北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式优秀课后作业题

这是一份北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式优秀课后作业题，文件包含专题03乘法公式知识串讲+12大考点原卷版docx、专题03乘法公式知识串讲+12大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。

知识一遍过
（一）平方差公式
平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
【运用平方差公式注意事项】
①对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式．
②公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误．
（二）完全平方公式
完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
【扩展】
扩展一(公式变化)： +
+2ab
扩展二： + = 2(+ )
- = 4ab
考点一遍过
考点1：平方差公式
典例1：（2023秋·四川眉山·八年级校考期中）下列不能用平方差公式直接计算的是（ ）
A．−m+nm−nB．−m−n−m+n
C．x+2x−2D．−2x+y2x+y
【答案】A
【分析】根据“两个数的和与两个数的差的积”能运用平方差公式直接计算，逐项分析即可得到答案．
【详解】解：A、−m+nm−n不满足“两个数的和与两个数的差的积”，不能用平方差公式计算，故此选符合题意；
B、−m−n−m+n满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符合题意；
C、x+2x−2满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符合题意；
D、−2x+y2x+y满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解此题的关键．
【变式1】（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）a−b+ca+b−c等于（ ）
A．−a−b+c2B．a2−b−c2
C．a−b2−c2 D．c2−a2+b2
【答案】B
【分析】把原式a−b+ca+b−c变形为a−b−ca+b−c利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：a−b+ca+b−c
=a−b−ca+b−c
=a2−b−c2
故选：B
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的内容是解题的关键．
【变式2】（2023春·江西赣州·七年级校考阶段练习）在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是 （ ）
A．2a−3b−2a+3bB．−3a+4b−4b−3a
C．a+1−a−1D．a2−ba+b2
【答案】B
【分析】平方差公式的形式是a+ba−b，平方差公式的特点是两个数的和乘以两个数的差，逐一判断四个选项，即可求解．
【详解】解：A、(2a−3b)(−2a+3b)=−(2a−3b)(2a−3b)，不可以用平方差公式计算．
B、(−3a+4b)(−4b−3a)=(−3a+4b)(−3a−4b)，可以用平方差公式计算；
C、(a+1)(−a−1)=−(a+1)(a+1)，不可以用平方差公式计算；
D、a2−ba+b2，不可以用平方差公式计算．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的特点是解题的关键．
【变式3】（2023春·陕西西安·七年级校考期中）下列运算中，可以运用平方差公式的是（ ）
A．5+a−5−aB．a+b3b3−a
C．−a+ba−bD．a2−ba+b2
【答案】B
【分析】根据平方差公式逐个进行判断即可．
【详解】解：A、5+a−5−a=−5+a2，故A不符合题意；
B、a+b3b3−a=b32−a2，故B符合题意；
C、−a+ba−b=−a−b2，故C不符合题意；
D、a2−ba+b2不能运用平方差公式，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式a+ba−b=a2−b2．
考点2：平方差公式的简单应用
典例2：（2022秋·福建漳州·八年级校考期中）已知a=10122−10112，b=337×4+336×3−338，c=(12021)2022⋅20212023，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a>b>cB．a>c>bC．b>a>cD．c>a>b
【答案】B
【分析】先根据平方差公式以及积的乘方法则计算出a、b、c的值再进行比较．
【详解】解：a=(1012+1011)×(1012−1011)=2023，
b=(336+1)×4+336×3−338
=336×4+4+336×3−338
=336×7−336+2
=336×6+2
=2016+2
=2018，
c=(12021)2022×20212022×2021
=1×2021
=2021，
∴2023>2021>2018，
