末）已知∶直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°，过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC．(1)如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，求∠AMP的度数（适当添加辅助线，并不难）(2)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=60°时，求∠AMP的度数．（直接写出结论）(3)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=α°时，求LAMP的度数．（用含α的代数式表示，直接写出结论）【答案】(1)25°(2)30°(3)12α【分析】（1）过P作PE∥AB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC=90°，结合平角的定义可求解∠PNC=65°，进而可求解；（2）过P作PF∥AB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC=90°，结合平角的定义可求解∠PNC=60°，进而可求解；（3）过P作PF∥AB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC=90°，结合平角的定义可求解∠PNC=α，进而可求解；【详解】（1）解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠AMP=∠MPE，∠CNP=∠EPN，∴∠MPN=∠AMP+∠PNC，∵∠MPN=90°，∴∠AMP+∠PNC=90°，∵∠PNQ=∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND=180°，∴∠PNQ=∠PNC=12（180°-∠QND），∵∠QND=50°，∴∠PNC=65°，∴∠AMP=90°-65°=25°；（2）解：过P作PF∥AB，∵AB∥CD，∴PF∥CD，∴∠AMP=∠MPF，∠CNP=∠FPN，∴∠MPN=∠AMP+∠PNC，∵∠MPN=90°，∴∠AMP+∠PNC=90°，∵∠PNQ=∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND=180°，∴∠PNQ=∠PNC=（180°-∠QND），∵∠QND=60°，∴∠PNC=60°，∴∠AMP=30°；（3）解：过P作PF∥AB，∵AB∥CD，∴PF∥CD，∴∠AMP=∠MPF，∠CNP=∠FPN，∴∠MPN=∠AMP+∠PNC，∵∠MPN=90°，∴∠AMP+∠PNC=90°，∵∠PNQ=∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND=180°，∴∠PNQ=∠PNC=12（180°-∠QND），∵∠QND=α，∴∠PNC=90°-12α，∴∠AMP=90°-90°+12α=12α．【点睛】本题主要考查平行线的性质，平角的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．13．（2021春·浙江·七年级校考期中）（1）如图（1）：直线AB∥CD，写出∠A、∠E、∠C满足的等量关系，并说明理由．（2）如图（2）：直线AB∥DE，直接写出∠ABC、∠BCD、∠CDE满足的一个等量关系．（3）如图（3）：直线AB∥CD∥EF，直接写出∠ABD、∠BDE、∠DEF满足的一个等量关系．【答案】（1）∠C=∠E+∠A，理由见解析；（2）∠BCD+∠CDE−∠ABC=180°；（3）∠DEF+∠ABD−∠BDE=180°【分析】（1）过点E作PE∥AB，然后根据两直线平行，同旁内角互补详解；（2）过点C作CP∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠ABC=∠BCP，∠CDE+∠DCP=180°，再根据∠BCD=∠BCP+∠DCP等量代换即可得解；（3）延长FE交BD于P，然后根据平行线的性质即可详解．【详解】解：（1）∠A+∠AEF=∠C，理由如下：过点E作PE∥AB，∵AB∥CD， ∴PE∥CD，∴∠A+∠AEP=180°，∠FEP+∠C=180°，∴∠FEP=180°−∠C，∴∠A+∠AEP=∠A+∠AEF+∠FEP=∠A+∠AEF+(180°−∠C)=180°，∴∠A+∠AEF−∠C=0°，∴∠A+∠AEF=∠C；（2）∠BCD+∠CDE−∠ABC=180°．证明如下：过点C作CP∥AB，∵AB∥DE，∴CP∥DE∥AB，∴∠ABC=∠BCP，∠CDE+∠DCP=180°，∴∠DCP=180°−∠CDE，∴∠BCD=∠BCP+∠DCP=∠ABC+180°−∠CDE，∴∠BCD+∠CDE−∠ABC=180°；（3）∠ABD+∠DEF−∠BDE=180°．证明如下：延长FE交BD于P，∵AB∥CD∥EF，∴∠ABD=∠BPE，∵∠BPE=∠BDE+∠DEP，∠DEP=180°−∠DEF，∴∠ABD=∠BDE+180°−∠DEF，∴∠ABD+∠DEF−∠BDE=180°．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，掌握平行线的性质，过拐点作平行线是解题的关键．14．（2022春·云南曲靖·七年级校考期中）探究学习：(1)感知与填空：如图①，直线AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED．