北师大版初中数学七年级下册 专题05 整式乘除单元过关【培优版】(原卷版+解析版）

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专题05 整式乘法与因式分解单元过关（培优版） 考试范围：第1章；考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）1．（2022春·七年级单元测试）计算(2019－π)0的结果是(　　)A．0B．1C．2019－πD．π－2019【答案】B【分析】根据非零数的零次方等于1求解即可.【详解】(2019－π)0=1.故选B.【点睛】本题考查了零次方的意义，熟练掌握非零数的零次方等于1是解答本题的关键.2．（2022春·七年级单元测试）设(4a−5b)2=(4a+5b)2+m ，则m=(       )A．40abB．−40abC．80abD．−80ab【答案】D【分析】已知等式利用完全平方公式展开，移项合并即可确定出m．【详解】（4a-5b）2=（4a+5b）2+m，得到m=（4a-5b）2-（4a+5b）2=-80ab，故选D．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．（2022春·七年级单元测试）下列计算结果错误的是（    ）A．（ab）7÷（ab）3=（ab）4    B．（x2 ）3÷（x3 ）2=xC．（﹣23 m）4÷（﹣23 m）2=（﹣23 m）2D．（5a）6÷（﹣5a）4=25a2【答案】B【详解】试题解析：B.x6÷x6=1. 故错误.故选B.4．（2022春·七年级单元测试）若x2－x－m＝(x－m)(x＋1)，且x≠0，则m的值为(　　)A．－1B．0C．1D．2【答案】D【详解】试题分析：（x－m）（x+1）=x2+（1－m）x－m=x2－x－m，则1－m=－1，解得m=2．考点：多项式的乘法计算．5．（2022春·七年级单元测试）如果a﹣b=2，a﹣c=12，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc等于（　　）A．134B．138C．132D．不能确定【答案】A【分析】把多项式扩大二倍,根据完全平方公式写成三个完全平方式,然后根据a﹣b=2，a﹣c=12，求出b-c=代入求解即可.【详解】a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=12（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）=12 [（a2+b2﹣2ab）+（a2+c2﹣2ac）+（b2+c2﹣2bc）]=12 [（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，∵a﹣b=2，a﹣c=12，∴b﹣c=﹣，∴原式=12（4+14+94）=134．故选A．【点睛】此题考查因式分解的运用,完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式,解题关键是对原多项式扩大二倍凑成完全平方式.6．（2022春·七年级单元测试）2x2y·(12－3xy＋y3)的计算结果是(     )A．2x2y4－x3y2＋x2yB．－x2y＋2x2y4C．2x2y4＋x2y－6x3y2D．－6x3y2＋2x2y【答案】C【详解】2x2y·(12－3xy＋y3)= 2x2y·12－2x2y·3xy＋2x2y·y3= 2x2y4＋x2y－6x3y2，故选C.7．（2022春·七年级单元测试）若2m＝5，4n＝3，则43n﹣m的值是(   )A．910B．2725C．2D．4【答案】B【分析】根据幂的乘方和同底数幂除法的运算法则求解．【详解】∵2m＝5，4n＝3，∴43n﹣m=43n4m=(4n)3(2m)2=3352=2725故选B.【点睛】本题考查幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握运算法则是解题关键.8．（2022春·七年级课时练习）正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了24cm2，则这个正方形原来的面积是（  ）A．15cm2B．25cm2C．36cm2D．49cm2【答案】B【分析】设原来正方形的边长为xcm，根据题意列出方程，求出方程的解，根据正方形面积公式即可得到结果．【详解】设原来正方形的边长为xcm，增加后边长为（x+2）cm，根据题意得：(x+2)2-x2=24，x2+4x+4-x2=24，4x=20解得：x=5，正方形原来的面积是5×5=25cm2.故选B.【点睛】此题考查了完全平方公式，弄清题意，列出方程是解题的关键．9．（2022春·七年级单元测试）下列运算正确的是（　　）A．x2+x3=x6B．（x3）2=x6C．2x+3y=5xyD．x6÷x3=x2【答案】B【详解】分析：根据同类项、幂的乘方和同底数幂的除法计算判断即可．详解：A．x2与x3不是同类项，不能合并，错误；    B．（x3）2=x6，正确；    C．2x与3y不是同类项，不能合并，错误；    D．x6÷x3=x3，错误．    故选B．点睛：本题考查了同类项、幂的乘方和同底数幂的除法，关键是根据法则进行计算．10．