∴a>c>b．
故选：B．
【点睛】本题考查的是数的比较大小，关键是先根据平方差公式以及积的乘方法则计算出各数的大小．
【变式1】（2022秋·江西新余·八年级统考阶段练习）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差那么称该正整数为“和谐数”，如8=32−12，16=52−32，则8和16称为“和谐数”，在不超过100的正整数中所有的“和谐数”之和为（ ）
A．625B．624C．623D．622
【答案】B
【分析】根据定义将不超过100的正整数中所有的“和谐数”表示出来，相加化简．
【详解】解：由题意，设“和谐数”为(2n+1)2−(2n−1)2=(2n+1+2n−1)×2=8n（n为自然数），
8n≤100，得n≤1212，
∴n的最大值为12，2n+1=25,2n−1=23，最大的“和谐数”可表示为252−232，
∵不超过100的正整数中所有的“和谐数”之和为
32−12+52−32+72−52+⋯+252−232=252−12=624 ；
故选： B
【点睛】本题考查平方差公式，有理数运算；根据题意运用平方差公式确定满足题意的最大的和谐数是解题的关键．
【变式2】（2023秋·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考阶段练习）用乘法公式计算(2+1)22+124+1⋯22048+1的结果（ ）
A．24096+1B．24096−1C．22048+2D．22048−2
【答案】B
【分析】先乘以2−1，再依次根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：(2+1)22+124+1⋯22048+1
=2−1(2+1)22+124+1⋯22048+1
=22−122+124+1⋯22048+1
=24−124+1⋯22048+1
=22048−122048+1
=24096−1，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，主要考查学生运用公式进行计算的能力，注意：a+ba−b=a2−b2，难度适中．
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）化简3−22020⋅3+22021的结果为（ ）
A．-1B．3+2C．3−2D．−3−2
【答案】B
【分析】首先根据同底数幂的乘法及积的乘方运算的逆用，可得3−23+22020⋅3+2，再根据平方差公式及乘方运算，即可求得结果．
【详解】解：3−22020⋅3+22021
=3−22020⋅3+22020⋅3+2
=3−23+22020⋅3+2
=3−42020⋅3+2
=−12020⋅3+2
=1×3+2
=3+2
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及积的乘方运算的逆用，平方差公式，熟练掌握和运用同底数幂的乘法及积的乘方运算的逆用是解决本题的关键．
考点3：平方差公式应用——几何背景
典例3：（2023春·甘肃兰州·七年级统考期中）下面给出的三幅图都是将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，其中不能验证平方差公式的是（ ）

A．①B．②③C．①③D．③
【答案】D
【分析】根据各个图形中阴影部分面积的“算两次”，进而判断是否验证平方差公式即可．
【详解】解：图①中，将阴影部分沿着虚线裁剪，可以拼成右侧的平行四边形，
阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，所拼成的是底为a+b，高为a−b的平行四边形，因此面积为a+ba−b，所以有a2−b2=a+ba−b，
所以图①可以验证平方差公式，不符合题意；
图②中阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，所拼成的长方形的长为a+b，款为a−b，因此面积为a+ba−b，所以有a2−b2=a+ba−b，
因此图②可以验证平方差公式，不符合题意；
图③中阴影部分可以看作是边长为a−b的正方形，因此面积为a−b2，所拼成的图形中阴影部分的面积可以看作四个小正方形的面积和，a−b22×4，因此不能验证平方差公式，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示图形中阴影部分的面积是解决问题的关键．
【变式1】（2023春·山东枣庄·七年级统考期中）如图，在边长为a的正方形纸板的一角，剪去一个边长为b的正方形，再将剩余图形沿虚线剪开，拼成一个长方形，依据这一过程可得到的公式是（ ）

A．(a±b)2=a2±2ab+b2B．a2±2ab+b2=(a+b)2
C．aa+b=a2+abD．a2−b2=a+ba−b
【答案】D
【分析】分别表示出两种情况下的面积，而面积是相等的，故可得到结果．
【详解】解：将边长为a的正方形剪去一个边长为b的正方形，剩下的图形的面积是a2−b2，题中右图的面积为a−ba+b，故得到的公式是a2−b2=a+ba−b．
故选：D
【点睛】本题考查了平方差公式几何意义的理解，将整式运算与几何图形结合，注意各个量的变化．
【变式2】（2023·全国·八年级专题练习）数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导教材都安排了运用图形面积加以验证．下列图形中能验证a+ba−b=a2−b2的是（ ）