阅读下面的解答过程，并填上适当的理由，解：过点E作EF∥AB，∴∠B=______（两直线平行，内错角相等）又∵AB∥CD（已知），∴EF∥CD（______） ∴∠2=∠D（______），∵∠BED=∠1+∠2∴∠B+∠D=∠BED（等量代换）(2)应用与扩展：如图②，直线AB∥CD，若∠B=22°，∠G=35°，∠D=25°，则∠E+∠F=______度；（不需要说明理由）(3)方法与实践：如图③，直线AB∥CD，请探究∠ABE，∠CDE和∠BED之间有怎样的关系，并证明你的结论【答案】(1)∠1；如果有两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；(2)82；(3)∠ABE=∠CDE+∠BED；证明见解析【分析】（1）根据两直线平行内错角相等，平行于同一直线的两直线平行解答即可；（2）过点E作EH∥AB，过点G作GM∥AB，过点F作FN∥AB，根据（1）由两直线平行内错角相等可得∠B=∠BEH，∠HEG=∠EGM，∠MGF=∠GFN，∠NFD=∠D，再进行等量代换即可解答；（3）过点E作EF∥AB，根据（1）由两直线平行内错角相等可得∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，再进行等量代换即可；(1)解：过点E作EF∥AB，∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等），又∵AB∥CD（已知），∴EF∥CD（如果有两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） ∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等），∵∠BED=∠1+∠2，∴∠B+∠D=∠BED（等量代换），故答案为：∠1；如果有两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；(2)解：如图，过点E作EH∥AB，过点G作GM∥AB，过点F作FN∥AB，AB∥EH，则∠B=∠BEH（两直线平行，内错角相等），AB∥MG，则EH∥MG（平行于同一直线的两直线平行），∴∠HEG=∠EGM（两直线平行，内错角相等），AB∥FN，则MG∥FN（平行于同一直线的两直线平行），∴∠MGF=∠GFN（两直线平行，内错角相等），CD∥AB，则FN∥CD（平行于同一直线的两直线平行），∴∠NFD=∠D（两直线平行，内错角相等），∵∠BEG+∠GFD=∠BEH+∠HEG+∠GFN+∠NFD，∴∠BEG+∠GFD=∠B+∠EGM+∠MGF+∠D=∠B+∠EGF+∠D=82°（等量代换）；(3)解：如图，过点E作EF∥AB，AB∥EF，则∠ABE=∠BEF（两直线平行，内错角相等），AB∥CD，则EF∥CD（平行于同一直线的两直线平行），∴∠CDE=∠DEF（两直线平行，内错角相等），∵∠BEF=∠BED+∠DEF∴∠ABE=∠BED+CDE（等量代换）；【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线的判定，正确作出辅助线是解题关键．15．（2022春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）探索发现：（1）如图1，AB∥CD，小明同学通过过点E作AB的平行线，利用平行线的性质，得出了∠ABE，∠BED，∠CDE之间的关系，请你猜测∠ABE，∠BED，∠CDE之间的关系；变式迁移：（2）如图2，AB∥CD，试探究∠ABE，∠BED，∠CDE之间的关系；尝试应用：（3）如图3，AB∥CD，DE平分∠CDF，BF⊥BE，若∠ABE=50°，∠BED=80°，求∠BFD的度数．【答案】（1）∠BED=∠ABE+∠CDE；（2）∠BED=∠CDE−∠ABE；（3）20°【分析】（1）过点E作EF∥AB，先根据平行线的性质可得∠ABE=∠BEF，再根据平行公理推论可得EF∥CD，然后根据平行线的性质可得∠CDE=∠DEF，最后根据∠BED=∠BEF+∠DEF即可得出结论；（2）过点E作EF∥AB，先根据平行线的性质可得∠ABE=∠BEF，再根据平行公理推论可得EF∥CD，然后根据平行线的性质可得∠CDE=∠DEF，最后根据∠BED=∠DEF−∠BEF即可得出结论；（3）先根据（1）的结论可得∠CDE=30°，再根据角平分线的定义可得∠CDF=60°，然后根据垂直的定义可得∠ABF=40°，最后根据（2）的结论即可得．【详解】解：（1）猜测∠BED=∠ABE+∠CDE，如图，过点E作EF∥AB，∴∠ABE=∠BEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CDE=∠DEF，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE；（2）∠BED=∠CDE−∠ABE，理由如下：如图，过点E作EF∥AB，∴∠ABE=∠BEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CDE=∠DEF，∴∠BED=∠DEF−∠BEF=∠CDE−∠ABE；（3）∵∠ABE=50°，∠BED=80°，∠BED=∠ABE+∠CDE，∴∠CDE=∠BED−∠ABE=30°，∵DE平分∠CDF，∴∠CDF=2∠CDE=60°，∵BF⊥BE，∠ABE=50°，∴∠ABF=90°−∠ABE=40°，由（2）得：∠BFD=∠CDF−∠ABF=20°．【点睛】本题考查了平行线的性质、平行线公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，添加合适的辅助线是解题关键．16．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）【阅读理解】我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．例如：如图1，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P在直线AB、CD之间，设∠AEP=∠α，∠CFP=∠β，求证：∠P=∠α+∠β．证明：如图2，过点P作PQ∥AB，∴∠EPQ=∠AEP=∠α，∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠FPQ=∠CFP=∠β，∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=∠α+∠β．即∠P=∠α+∠β．可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】(1)如图3，已知AB∥CD，已知∠D=40°，∠GAB=60°，求∠P的度数；(2)如图4，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA、PE．