（2023春·七年级课时练习）若x2+x−2=0，则x3+2x2−x+2016等于（     ）A．2020B．2019C．2018D．－2020【答案】C【分析】将x2+x−2=0变形为x2=−x+2，x2+x=2，代入x3+2x2−x+2016即可求解．【详解】解：∵x2+x−2=0，∴x2=−x+2，x2+x=2，∴x3+2x2−x+2016=x·x2+2x2−x+2016=x·(−x+2)+2x2−x+2016=x2+x+2016=2+2016=2018．故选：C【点睛】本题考查了根据已知代数式的值求新代数式的值，将已知条件适当变形，代入所求代数式求解是解题关键．第II卷（非选择题）11．（2023春·七年级单元测试）计算：3x2y−xy2+12xy÷−12xy= ．【答案】−6x+2y−1【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得答案．【详解】3x2y−xy2+12xy÷−12xy=3x2y÷−12xy−xy2÷−12xy+12xy÷−12xy=−6x+2y−1．故答案为：−6x+2y−1．【点睛】本题考查整式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键．12．（2022春·七年级单元测试）若(x－1)(x＋a)的结果是关于x的二次二项式，则a＝ ．【答案】1或0【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果为二次二项式确定出a的值即可．【详解】原式=x2+(a−1)x−a， 由结果为关于x的二次二项式，得到a−1=0或a=0，则a=1或a=0.故答案为1或0【点睛】考查多项式乘以多项式以及多形式的项，比较基础，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键.13．（2022春·七年级单元测试）若代数式14x2−kxy+9y2是完全平方式，则k的值为 .【答案】±3【分析】根据完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2进行求解即可．【详解】解：∵14x2−kxy+9y2=(12x)2+(3y)2±2×12x×3y，∴k=±3．故答案为±3．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．14．（2023春·七年级课时练习）定义acbd为二阶行列式，规定它的运算法则为acbd=ad－bc.则二阶行列式x−3x−2x−4x−3的值为 .【答案】1【详解】由题意可得：x−3x−2x−4x−3=(x−3)(x−3)−(x−4)(x−2)=x2−6x+9−(x2−6x+8)=1.故答案为1.15．（2022春·七年级课时练习）计算：（﹣1）0﹣（12）﹣1= 【答案】-1【详解】（﹣1）0﹣（12）﹣1=1-112 =1-2=-1，故答案为-1.16．（2022春·七年级单元测试）2(3+1)(32+1)(34+1)-38的值是 .【答案】-1【详解】原式=(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)-38=(32-1)(32+1)(34+1)-38=(34-1)(34+1)-38=38-1-38=-1.点睛：本题考查了平方差公式的应用，把2化为3-1后利用平方差公式计算是解决本题的关键.17．（2022春·七年级单元测试）计算： （1）−12012+−12−2−3.14−π0   （2）(2x3y)2⋅(−2xy)+(−2x3y)3÷(2x2)（3）6m2n−6m2n2−3m2÷−3m2【答案】（1）4（2）−12x7y3（3）−2n+2n2+1【分析】（1）利用-1的偶次幂的法则、负指数幂法则、零指数幂法则即可得到答案；（2）根据乘方法则再利用单项式乘除单项式法则即可得到答案；（3）根据多项式除以单项式法则计算即可得到答案；【详解】解：（1）−12012+−12−2−3.14−π0=1+4−1=4（2）(2x3y)2⋅(−2xy)+(−2x3y)3÷(2x2)=4x6y2⋅(−2xy)+(−8x9y3)÷2x2=(−8x7y3)+(−4x7y3)=−12x7y3（3）6m2n−6m2n2−3m2÷−3m2=−2n+2n2+1(−3m2)÷−3m2=−2n+2n2+1【点睛】本题考查了整式的混合运算，知识点有：-1的偶次幂的法则、负指数幂法则、零指数幂法则、单项式乘除单项式、多项式除以单项式，熟练掌握公式及法则是做题的关键．18．（2022春·七年级单元测试）已知A,B为多项式,B=2x+1,计算A+B时,某学生把A+B看成A÷B,结果得4x2-2x+1,请你求出A+B的正确答案.【答案】8x3+2x+2【详解】试题分析：先根据把A+B看成A÷B,结果得4x2-2x+1,结合被除数、初数、商的关系列式求出A，然后列出A+B的正确式子，去括号合并同类项即可.解:因为A,B为多项式,B=2x+1,把A+B看成A÷B,结果得4x2-2x+1,所以A=(4x2-2x+1)(2x+1)=8x3+1,所以A+B=(8x3+1)+(2x+1)=8x3+2x+2.19．（2022春·七年级单元测试）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”.