B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别用含a、b的式子表示出对应选项图形中的面积即可得到答案．
【详解】解：A．大正方形面积为a2，小正方形面积为b2，大正方形减去小正方形的面积为a2−b2，两个长方形的面积之和为a+ba−b，可以验证a+ba−b=a2−b2，故A选项符合题意；
B．最大的正方形面积为a+b2，两个较小的正方形面积分别为a2、b2，两个长方形的面积之和为2ab，不能验证a+ba−b=a2−b2，故B选项不符合题意；
C．最大的正方形面积为a2，两个较小的正方形面积分别为a−b2、b2，两个长方形的面积之和为2ba−b，不能验证a+ba−b=a2−b2，故C选项不符合题意；
D．大正方形的面积为a+b2，小正方形的面积为a−b2，四个长方形的面积为4ab，不能验证a+ba−b=a2−b2，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方差公式与几何图形的应用，正确表示出对应选项图形中各部分的面积是解题的关键．
【变式3】（2023秋·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a>b，如图1），把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（ ）
A．a+b2=a2+2ab+b2B．a−b2=a2−2ab+b2
C．a+ba−b=a2−b2D．aa−b=a2+ab
【答案】C
【分析】用代数式分别表示图1、图2阴影部分的面积即可．
【详解】解：图1阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2−b2，
图2是长为a+b，宽为a−b的长方形，因此面积为a+ba−b，
所以有a2−b2=a+ba−b，
即：a+ba−b=a2−b2，
故选：C．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示两个图形中阴影部分的面积是正确解答的关键．
考点4：平方差公式应用——简便运算
典例4：（2023春·七年级课时练习）用简便方法计算107×93时，变形正确的是（ ）
A．1002−7B．1002−72
C．1002+2×100×7+72D．1002−2×100×7+72
【答案】B
【分析】利用平方差公式进行简便运算．
【详解】解：107×93=(100+7)×(100−7)=1002−72．
故选：B．
【点睛】本题考查了用乘法公式简便运算，解题的关键是利用平方差公式对数字进行变形，凑出平方差公式的结构形式．
【变式1】（2022·吉林长春·八年级阶段练习）计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1的值是( )
A．1024B．28+1C．216+1D．216
【答案】D
【分析】原式前面配上(2﹣1)这个因数，再依次利用平方差公式计算可得．
【详解】解：原式＝(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
＝(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
＝(24﹣1)(24+1)(28+1)+1
＝(28﹣1)(28+1)+1
＝216﹣1+1
＝216，
故选D．
【点睛】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．即(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b
【变式2】（2022秋·八年级单元测试）已知a=20182，b=2017×2019，则（ ）
A．a=bB．a>bC．ab,
故选B.
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，利用平方差公式求出b=20182-1是解题的关键.
【变式3】（2023春·江苏镇江·七年级丹阳市第八中学校考期末）用简便方法计算：14×6.162−4×1.042的结果为（ ）
A．3.36B．4.26C．5.16D．5.06
【答案】C
【分析】利用积的乘方的逆用和平方差公式进行计算，即可得到答案．
【详解】解：14×6.162−4×1.042
=122×6.162−22×1.042
=12×6.162−2×1.042
=3.082−2.082
=3.08+−2.08
=5.16，
故选C．
【点睛】本题考查了积的乘方的逆用和平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
考点5：平方差公式应用——实际应用
典例5：（2023秋·河北石家庄·九年级石家庄市第八十一中学校考阶段练习）发现任意三个连续的整数中，最大数与最小数这两个数的平方差是4的倍数；
验证：（1）−12−−32的结果是4的倍数！
（2）设三个连续的整数中间的一个为n，计算最大数与最小数这两个数的平方差，并说明它是4的倍数；
延伸：说明任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数这两个数的平方差是8的倍数．
【答案】验证：（1）见解析；（2）见解析；延伸：见解析
【分析】验证：（1）通过计算即可求倍数；