设∠A=∠α、∠CEP=∠β，则∠α、∠β、∠P之间有何数量关系？请说明理由．【拓展应用】(3)如图5，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA、PE，∠PED的角平分线与∠PAB的角平分线所在直线交于点Q，求12∠P+∠Q的度数．【答案】(1)∠P=100°(2)∠P=∠α+∠β−180°，理由见解析(3)180°【分析】（1）过点P作PQ∥AB，先根据平行线的性质可得∠APQ=∠GAB=60°，再根据平行公理推论可得PQ∥CD，根据平行线的性质可得∠DPQ=∠D=40°，然后根据角的和差即可得；（2）过点P作PQ∥AB，先根据平行线的性质可得∠APQ=180°−∠α，再根据平行公理推论可得PQ∥CD，根据平行线的性质可得∠QPE=∠CEP=∠β，然后根据角的和差即可得；（3）设∠BAF=x，∠DEQ=y，先根据角平分线的定义可得∠PAB=2∠BAF=2x，∠PED=2∠DEQ=2y，再根据（2）的结论可得∠P=∠PAB+∠CEP−180°=2x−2y，根据材料的结论可得∠Q=∠BAQ+∠DEQ=180°−x+y，然后代入计算即可得．【详解】（1）解：如图，过点P作PQ∥AB，∴∠APQ=∠GAB=60°，∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠DPQ=∠D=40°，∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=60°+40°=100°，即∠P=100°．（2）解：∠P=∠α+∠β−180°，理由如下：如图，过点P作PQ∥AB，∴∠A+∠APQ=180°，∵∠A=∠α，∴∠APQ=180°−∠A=180°−∠α，∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠QPE=∠CEP=∠β，∴∠APE=∠QPE−∠APQ=∠β−(180°−∠α)=∠α+∠β−180°，即∠P=∠α+∠β−180°．（3）解：设∠BAF=x，∠DEQ=y，∵AF平分∠PAB，EQ平分∠PED，∴∠PAB=2∠BAF=2x，∠PED=2∠DEQ=2y，∴∠CEP=180°−∠PED=180°−2y，由（2）可知，∠P=∠PAB+∠CEP−180°=2x−2y，由材料的结论可知，∠Q=∠BAQ+∠DEQ=180°−x+y=180°−x+y，∴12∠P+∠Q=122x−2y+180°−x+y=180°．【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，添加辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．17．（2022春·河南郑州·七年级校考阶段练习）AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF右侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG．(1)如图1，求证：∠EPG=∠BEP+∠PGD：(2)如图1，连接EG，若EG平分∠PEF，∠BEP+∠PGE=110°，∠PGD=12∠EFD，∠PGD=30°，求∠BEP的度数；(3)如图2，若EF平分∠PEA，∠PGD的平分线GN所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)40°(3)∠EPG+2∠EHG=180°，理由见解析【分析】（1）过点P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，由平行线的性质即可得出结论；（2）连接EG，由已知条件可得∠PGE=110°-∠BEP，结合（1）的结论可得∠EPG=∠BEP+30°，由平行线的性质及角平分线的定义可得∠PEG=60°-12∠BEP，再利用三角形的内角和定理可求解∠BEP的度数；（3）过点P作PM∥AB，过点H作HQ∥AB，则PM∥AB∥CD∥HQ，根据EF平分∠PEA，可设∠AEF=∠PEF=α，根据GN平分∠PGD，可设∠PGN=∠DGN=β，利用平行线的性质，即可得到∠EPG与∠EHG之间的数量关系．【详解】（1）证明：如图，过点P作PH∥AB，∵PH∥AB，∴∠BEP=∠HPE，∵AB∥CD，∴PH∥CD，∴∠DGP=∠HPG，∵∠HPG+∠HPE=∠EPG，∴∠EPG=∠DGP+∠BEP，（2）解：∵∠PGD=12∠EFD，∠PGD=30°，∴∠EFD=60°，由（1）可得∠EPG=∠BEP+30°，∵AB∥CD，∴∠EFD+∠BEF=180°，∴∠BEF=120°，∵EG平分∠PEF，∴∠FEG=∠GEP，∴∠PEG=60°-12∠BEP，∵∠EPG+∠PEG+∠PEG=180°∴∠BEP+30°+∠PEG+60°-12∠BEP=180°，∵∠BEP+∠PGE=110°，∴∠PGE=110°-∠BEP，∴∠BEP+30°+110°-∠BEP +60°-12∠BEP=180°，∴∠BEP=40°；（3）解：如图，过点P作PM∥AB，过点H作HQ∥AB，∵EF平分∠PEA，∴可设∠AEF=∠PEF=α，∵GN平分∠PGD，∴可设∠PGN=∠DGN=β，∵PM∥AB，∴∠EPM=180°-2α，∵AB∥CD，HQ∥AB，∴HQ∥CD，∴∠MHQ=∠DGN=β，∵AB∥CD，PM∥AB，∴PM∥CD，∴∠MPG=∠PGD=2β，∴∠EPG=∠MPG+∠MPG=180°-2α+2β，∵HQ∥AB，∴∠AEH=∠EHQ，∴α=∠EHG+∠NHQ=∠EHG+β，∴∠EHG=α-β，∴2∠EHG=2α-2β，∴∠EPG+2∠EHG=180°-2α+2β+2α-2β=180°．【点睛】本题考查的是平行公理的推论，平行线的性质，角平分线的定义的综合运用，作平行线，利用平行线的性质求解是解题的关键．18．（2023春·七年级单元测试）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，试求：  （1）∠EDC的度数；（2）若∠BCD=n°，试求∠BED的度数.(用含n的式子表示）【答案】（1）∠EDC =40°；（2）∠BED=(40+12n)°.【分析】（1）根据平行线的性质，两直线平行内错角相等得∠ADC=80°，再根据平分线即可求得.