（1）试分析28是否为“神秘数”；（2）2019是“神秘数”吗？为什么？（3）说明两个连续偶数2k＋2和2k(其中k取非负整数)构造的“神秘数”是4的倍数．（4）设两个连续奇数为2k+1和2k－1，两个连续奇数的平方差（k取正整数）是“神秘数”吗？为什么？【答案】（1）28是“神秘数”；（2）2019不是“神秘数”；（3）由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍；（4）不是“神秘数”.【分析】本题主要考查完全平方公式和平方差公式，能熟练利用完全平方公式和平方差公式进行计算；【解题方法提示】分析题意，对于（1）（2），结合神秘数的定义，看是否可以将28与2092写成两个连续偶数的平方差，即可得出答案；对于（3），两个连续偶数构造的神秘数为(2k+2)2-(2k)2，化简看是否是4的倍数；对于（4），设这两个连续奇数分别为2k+1和2k-1，所以有(2k+1)2-(2k-1)2=8k，判断8k是否是神秘数就可得出答案．【详解】（1）28=82-62是“神秘数”（2）2019不是“神秘数”设2 019是由y和y－2两数的平方差得到的， 则y2－(y－2)2＝2 019，解得：y＝505.75，不是偶数，∴2 019不是“神秘数”.    （3） (2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2－2k)(2k＋2＋2k)＝4(2k＋1)， ∴由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍. （4）(2k＋1)2－(2k－1)2＝8k，是8的倍数，但不是4的倍数，根据定义得出结论，不是“神秘数”.【点睛】平方差公式，完全平方公式．20．（2023春·七年级课时练习）我们运用图1中大正方形的面积可表示为a+b2，也可表示为c2+4×12ab，即a+b2=c2+4×12ab，推导出一个重要的结论a2+b2=c2，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”，请你用图2提供的图形（每种图形数量不限）进行组合，画出组合图形，用组合图形的面积表达式验证：x+2y2=x2+4xy+4y2.图1                            图2【答案】见解析【分析】可先画出一个边长为(x+2y)正方形在根据x+2y2=x2+4xy+4y2将正方形进行分割即可.【详解】解：画出组合图形如图所示大正方形的面积为x2+4y2+4xy，也可以表示为x+2y2，所以x+2y2=x24xy+4y2.【点睛】本题考查了恒等式与图形，利用恒等式与图形面积间的关系画出相应图形是解题的关键.21．（2022春·七年级单元测试）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．(1)请你检验这个等式的正确性；(2)若a＝2 016，b＝2 017，c＝2 018，你能很快求出a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值吗？【答案】（1）详见解析；（2）3.【详解】试题分析：(1)已知等式右边利用完全平方公式化简,整理即可作出验证; (2)把a,b,c的值代入已知等式右边,求出值即为所求式子的值.解：(1)等式右边＝ (a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2)＝ (2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac)＝a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝等式左边，所以等式是成立的．(2)原式＝ [(2 016－2 017)2＋(2 017－2 018)2＋(2 018－2 016)2]＝3.点睛：本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式(a±b)2=a2±2ab+b2，是解答本题的关键.22．（2022春·七年级单元测试）【教材呈现】：图①．图②，图③分别是华东师大版八年级上册数学教材第33页、第34页和第52页的图形，结合图形解决下列问题：（1）分别写出能够表示图①、图②中图形的面积关系的乘法公式：__________________，________________．（2）图③是用四个长和宽分别为a,b的全等长方形拼成的一个正方形（所拼图形无重叠、无缝隙），写出代数式(a+b)2、(a−b)2、ab之间的等量关系：_________________________．【结论应用】根据上面（2）中探索的结论，回答下列问题：（3）当m+n=5，mn=−1时，求m−n的值；（4）设A=m+34,B=m−3，化简(A+B)2−(A−B)2．【答案】（1）（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2；（2）（a+b）2=（a-b）2+4ab；（3）m−n的值为±29；（4）m2−9【分析】（1）根据图①、图②中各个部分面积之间的关系得出乘法公式；（2）根据大正方形的面积等于小正方形面积与4个矩形面积的和可得答案；（3）由（2）的结论，根据关系式可求答案；（4）由完全平方公式可得（A+B）2-（A-B）2=4A•B，再代入求值即可．