（2）设三个连续的整数中间的一个为n，则最大的数为n+1，最小的数为n−1，通过平方差公式得出n+12−n−12=4n，即可得到答案；
延伸：设中间一个奇数为n，则最大的奇数为n+2，最小的奇数为n−2，通过平方差公式计算得出n+22−n−22=8n，即可得到答案．
【详解】验证：（1）解：−12−−32=1−9=−8=4×−2，
即−12−−32的结果是4的−2倍；
（2）证明：设三个连续的整数中间的一个为n，则最大的数为n+1，最小的数为n−1，
则n+12−n−12
=n+1+n−1n+1−n−1
=n+1+n−1n+1−n+1
=2n×2
=4n，
∵n是整数，
∴任意三个连续的整数中，最大数与最小数这两个数的平方差是4的倍数；
延伸：证明：设中间一个奇数为n，则最大的奇数为n+2，最小的奇数为n−2，
则n+22−n−22
=n+2+n−2n+2−n−2
=n+2+n−2n+2−n+2
=2n×4
=8n，
∵n是整数，
∴任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数这两个数的平方差是8的倍数．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式a2−b2=a+ba−b是解此题的关键．
【变式1】（2023秋·全国·八年级专题练习）已知a−ba+b=a2−b2．
(1)2−12+122+1=___________；
(2)求2+122+124+128+1216+1的值；
(3)求23+132+134+138+1316+1332+1结果的个位数字．
【答案】(1)15
(2)232−1
(3)0
【分析】（1）根据平方差公式求出即可；
（2）添加上2−1，重复根据平方差公式依次求出，即可得出答案；
（3）根据（2）的规律，多次利用平方差公式即可得出答案．
【详解】（1）解：2−12+122+1=22−122+1=24−1=15；
故答案为：15；
（2）解：2+122+124+128+1216+1
=2−12+122+124+128+1216+1
=22−122+124+128+1216+1
=24−124+128+1216+1
=28−128+1216+1
=216−1216+1
=232−1；
（3）解：23+132+134+138+1316+1332+1
=3−13+132+134+138+1316+1332+1
=364−1；
∵31=3,32=9,33=27,34=81,35=243⋯⋯
可知3n的个位数呈3、9、7、1．．．循环，
64÷4=16，
∴364的个位数是1，
∴364−1的个位数是
即23+132+134+138+1316+1332+1结果的个位数字是
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解此题的关键是重复运用平方差公式，根据结果得出规律，题目比较好，有一定的难度．
【变式2】（2022秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习）如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形．

(1)若图1中的阴影部分面积为a2−b2；则图2中的阴影部分面积为______．（用含字母a、b的代数式且不同于图1的方式表示）
(2)由（1）你可以得到等式______．
(3)根据你所得到的等式解决下面的问题：计算：
①67.752−32.252；
②a+2b−ca−2b−c．
【答案】(1)a+ba−b
(2)a2−b2=a+ba−b
(3)①3550 ；②a2−2ac+c2−4b2
【分析】（1）图2中的阴影部分为长方形，用长乘宽表示面积即可；
（2）根据（1）中结论可得答案；
（3）①利用（2）中结论，将67.752−32.252变形为67.75+−32.25，从而进行简便运算；②利用（2）中结论，将a+2b−ca−2b−c变形为a−c+2ba−c−2b，即可求解．
【详解】（1）解：图2中的阴影部分面积为a+ba−b．
故答案为：a+ba−b．
（2）解：由（1）可得a2−b2=a+ba−b．
（3）解：①67.752−32.252
=67.75+−32.25
=100×35.5
=3550．
②a+2b−ca−2b−c
=a−c+2ba−c−2b
=a−c2−2b2
=a2−2ac+c2−4b2．
【点睛】本题考查的是平方差公式的几何背景，掌握a2−b2=a+ba−b是解题的关键．
【变式3】（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)上述操作能验证的等式是______．（请选择正确的选项）
A．a2−b2=a+ba−b
B．a2−2ab+b2=a−b2
C．a2+ab=aa+b
(2)若x2−y2=24，x+y=8，求x−y的值；
(3)用简便方法计算：20222−2021×2023．
【答案】(1)A
(2)3
(3)1
【分析】（1）用代数式表示出图1中剩余部分的面积及图2中长方形的面积，根据这两部分面积相等即可得出答案；
（2）利用（1）中的结论代入进行计算即可；
（3）利用（1）中的公式进行计算即可．
【详解】（1）解：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，剩余部分的面积为两个正方形的面积差，即a2−b2，
将剩余的部分拼成一个长方形，则长方形的长为a+b，宽为a−b，因此面积为a+ba−b，