（2）如左边简图，本题要熟悉课本上的这样一道容易题的结论：∠BED=∠ABE+∠EDC.证法可参考答案，作辅助线，然后的思路不难完成了.详细过程见试题解析.【详解】解：（1）∵AB//CD，∴∠BAD=∠ADC.又∵∠BAD=80°，∴∠ADC=80°.∵BE平分∠ABC，∴∠EDC=12∠ADC=40°.（2）过点E作EF//AB，则有∠BEF=∠ABE.  又∵AB//CD,EF//AB，∴EF∥AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD=n°，∠FED=∠EDC=40°, 又∵BE平分∠ABC，∴∠1=12∠ABC=(n2)°.∴∠BEF=(n2)°，∴∠BED=∠BEF+∠FED=(40+n2)°19．（2023春·陕西咸阳·七年级校考阶段练习）（基础巩固】（1）如图1，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1+∠2=____________°；【尝试探究】（2）如图2，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2是CP与CD的夹角．①若∠2=22°，求∠1的度数；②试说明：2∠1−∠2=90°．【拓展提高】（3）如图3，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，请判断∠1与∠2的等量关系，并说明理由．  【答案】（1）90；（2）①56°②见解析；（3）∠1+2∠2=90°，理由见解析．【分析】（1）利用角平分线的定义可得，∠1=∠PAC=12∠BAC，∠2=∠PCA=12∠ACD，再根据平行线的性质，求解即可；（2）①根据垂直可得∠ACP=90°，从而得到∠ACD的度数，利用平行线的性质得到∠CAB的度数，即可求解；②利用角平分线的定义和平行线的性质，求解即可；（3）根据角平分线的定义可得∠ACD=2∠2，再根据平行线的性质可得∠ACD+∠CAB=180°，即可求解．【详解】解：（1）∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∴∠1=∠PAC=12∠BAC，∠2=∠PCA=12∠ACD∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°∴∠1+∠2=12∠ACD+∠CAB=90°，故答案为：90；（2）①∵CP⊥AC∴∠ACP=90°∵∠2=22°∴∠ACD=68°∵AB∥CD∴∠ACD+∠CAB=180°∴∠CAB=112°∵AP平分∠BAC，∴∠1=12∠CAB=56°；②∵CP⊥AC∴∠ACP=90°∴∠ACD=90°−∠2∵AP平分∠BAC，∴2∠1=∠CAB∵AB∥CD∴∠ACD+∠CAB=180°，即90°−∠2+2∠1=180°∴2∠1−∠2=90°；（3）∠1+2∠2=90°，理由如下：∵AP⊥AC∴∠PAC=90°∴∠BAC=90°+∠1∵CP平分∠ACD∴∠ACD=2∠2∵AB∥CD∴∠ACD+∠CAB=180°，即2∠2+90°+∠1=180°∴∠1+2∠2=90°．【点睛】此题考查了角平分线的定义，垂直的定义以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．20．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）已知，直线AB∥CD，点P为平面上一点，连接AP与CP．  (1)如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．(2)如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．【答案】(1)∠APC=80°(2)∠AKC=12∠APC(3)∠AKC=12∠APC【分析】（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根据∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP进行计算即可；（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，进而得到∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK=12∠BAP+12∠DCP=12∠BAP+∠DCP=12∠APC，进而得到∠AKC=12∠APC；（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，进而得到∠AKC=∠AKE−∠CKE=∠BAK−∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP−∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK−∠DCK=∠BAP−∠DCP=∠BAP−∠DCP=∠APC，进而得到∠AKC=∠APC．【详解】（1）解：如图1，过P作PE∥AB，  ∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°；（2）解：∠AKC=12∠APC．理由如下：如图2，过K作KE∥AB，  ∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，过P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∴∠DCK=12∠DCP，∠BAK=12∠BAP，∴∠BAK+∠DCK=12∠BAP+12∠DCP=12∠BAP+∠DCP=12∠APC，∴∠AKC=12∠APC；（3）解：∠AKC=12∠APC．理由如下：如图3，过K作KE∥AB，  ∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，∴∠AKC=∠AKE−∠CKE=∠BAK−∠DCK，过P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP−∠DCP，∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∴∠BAK=12∠BAP，∠DCK=12∠DCP，∴∠BAK−∠DCK=12∠BAP−12∠DCP=12∠BAP−∠DCP=12∠APC，∴∠AKC=∠APC．