【详解】解：（1）图①大正方形的边长为a+b，根据各个部分面积之间的关系可得，（a+b）2=a2+2ab+b2，图②中，最大的正方形的边长为a，较小的正方形的边长为a-b，最小的正方形的边长为b，根据各个部分面积之间的关系得，（a-b）2=a2-2ab+b2，故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2；（2）根据大正方形的面积等于小正方形面积与4个矩形面积的和可得，（a+b）2=（a-b）2+4ab，故答案为：（a+b）2=（a-b）2+4ab；（3）由（2）可得，（m+n）2=（m-n）2+4mn，∵m+n=5，mn=-1，∴25=（m-n）2-4，即（m-n）2=29，∴m-n=±29，答：m-n的值为±29；（4）由完全平方公式得，（A+B）2-（A-B）2=A2+2A•B+B2-A2+2A•B-B2=4A•B，当A=m+34，B=m-3时，原式=4×m+34×（m-3）=m2-9．【点睛】本题考查了完全平方公式及其应用，掌握完全平方公式的结构特点是正确应用的前提，适当的变形是得出答案的关键．23．（2022春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）（1）已知x2−2x=2，将下式先化简，再求值：x−12+x−3x+3+x−3x−1；（2）已知a、b、c是△ABC的三边的长，若满足a2+2b2+c2−2ba+c=0，试判断此三角形的形状．【答案】（1）3x2−6x−5，1；（2）等边三角形【分析】（1）先根据完全平方公式、平方差公式化简，然后将x2−2x视为一个整体代入求解；（2）观察发现，等式左侧为2组完全平方式，然后利用平方的非负性求出a=b，c=b得到结论．【详解】（1）原式=x2−2x+1+x2−9+x2−4x+3=3x2−6x−5，∵x2−2x=2，∴原式=3(x2−2x)−5=3×2−5=1；（2）a2+2b2+c2−2ba+c=0，a2+b2+b2+c2−2ab−2bc=0 ，(a2+b2−2ab)+(b2+c2−2bc)=0，a−b2+c−b2=0 ，∵a−b2≥0，c−b2≥0，∴a-b=0，c-b=0，∴a=b，c=b，即a=b=c，∴△ABC是等边三角形．【点睛】本题考查了乘法公式和整体代入的思想，当题干中看到a2、b2、2ab这样的模块时，就应该优先想到完全平方公式的应用．24．（2022秋·八年级单元测试）阅读下列材料：规定一新运算abcd=ad−bc，例如1234=1×4−2×3=−2，根据这种运算的规定，请解决下列问题．(1)用含x的式子表示x+2x−3x−1x+2．(2)当a+b=4时，求2a622b−1的值．【答案】(1)8x+1(2)−4【分析】（1）原式利用题中的新定义化简即可得到结果；（2）原式利用题中的新定义化简，将a+b＝4代入计算即可求出值．【详解】（1）解：根据题中的新定义得：原式＝x+22−x−1x−3=x2+4x+4−x2−4x+3 =8x+1；（2）解：根据题中的新定义得：原式＝=2a⋅2b−1−12=2a+b−1−12，当a+b＝4时，原式＝23−12=8−12=−4．【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．（2022春·七年级单元测试）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．例如图1可以得到（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：(1)根据图2，完成数学等式：（2a）2＝ ．(2)观察图3，写出图3中所表示的等式： ＝ ．(3)若a＝7x+5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2＝37，请利用（2）所得的结论求：ab+bc+ac的值．【答案】(1)4a2(2)(a+b+c)2；a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac(3)42【分析】（1）（2）分别用整体和部分两种表示面积，即可求证；（3）利用（2）的结论，把a，b，c的值代入即可求得．【详解】（1）由图2得（2a）2＝4a2，故答案为：4a2；（2）由图3得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，故答案为：（a+b+c）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（3）由（2）知（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，∵a＝7x+5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2＝37，∴（7x+5﹣4x+2﹣3x+4）2＝37+2ab+2bc+2ac，∴121＝37+2（ab+bc+ac），∴ab+bc+ac＝42．【点睛】多项式乘多项式与图形面积，解题的关键就是根据图形的特点，用两种办法表示面积即可求证．评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题评卷人得分三、解答题