∴有a2−b2=a+ba−b，
故答案为：A；
（2）解：∵ x2−y2=24，x+y=8，
∴x+yx−y=8x−y=24，
∴x−y=3，
∴x−y的值为3；
（3）解：20222−2021×2023
=20222−2022−1×2022+1
=20222−20222−1
=20222−20222+1
=1．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，运用平方差公式进行计算，熟练掌握平方差公式：a2−b2=a+ba−b是解题的关键．
考点6：完全平方公式
典例6：（2022春·福建漳州·八年级校考期中）若x2+4x+m=x+n2，则m，n的值分别为（ ）
A．m=4,n=2B．m=4,n=4C．m=8,n=2D．m=8,n=4
【答案】A
【分析】根据完全平方公式把等式右边展开即可得到答案．
【详解】解：∵x2+4x+m=x+n2，
∴x2+4x+m=x2+2nx+n2，
∴2n=4，m=n2，
∴n=2，
∴m=4，
故选A．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟知a+b2=a2+2ab+b2是解题的关键．
【变式1】（2022春·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）如果a2−2a=1，那么代数式aa−2+a−12的值为（ ）
A．－4B．6C．－2D．3
【答案】D
【分析】先对代数式进行化简，再整体代入即可求值．
【详解】解：aa−2+a−12=a2−2a+a2−2a+1=2a2−2a+1
∵a2−2a=1
∴原式=2×1+1=3
故选：D
【点睛】本题考查了完全平方公式．掌握整体思想是解题关键．
【变式2】（2023秋·八年级课时练习）下列各式利用完全平方公式计算正确的是（ ）
A．x+32=x2+9B．−2a+b2=4a2+4ab+b2
C．a−2b2=a2−2ab+4b2D．12−x2=x2−x+14
【答案】D
【分析】运用完全平方公式判断即可．
【详解】解析：A、原式=x2+6x+9，故本选项不符合题意；
B、原式=4a2−4ab+b2，故本选项不符合题意；
C、原式=a2−4ab+4b2，故本选项不符合题意；
D、12−x2=x2−x+14，正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】因为完全平方公式有两个，所以运用完全平方公式计算时要先确定是“和的平方”还是“差的平方”，避免错用公式．
【变式3】（2023春·浙江金华·七年级统考期中）下列式子是完全平方式的是（ ）
A．a2+2ab﹣b2B．a2+2a+1C．a2+ab+b2D．a2+2a﹣1
【答案】B
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【详解】解：下列式子是完全平方式的是a2+2a+1=（a+1）2，
故选B．
【点睛】此题考查了完全平方式：(a+b)²=a²+2ab+b²，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
考点7：利用完全平方公式计算
典例7：（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期末）若4x2−2kx+1是完全平方式，则常数k的值为（ ）
A．2B．−2C．±2D．±4
【答案】C
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】解：∵4x2−2kx+1是完全平方式，4x2−2kx+1=2x2−2kx+12，
∴−2kx=±2⋅2x⋅1，
解得k=±2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
【变式1】（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）若多项式x2+k−3xy+4y2是完全平方式，则k的值为（ ）
A．±7B．7或−1C．7D．−1
【答案】B
【分析】根据完全平方公式的特征判断即可得到k的值即可．
【详解】解：∵多项式x2+k−3xy+4y2是完全平方式，
∴k−3=±2×1×2，
∴k−3=±4，
∴k1=7或k2=−1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式2】（2023春·陕西咸阳·七年级校考期中）规定三角“ ”表示abc，方框“ ”表示xm+yn．例如： ÷ =1×19×3÷24+31=3．若代数式 为完全平方式，则k的值是（ ）
A．−3B．±3C．2D．±2
【答案】B
【分析】先依据题目的给出的运算规律将其简化为x2+2kxy+(3y)2，再根据x2+2kxy+(3y)2是完全平方式，将其配方为(x±3y)2，展开后通过比较同类项系数即可求出k值．
【详解】解：依据题意，有：
原式=x2+(3y)2+k×2y×x=x2+2kxy+(3y)2；
∵代数式为完全平方式，
∴原式=x2+(3y)2+k×2y×x=x2+2kxy+(3y)2=(x±3y)2，
∴将(x±3y)2展开，比较等号两边同类项系数可得2k=±6，
解得k=±3．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方式的知识，依据题目给出的运算法则将所求代数式准确转化为常见的代数式形式是解答本题的关键．