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．21．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期中）【基础巩固】（1）如图1，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，试说明∠1+∠2=90°；【尝试探究】（2）小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2=90°”这个结论不成立．请帮小明完成探究：如图2，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2是CP与CD的夹角．①若∠2=22°，求∠1的度数；②试说明：2∠1−∠2=90°．【拓展提高】（3）如图3，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，请判断∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由．  【答案】（1）见解析；（2）①56°；②见解析；（3）∠1+2∠2=90°，理由见解析【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAC+∠ACD=180°，根据角平分线的定义求解即可；（2）①根据垂直的定义推出∠ACD=68°，再根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可；②根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可；（3））根据平行线的性质得到∠BAC+∠ACD=180°，再根据角平分线的定义得到∠ACD=2∠2，利用垂直的定义可得∠CAP=90°，继而可得∠BAC=90°+∠1，代入化简即可．【详解】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∴∠1=12∠BAC，∠2=12∠ACD，∴∠1+∠2=90°；（2）①∵CP⊥AC，∴∠ACP=90°，∵∠2=22°，∠2+∠ACD=∠ACP，∴∠ACD=68°，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴∠BAC=112°，∵AP平分∠BAC，∴∠1=12∠BAC=56°；②∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∵AP平分∠BAC，∴∠1=12∠BAC，∴2∠1+∠ACD=180°，∵∠ACD=90°−∠2，∴2∠1+90°−∠2=180°，∴2∠1−∠2=90°；（3）∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACD=2∠2，∵AP⊥AC，∴∠CAP=90°，∴∠BAC=90°+∠1，∴90°+∠1+2∠2=180°，∴∠1+2∠2=90°，【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质定理是解题的关键．22．（2023秋·七年级课时练习）已知AB∥CD，点E为AB,CD之外任意一点．  （1）如图1，探究∠BED与∠B,∠D之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，探究∠CDE与∠B,∠BED之间的数量关系，并说明理由．【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若AB∥CD,∠EAB=70°,∠ECD=110°，则∠E=_______________．  【答案】（1）∠B=∠BED+∠D，理由见解析；（2）∠CDE=∠B+∠BED，理由见解析；[拓展变式]40°．【分析】（1）过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，根据平行线的性质可得∠BEF=∠B,∠D=∠DEF，进而得出结论；（2）理由如下：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，根据平行线的性质可得∠B=∠BEF，∠CDE=∠DEF，进而得出结论；（3）过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠AEF=180°−∠EAB=110°，∠CEF=180°−∠ECD=70°，进而即可求解．【详解】解：（1）∠B=∠BED+∠D．理由如下：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF．  ∴∠BEF=∠B,∠D=∠DEF．∵∠BEF=∠BED+∠DEF，∴∠B=∠BED+∠D．（2）∠CDE=∠B+∠BED．理由如下：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF．  ∴∠B=∠BEF，∠CDE=∠DEF．∵∠DEF=∠BEF+∠BED，∴∠CDE=∠B+∠BED．【拓展变式】过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF．  ∵∠EAB=70°,∠ECD=110°∠AEF=180°−∠EAB=110°，∠CEF=180°−∠ECD=70°∴∠AEC=∠AEF−∠CEF=110°−70°= 40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．23．（2023春·福建莆田·七年级校联考期中）已知：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，某同学为了探究这两个角之间的关系，画出了以下两个不同的图形，请你根据图形完成以下问题：  　　  (1)如图1，如果AB∥CD，BE∥DF，那么∠1和∠2之间的关系是： ；(2)如图2，如果AB∥CD，BE∥DF，那么∠1和∠2之间的关系是： ；(3)拓展应用，如果有两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角分别是多少度？