【变式3】（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）如果x2−x+m是完全平方式，则m的值为（ ）
A．1B．14C．12D．±14
【答案】B
【分析】根据完全平方式的可知，当二次项为1时，常数项等于一次项系数一半的平方，由此解答即可．
【详解】解：∵x2−x+m是完全平方式，
∴m=−122=14．
故选：B．
【点睛】本题考查的是完全平方式的定义，属于应知应会题型，熟练掌握完全平方式的概念是关键．
考点8：完全平方公式应用——几何背景
典例8：（2023秋·河北保定·八年级校联考期末）如图，将四个长为a，宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（ ）
A．a+b2=a2+2ab+b2B．a+ba−b=a2−b2
C．a−b2=a2−2ab+b2D．a+b2=a−b2+4ab
【答案】D
【分析】根据题意表示出图形的边长进而得出其面积．
【详解】解：由图形可得：大正方形的边长为：a＋b，则其面积为：（a＋b）2，
小正方形的边长为：（a－b），则其面积为：（a－b）2，长方形面积为：ab，
正方形的面积又可以表示为（a－b） 2＋4ab，
故（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式的几何背景，正确表示出各边长是解题关键．
【变式1】（2023春·江苏·七年级期中）分别观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个由这个图形可以验证出的代数公式，其中图形与公式之间的对应关系表达相符的有( )
A．一组B．两组C．三组D．四组
【答案】D
【分析】分别用两种方法表示图形面积，用大长方形的面积等于几个小的长方形或正方形的面积和，逐项分析判断
即可求解．
【详解】解：图1，整体长方形的长为a+b+c，宽为d，因此面积为(a+b+c)d，
整体长方形由三个长方形构成的，这三个长方形的面积和为ad、bd、cd，
所以有：(a+b+c)d=ad+bd+cd，
因此图1符合题意；
图2，整体长方形的长为a+b，宽为c+d，因此面积为(a+b)(c+d)，
整体长方形由四个长方形构成的，这四个长方形的面积和为ac+ad+bc+bd，
所以有：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，
因此图2符合题意；
图3，整体正方形的边长为a+b，因此面积为(a+b)2，
整体正方形由四个部分构成的，这四个部分的面积和为a2+2ab+b2，
所以有：(a+b)2=a2+2ab+b2，
因此图3符合题意；
图4，整体正方形的边长为a，因此面积为a2，
整体正方形由四个部分构成的，其中较大的正方形的边长为a−b，因此面积为(a−b)2，较小正方形的边长为b，因此面积为b2，
另外两个长方形的长为(a−b)，宽为b，则面积为(a−b)×b×2=2ab−2b2，
所以有a2=(a−b)2+b2+2ab−2b2，
即(a−b)2=a2−2ab+b2，
因此图4符合题意；
综上所述，四组均符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式与图形面积，完全平方公式与图形面积，数形结合是解题的关键．
【变式2】（2023春·全国·七年级期中）如图，通过计算大正方形的面积，可以验证的公式是（ ）
A．a+2b2=a2+4b2B．a+b+b2=a2+b2+b2+b2+b2+2ab+3ba
C．a+2b2=a2+b2+b2+2ab+2baD．a+b+b2=a2+4b2+4ab
【答案】D
【分析】直接利用图形面积得出等式即可得到答案．
【详解】解：由题意得大正方形面积为：a+2b2或a+b+b2，
也可以表示为：a2+4ab+4b2，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方式的几何背景，灵活运用所学知识是解题关键．
【变式3】（2022春·河南郑州·七年级统考期末）如图，小徐将边长为a+b的正方形切分成四部分，小徐用这个图可以解释下面哪个公式（ ）
A．a2−b2=（a+b）（a−b）
B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a−b）2=a2−2ab+b2
D．a2+ab=a（a+b）
【答案】B
【分析】根据各个部分面积与总面积之间的关系得出答案．
【详解】解：整体是边长为(a+b)的正方形，因此面积为（a+b）2，
四个部分面积之和为：a2+ab+ab+b2 ，
所以（a+b）2=a2+2ab+b2，
故选：B．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
考点9：完全平方公式应用——简便运算
典例9：（2023春·七年级单元测试）用简便方法计算：10.12﹣2×10.1×0.1+0.01＝ ．
【答案】100
【分析】利用完全平方公式解答．
【详解】解：原式＝（10.1﹣0.1）2＝102＝1
故答案是：1
【点睛】本题考查了完全平方公式，能够把已知式子变成完全平方的形式，求得（10.1-0.1）的值．
【变式1】（2023春·七年级单元测试）用简便方法计算：20192－2019×38＋361＝ ．
【答案】4000000
【分析】运用完全平方公式进行计算即可.
【详解】20192－2019×38＋361＝20192－2×2019×19＋192＝（2019-19）2=4000000.
故答案为4000000.
【点睛】本题考查了完全平方公式.
【变式2】（2022春·江苏常州·七年级统考阶段练习）简便计算：4002﹣402×398= ，2012﹣1992= ．
【答案】 4 800
【详解】4002﹣402×398=4002-（400+2）（400-2）=4002-4002+4=4.
2012﹣1992=（201-199）（201+199）=800.
【变式3】（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）简便计算: 99.82= .
【答案】9960.04
【分析】把原式转化为(100−0.2)2，然后用完全平方公式展开计算即可.
【详解】解：99.82=(100−0.2)2=10000−40+0.04=9960.04
故答案为9960.04.
【点睛】本题考查了简便计算，根据原式进行变形是解答本题的关键.
考点10：完全平方公式应用——求变形式
典例10：（2023秋·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）已知2023−a−a+2022=4，则(2023−a)2+(2022−a)2的值为（ ）
A．7B．8C．9D．12
【答案】C
【分析】根据2023−a−2022−a=1，则2023−a−2022−a2=12，所以2023−a2−22023−a2022−a+2022−a2=1，把2023−a−a+2022=4代入计算即可求解．
【详解】解：∵2023−a−2022−a=1
∴2023−a−2022−a2=12
∴2023−a2−22023−a2022−a+2022−a2=1
∵2023−a−a+2022=4
∴2023−a2−2×4+2022−a2=1
∴2023−a2+2022−a2=9
故选：C．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用．熟练掌握运用完全平方公式计算是解题的关键．
【变式1】（2023春·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）已知x2−3x+1=0，则x2+1x2的值是（ ）
A．9B．11C．7D．6
【答案】C
【分析】可求x+1x=3，x2+1x2 =x+1x2−2，即可求解．
【详解】解：∵ x2−3x+1=0，
∴x+1x=3，
x2+1x2
=x+1x2−2
=32−2=7．
故选：C．
【点睛】本题考查了整体代换求值，完全平方公式，掌握解法是解题的关键．
【变式2】（2023春·安徽亳州·七年级统考期中）已知m+n=6，mn=4，则代数式m−n2的值为（ ）
A．20B．18C．19D．25
【答案】A
【分析】由m−n2=m2−2mn+n2，m+n2=m2+2mn+n2，可得m−n2=m+n2−4mn，将m+n=6，mn=4代入即可求解．
【详解】解：∵ m+n=6，mn=4，
∴ m−n2=m+n2−4mn=62−4×4=20，
故选A．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握m−n2与m+n2之间的关系．
【变式3】（2023秋·河南开封·八年级校考期末）已知实数a，b满足a+b2=1，a−b2=25，则a2+b2−ab的值为（ ）
A．13B．16C．19D．21
【答案】C
【分析】利用完全平方公式计算出a2+b2和ab，再代入求解．
【详解】解：∵ a+b2=1，a−b2=25，
∴ a2+b2=12a+b2+a−b2=12×1+25=13，
ab=14a+b2−a−b2=14×1−25=−6，
∴ a2+b2−ab=13−−6=13+6=19，
故选C．
【点睛】本题考查通过对完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握完全平方和公式和完全平方差公式之间的联系，熟练运用整体代入思想．
考点11：乘法公式的应用——新定义