【答案】(1)∠1=∠2(2)∠1+∠2=180°(3)这两个角分别是30°,30°或60°,120°【分析】（1）根据平行线的性质可得∠1=∠CME,∠2=∠CME，进而可得结论；（2）根据平行线的性质可得∠1=∠BMD,∠2+∠BMD=180°，进而可得结论；（3）设其中的一个角为x，则另一个角为3x−60°，结合（1）（2）可得关于x的方程，解方程即得答案.【详解】（1）∵AB∥CD，BE∥DF，∴∠1=∠CME,∠2=∠CME，∴∠1=∠2；故答案为：∠1=∠2（2）∵AB∥CD，BE∥DF，∴∠1=∠BMD,∠2+∠BMD=180°，∴∠1+∠2=180°；故答案为：∠1+∠2=180°  　　  （3）设其中的一个角为x，则另一个角为3x−60°，由（1）（2）可得：当这两个角相等时，x=3x−60°，解得x=30°，∴这两个角分别是30°,30°；当这两个角互补时，x+3x−60°=180°，解得x=60°，则3x−60°=120°，∴这两个角分别是60°,120°；综上，这两个角分别是30°,30°或60°,120°.【点睛】本题考查了平行线的性质、补角的计算和一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题关键.24．（2023春·陕西汉中·七年级校考期中）如图，已知直线AB∥CD，P是平面内一点，连接PA、PD．  (1)如图①，若∠PAB=130°，∠PDC=120°，求∠APD的度数；(2)如图②，若∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数；(3)如图③，试判断∠PAB、∠CDP和∠APD之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)110°(2)80°(3)∠CDP+∠PAB−∠APD=180°，见解析【分析】（1）过点P作PE∥AB，根据两直线平行同旁内角互补可得答案；（2）过点P作EF∥AB，根据两直线平行内错角相等可得出∠APE=50°，根据平行线公理及性质可得出∠EPD=30°，最后根据角的和与差即可得出答案；（3）过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，根据平行线的性质及角的和与差即可得出答案．【详解】（1）解：如图，过点P作PE∥AB，  ∵AB∥PE，∴∠PAB+∠APE=180°，∵∠PAB=130°，∴∠APE=180°−130°=50°，∵AB∥CD，AB∥PE，∴PE∥CD，∴∠PDC+∠DPE=180°，∵∠PDC=120°，∴∠DPE=180°−120°=60°，∵∠APE+∠DPE=∠APD，∴∠APD=50°+60°=110°；（2）解：如图1，过点P作EF∥AB，    ∵∠A=50°，∴∠APE=∠A=50°．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CDP+∠EPD=180°．∵∠D=150°，∴∠EPD=180°−150°=30°，∴∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°（3）解：∠CDP+∠PAB−∠APD=180°．理由：如图2，过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，    ∴∠CDP=∠DPF,∠FPA+∠PAB=180°，∴∠FPA=∠DPF−∠APD，∴∠DPF−∠APD+∠PAB=180°，∴∠CDP+∠PAB−∠APD=180°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．25．（2023春·黑龙江佳木斯·七年级校考期末）（1）如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，易证：∠B+∠C=∠BEC．（2）如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C+∠BEC=360°．（3）如图③，AB∥DC，其他条件不变，，则∠A、∠AEC、∠ECD有怎样的数量关系，请直接写出，不需证明．  【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠B+∠C+∠BEC=360°【分析】（1）过点E作EF∥AB，由AB∥CD得到EF∥AB∥CD，则∠B=∠BEF,∠C=∠CEF，即可得到∠B+∠C=∠BEF+∠CEF=∠BEC；（2）过点E作EG∥AB，由AB∥CD得到EG∥AB∥CD，则∠B+∠BEG=180°,∠C+∠CEG=180°，由∠BEC=∠BEG+∠CEG，即可得到结论；（3）过点E作EH∥AB，由AB∥CD得到EH∥AB∥CD，则∠A=∠AEH,∠ECD+∠CEH=180°，由∠CEH=∠AEC−∠AEH=∠AEC−∠A即可得到∠ECD+∠AEC−∠A=∠C+∠CEH=180°．【详解】（1）证明：过点E作EF∥AB，  ∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠B=∠BEF,∠C=∠CEF，∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF=∠BEC，即∠B+∠C=∠BEC；（2）证明：过点E作EG∥AB，  ∵AB∥CD，∴EG∥AB∥CD，∴∠B+∠BEG=180°,∠C+∠CEG=180°，∵∠BEC=∠BEG+∠CEG，∴∠B+∠C+∠BEC=∠B+∠BEG+∠C+∠CEG=360°，即∠B+∠C+∠BEC=360°；（3）解：过点E作EH∥AB，  ∵AB∥CD，∴EH∥AB∥CD，∴∠A=∠AEH,∠ECD+∠CEH=180°，∵∠CEH=∠AEC−∠AEH=∠AEC−∠A，∴∠ECD+∠AEC−∠A=∠C+∠CEH=180°，即∠ECD+∠AEC−∠A=180°．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，添加平行线为辅助线是解题的关键．26．