典例11：（2023春·七年级课时练习）设a，b是实数，定义一种新运算：a⊙b=a−b2．则下列结论中正确的有（ ）
①a⊙b=b⊙a；②−a⊙b=a⊙−b；③a⊙b+c=a⊙b+a⊙c
A．①②③B．①②C．②③D．①③
【答案】B
【分析】利用新运算的意义对每个选项的结论进行逐一验证即可得出结论．
【详解】解：b⊙a=b−a2=a−b2=a⊙b，故①正确；
−a⊙b=−a−b2=a+b2，
a⊙−b=a−−b2=a+b2=−a⊙b，故②正确；
a⊙b+c=a−b+c2=a−b−c2=a2+b2+c2−2ab−2ac+2bc，
a⊙b+a⊙c=a−b2+a−c2=a2−2ab+b2+a2−2ac+c2=2a2+b2+c2−2ab−2ac，
∴a⊙b+c≠a⊙b+a⊙c，故③错误；
故选：B
【点睛】本题主要考查了乘法公式，本题是新定义型题目，理解并熟练应用题干中的新定义是解题的关键．
【变式1】（2022秋·湖南株洲·七年级校联考期中）将a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成abcd，定义abcd=ad﹣bc，这个记号就叫做二阶行列式，例如：1234=1×4﹣2×3=﹣2，若x+1x+2x−2x+1=10，则x的值为（ ）
A．1B．0C．25D．52
【答案】D
【分析】已知等式利用题中的新定义列方程，计算即可求出x的值．
【详解】解：根据题中的新定义得：(x+1)(x+1)−(x+2)(x−2)=10，
整理得：x2+2x+1−x2+4=10，
解得：x=52，
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是弄清题中的新定义．
【变式2】（2022春·广西北海·七年级统考期末）定义：对于任意有理数a，b，都满足aⓧb=(a-b)2+4ab，若x2-18x+y2+20y+181=0，则xⓧy=（ ）
A．1B．-1C．361D．-361
【答案】A
【分析】先把x2-18x+y2+20y+181=0变形为(x-9)2+(y+10)2=0，由非负数的性质可求出x和y的值，把求得的x和y的值代入到xⓧy，按照新定义的算理计算即可．
【详解】解：∵x2-18x+y2+20y+181=0，
∴(x-9)2+(y+10)2=0，
∴x-9=0，y+10=0，
∴x=9，y=-10，
∵aⓧb=(a-b)2+4ab=(a+b)2，
∴当x=9，y=-10时，
xⓧy=(9-10)2=
故选A．
【点睛】本题考查了非负数的性质，新定义运算，完全平方公式的变形求值，根据非负数的性质可求出x和y的值是解答本题的关键．
【变式3】（2023春·浙江·七年级专题练习）设a，b是有理数，定义运算a⊕b=（a−2）2+b，例如：（−1）⊕ （−3） =[(−1)−2]2+(−3)=6， 1⊕2=（1−2）2+2=3， 0⊕1=（0−2）2+1=5．下列结论：①2⊕（−5）=−5；②0⊕0=0；③m，n为有理数，当m+n=4时，则m⊕b=n⊕b；④x，y为有理数，当x⊕y=y⊕x时，则x=y；⑤设A=5⊕（−2）+6 ⊕（−2）+7 ⊕（−2）+…+100 ⊕（−2），B=（−1） ⊕2+（−2） ⊕2+（−3） ⊕2+…+（−96）⊕2，则A＞B．其中所有正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】根据已知算式总结出运算规律，分别判断①②③④⑤即可得知答案．
【详解】解： 2⊕(−5)=(2−2)2+(−5)=−5，故①正确；
0⊕0=（0−2）2+0=4，故②错误；
∵m+n=4，
∴m⊕b=（m−2）2+b=m2−4m+4+b，n⊕b=（4−m−2）2+b=（2−m）2+b=m2−4m+4+b，
∴ m⊕b=n⊕b，故③正确；
若x⊕y=y⊕x，则（x−2）2+y=（y−2）2+x，
∴[(x−2)+(y−2)][(x−2)−(y−2)]−(x−y)=0，
∴(x−y)(x+y−5)=0，
∴x=y或x+y=5，故④错误；
∵5⊕（−2）=(5−2)2−2=(−1−2)2−2＜(−1−2)2+2=(−1)⊕2，
同理6⊕（−2）