（2023春·江苏南京·七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．   (1)如图1，AB∥CD，点E为AB、CD之间的一点．求证：∠1+∠MEN+∠2=360°．(2)如图2，AB∥CD，点E、F、G、H为AB、CD之间的四点．则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______．(3)如图3，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+⋯+∠n=______．【答案】(1)证明见详解；(2)900°；(3)180°n−1；【分析】（1）过点E作OE∥AB，可得OE∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠1+∠MEO=180°，∠OEN+∠2=180°，再计算角度和即可证明；（2）分别过点E、F、G、H作AB的平行线，在两相邻平行线间利用两直线平行同旁内角互补求得两角度和后，再将所有角度相加即可解答；（3）由（2）解答可知在AB、CD之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，结合图3找出n和线段条数的关系便可解答；【详解】（1）证明：如下图，过点E作OE∥AB，  ∵AB∥CD，OE∥AB，∴OE∥CD，根据两直线平行同旁内角互补可得：∠1+∠MEO=180°，∠OEN+∠2=180°，∴∠1+∠MEO+∠OEN+∠2=360°，∴∠1+∠MEN+∠2=360°；（2）解：如下图，分别过点E、F、G、H作O1E∥AB，O2F∥AB，O3G∥AB，O4H∥AB，  结合（1）解答在两相邻平行线间可得：∠AME+∠MEO1=180°，∠O1EF+∠EFO2=180°，∠O2FG+∠FGO3=180°，∠O3GH+∠GHO4=180°，∠O4HN+∠HNC=180°，将所有角度相加可得：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°×5=900°；（3）解：由（2）解答可知在AB、CD之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，由图3可知：当AB、CD之间有2条线段时，n=3，当AB、CD之间有3条线段时，n=4，当AB、CD之间有4条线段时，n=5，当AB、CD之间有5条线段时，n=6，…，当AB、CD之间有n−1条线段时，n=n，∴∠1+∠2+∠3+⋯+∠n=180°n−1；【点睛】本题考查了平行线公理的推论，平行线的性质，归纳总结的解题思路，通过作辅助线将角度按组计算是解题关键．27．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）已如直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD．  (1)如图1，已知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数；(2)如图2，小明通过探究，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为∠CDP+∠PAB−APD =180°．你认为小明判断正确吗？如正确，给出证明；如不正确，该说明理由．【答案】(1)80°(2)正确，证明见解析【分析】（1）过点P作EF∥AB，由平行线的性质分别求出∠APE，∠EPD即可求解；（2）过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，由平行线的性质得∠CDP=∠DPF，∠FPA+∠PAB=180°，把∠FPA=∠DPF−∠APD代入整理可得结论成立．【详解】（1）如图，过点P作EF∥AB，  ∴∠APE=∠A=50°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CDP+∠EPD=180°，∵∠D=150°，∴∠EPD=180°−150°=30°，∴∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°；（2）正确．如图，过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，  ∴∠CDP=∠DPF，∠FPA+∠PAB=180°，∵∠FPA=∠DPF−∠APD，∴∠DPF−∠APD+∠PAB=180°，∴∠CDP+∠PAB−∠APD=180°．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．28．（2023春·辽宁大连·七年级统考期末）直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，GE平分∠AEF，GF平分∠CFE．  (1)如图1，求∠EGF的度数；(2)如图2．∠CFH=13∠CFG，∠GEH=n∠AEH，∠EHF=30°，求n的值；(3)如图3，延长EG交CD于点K，点M在射线KF上（点Ｍ不与点K，F重合），EN平分∠MEF，画出图形，写出∠KEN与∠EMF之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)90°(2)n=2(3)∠EMF=2∠KEN或∠EMF=180°−2∠KEN，画图、理由见解析【分析】（1）过G作GP∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补，角平分线的定义即可作答；（2）过G作GP∥AB，过H作HQ∥AB．根据平行线的性质以及角之间的数量关系，即可作答；（3）分当点M在线段KF上时和当点M在线段KF延长线上时两种情况讨论，结合平行线的性质以及角平分线的定义，即可作答．【详解】（1）如图1，过G作GP∥AB．  ∵AB∥CD，∴GP∥CD．∵GP∥AB，GP∥CD，∴∠EGP=∠AEG，∠FGP=∠CFG．∵GE平分∠AEF，GF平分∠CFE，∴∠AEG=12∠AEF，∠CFG=12∠CFE．∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE=180°．∴∠EGF=∠EGP+∠FGP=∠AEG+∠CFG=12∠AEF+∠CFE=90°；（2）如图2，过G作GP∥AB，过H作HQ∥AB．  ∵AB∥CD，∴GP∥HQ∥AB∥CD，∵∠CFH=13∠CFG，∴设∠CFH=α，则∠CFG=3α．∵HQ∥CD，∴∠FHQ=∠CFH=α．∵∠EHF=30°，∴∠EHQ=∠EHF−∠FHQ=30°−α．∵HQ∥AB，∴∠AEH=∠EHQ=30°−α．∵GP∥CD，∴∠FGP=∠CFG=3α．∵∠EGF=90°，∴∠EGP=90°−3α．∵AB∥GP，∴∠AEG=∠EGP=90°−3α．∴∠GEH=∠AEG−∠AEH=90°−3α−30°−α=60°−2α．∵∠GEH=n∠AEH，∴60°−2α=n30°−α，∴n=2；（3）如图3，当点M在线段KF上时，∠EMF=2∠KEN．证明：∵AB∥CD，∴∠EMF=∠AEM=∠1+∠3．∵EG平分∠AEF，∴∠3=∠KEF=∠1+∠MEF．∵EN平分∠MEF，∴∠MEF=2∠2．∴∠EMF=∠1+∠1+2∠2=2∠1+∠2．∵∠KEN=∠1＋∠2，∴∠EMF=2∠KEN；  如图4，当点M在KF延长线上时，∠EMF=180°−2∠KEN．证明：∵AB∥CD，∴∠EMF=∠BEM=180°−∠AEM，∵EK平分∠AEF，EN平分∠MEF，∴∠AEF=2∠1，∠MEF=2∠2，∴∠AEM=∠AEF+∠MEF=2∠1+2∠2=2∠1+∠2．∵∠KEN=∠1+∠2，∴∠AEM=2∠KEN．∴∠EMF=180°−2∠KEN．综上所述，∠EMF=2∠KEN或∠EMF=180°−2∠KEN．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，掌握平行线的性质，理清图中各个角之间的数量关系，是解答本题的关键．29．（2023春·山东枣庄·七年级统考期中）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C=∠BEC .请把下面的说理过程补充完整：解：过点E作EF∥AB，因为AB∥CD (已知)，EF∥AB，所以EF∥DC，(______ )所以∠C= ______ .(______ )因为EF∥AB，所以∠B= ______ ，所以∠B+∠C=∠BEF+∠CEF .即∠B+∠C=∠BEC．（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，则∠B、∠C、∠BEC的关系为______ .(直接写出结论，不用说明理由) （3）解决问题：如图③AB∥DC，∠C=120°，∠AEC=80°，则∠A= ______ .(直接写出结果，不用写计算过程)   【答案】（1）平行于同一直线的两直线平行 ∠CEF 两直线平行，内错角相等 ∠BEF ；（2） ∠B+∠C=360°−∠BEC ；（3） 20°.【分析】（1）根据平行公理，平行线的性质即可求证出答案．（2）类比1，过点E作EF∥AB，然后根据平行公理、平行线的性质即可求证出答案．（3）过点E作EF∥AB，然后根据平行公理、平行线的性质即可求证出答案．【详解】解：（1）过点E作EF∥AB，因AB∥CD (已知)，因为EF∥AB，所以EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行)，所以∠C=∠CEF(两直线平行，内错角相等)，因为EF∥AB，所以∠B=∠BEF，所以∠B+∠C=∠BEF+∠CEF，即∠B+∠C=∠BEC．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；∠CEF；两直线平行，内错角相等；∠BEF；（2）∠B+∠C=360°−∠BEC，理由如下：如图②，过点E作EF∥AB，   ∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥AB∥DC，∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，∴∠B+∠C+∠BEC=360°，∴∠B+∠C=360°−∠BEC，故答案为：∠B+∠C=360°−∠BEC；（3）如图③，过点E作EF∥AB，   ∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥AB∥DC，∴∠C+∠CEF=180°，∠A=∠AEF，∵∠C=120°，∠AEC=80°，∴∠CEF=180°−120°=60°，∴∠AEF=80°−60°=20°，∴∠A=∠AEF=20°．故答案为：20°．【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质、平行公理等知识点，灵活运用平行公理以及平行线的性质是解题的关键．30．（2023春·四川泸州·七年级泸县五中校考阶段练习）已知，AB∥CD，AB，CD被直线l所截，点P是l上的一动点，连接PA，PC．    (1)如图①，当P在AB，CD之间时，求证：∠APC=∠A+∠C；(2)如图②，当P在射线ME上时，探究∠A，∠C，∠APC的关系并证明；(3)如图③，当P在射线NF上时，直接写出∠A，∠C，∠APC三者之间关系．【答案】(1)见解析(2)∠C=∠A+∠APC，见解析(3)∠A=∠C+∠APC【分析】（1）过 P 点作 PE∥AB，则 ∠A=∠APE，再由 AB∥CD 得出 PE∥CD，故∠EPC=∠C，利用等量代换即可得出结论；（2）先由平行线的性质得出 ∠C=∠PGM，再由三角形外角的性质即可得出结论；（3）根据 AB∥CD 得出 ∠A=∠AGC，再由三角形外角的性质即可得出结论；【详解】（1）证明：过点P作PE∥AB            ∵AB∥CD∴PE∥CD∥AB                    ∴∠1=∠A，∠2=∠C∴∠1+∠2=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C  （2）∠C=∠A+∠APC理由：过点P作PE∥AB∵AB∥CD∴PE∥AB∥CD∴∠C=∠EPC∠A=∠EPA∴∠EPC=∠EPA+∠APC∴∠C=∠A+∠APC  （3）∠A=∠C+∠APC∵AB∥CD∴∠A=∠AGC.∵∠AGC=∠C+∠APC,∴∠A=∠C+∠APC.  【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键